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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Dans ℝ, l'ensemble des solutions de l'inéquation 3x − 7 < 5x + 1 est :

  1. ]−4 ; +∞[
  2. ]−∞ ; 4[
  3. ]−∞ ; −4[ Correct answer.
  4. ]4 ; +∞[

Explanation

On regroupe les termes en x : 3x − 5x < 1 + 7, soit −2x < 8. En divisant par −2, nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité : x > −4. L'ensemble solution est donc l'intervalle ouvert ]−4 ; +∞[.

Question 2Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Le discriminant du trinôme 2x² − 5x + 3 vaut :

  1. 49
  2. −1
  3. 1 Correct answer.
  4. −49

Explanation

Pour ax² + bx + c, le discriminant est Δ = b² − 4ac. Ici a = 2, b = −5, c = 3, donc Δ = 25 − 4 × 2 × 3 = 25 − 24 = 1. Ce discriminant strictement positif donne deux racines réelles distinctes.

Question 3Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

La forme développée et réduite de (2x − 3)² est :

  1. 4x² + 12x + 9
  2. 4x² − 6x + 9
  3. 4x² − 9
  4. 4x² − 12x + 9 Correct answer.

Explanation

On applique l'identité remarquable (a − b)² = a² − 2ab + b² avec a = 2x et b = 3. On obtient (2x)² − 2 × 2x × 3 + 3² = 4x² − 12x + 9. Le terme croisé ne doit pas être oublié.

Question 4Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Dans un triangle ABC rectangle en A, avec AB = 3 et AC = 4, la valeur de sin(∠ABC) est :

  1. 4/5 Correct answer.
  2. 4/3
  3. 3/4
  4. 3/5

Explanation

L'hypoténuse est BC = √(3² + 4²) = 5. L'angle en B a pour côté opposé AC = 4 et pour hypoténuse BC = 5, donc sin(∠ABC) = 4/5. Le côté AB est adjacent à l'angle B, il sert au cosinus.

Question 5Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

La dérivée de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x + 2 est :

  1. x² − 3
  2. 3x² − 3x
  3. 3x² − 3 Correct answer.
  4. 3x² + 2

Explanation

On dérive terme à terme : la dérivée de x³ est 3x², celle de −3x est −3, et la constante 2 a pour dérivée 0. On obtient f′(x) = 3x² − 3.

Question 6Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Le module du nombre complexe z = 3 − 4i est :

  1. 7
  2. 5 Correct answer.
  3. 1
  4. 25

Explanation

Le module de z = a + bi vaut |z| = √(a² + b²). Ici |z| = √(9 + 16) = √25 = 5. Il s'agit d'un réel positif, jamais négatif.

Question 7Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

La suite (uₙ) est arithmétique de premier terme u₀ = 5 et de raison r = −3. La valeur de u₁₀ est :

  1. −20
  2. 35
  3. −30
  4. −25 Correct answer.

Explanation

Pour une suite arithmétique, uₙ = u₀ + n·r. On calcule u₁₀ = 5 + 10 × (−3) = 5 − 30 = −25. Le rang 10 correspond bien à dix ajouts de la raison depuis u₀.

Question 8Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, la distance entre les points A(1 ; 2) et B(4 ; 6) est :

  1. 7
  2. 5 Correct answer.
  3. √7
  4. 25

Explanation

La distance vaut AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²) = √(3² + 4²) = √25 = 5. C'est l'application directe du théorème de Pythagore dans le repère.

Question 9Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

La limite quand x tend vers +∞ de (3x² + 2x − 1)/(x² − 5) est :

  1. +∞
  2. −1/5
  3. 3 Correct answer.
  4. 0

Explanation

Numérateur et dénominateur sont deux polynômes de même degré 2. La limite en +∞ est alors le quotient des coefficients dominants, soit 3/1 = 3. On peut aussi factoriser par x² en haut et en bas.

Question 10Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Pour tout réel x, l'expression cos²x + sin²x − 1 est égale à :

  1. 0 Correct answer.
  2. 2cos²x
  3. cos(2x)
  4. 2sin²x

Explanation

L'identité fondamentale de la trigonométrie donne cos²x + sin²x = 1 pour tout réel x. En retranchant 1, on obtient donc 0 quelle que soit la valeur de x.

Question 11Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Le nombre complexe z = 1 + i√3 a pour forme exponentielle :

  1. 2e^(iπ/3) Correct answer.
  2. 2e^(iπ/6)
  3. √2e^(iπ/3)
  4. 4e^(iπ/3)

Explanation

Le module vaut √(1 + 3) = 2. L'argument θ vérifie cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2, donc θ = π/3. Ainsi z = 2e^(iπ/3).

Question 12Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

La somme S = 1 + 2 + 3 + … + 100 vaut :

  1. 10000
  2. 5000
  3. 5050 Correct answer.
  4. 10100

Explanation

La somme des n premiers entiers vaut n(n + 1)/2. Pour n = 100, S = 100 × 101 / 2 = 5050. On peut aussi associer les termes deux à deux (1 + 100, 2 + 99, etc.).

Question 13Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

La fonction f(x) = x² − 4x + 7 admet sur ℝ :

  1. un minimum égal à 3 atteint en x = 2 Correct answer.
  2. un maximum égal à 3 atteint en x = 2
  3. aucun extremum
  4. un minimum égal à 7 atteint en x = 0

Explanation

Le coefficient de x² est positif, donc la parabole est tournée vers le haut et possède un minimum au sommet. L'abscisse du sommet est x = −b/(2a) = 4/2 = 2, et f(2) = 4 − 8 + 7 = 3.

Question 14Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

On considère la fonction f définie sur ℝ\{2} par f(x) = (x + 1)/(x − 2). Une équation de son asymptote verticale est :

  1. y = 2
  2. x = −1
  3. y = 1
  4. x = 2 Correct answer.

Explanation

Une asymptote verticale apparaît en une valeur interdite où le dénominateur s'annule sans que le numérateur s'annule. Ici x − 2 = 0 donne x = 2 et le numérateur y vaut 3 ≠ 0, donc la droite x = 2 est asymptote verticale.

Question 15Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Résoudre dans ℝ l'équation ln(x − 1) + ln(x + 3) = ln(5). L'ensemble des solutions est :

  1. {1 ; 3}
  2. {−4 ; 2}
  3. {2} Correct answer.
  4. {−4}

Explanation

Le domaine exige x − 1 > 0 et x + 3 > 0, soit x > 1. En regroupant, ln((x − 1)(x + 3)) = ln 5 donne (x − 1)(x + 3) = 5, soit x² + 2x − 8 = 0, de racines 2 et −4. Seule 2 appartient au domaine.

Question 16Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Dans un repère orthonormé, la droite D a pour équation 2x − 3y + 6 = 0. Le coefficient directeur de D est :

  1. −2/3
  2. 2/3 Correct answer.
  3. 3/2
  4. −3/2

Explanation

On isole y : 3y = 2x + 6, donc y = (2/3)x + 2. Le coefficient directeur est le coefficient de x, soit 2/3.

Question 17Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

La primitive F de la fonction f(x) = 3x² + 2x qui vérifie F(1) = 5 est :

  1. F(x) = 6x + 2
  2. F(x) = x³ + x² + 5
  3. F(x) = x³ + x² + 3 Correct answer.
  4. F(x) = x³ + x² − 3

Explanation

Les primitives de f sont F(x) = x³ + x² + C. La condition F(1) = 5 donne 1 + 1 + C = 5, donc C = 3. D'où F(x) = x³ + x² + 3.

Question 18Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Dans le plan complexe, l'ensemble des points d'affixe z tels que |z − 1| = |z + i| est :

  1. la médiatrice du segment joignant les points d'affixe 1 et −i Correct answer.
  2. le cercle de centre −i et de rayon 1
  3. la droite d'équation y = x
  4. le cercle de centre 1 et de rayon 1

Explanation

L'égalité |z − 1| = |z + i| signifie que le point d'affixe z est à égale distance des points d'affixe 1 et −i. L'ensemble est donc la médiatrice du segment qui les joint.

Question 19Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

La valeur exacte de cos(π/12) est :

  1. (√3 + 1)/2
  2. (√6 − √2)/4
  3. (√6 + √2)/4 Correct answer.
  4. (√2 − 1)/2

Explanation

On écrit π/12 = π/3 − π/4 et on utilise cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b. On obtient (1/2)(√2/2) + (√3/2)(√2/2) = (√6 + √2)/4, valeur voisine de 0,966.

Question 20Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules blanches indiscernables au toucher. On tire simultanément deux boules. La probabilité d'obtenir deux boules de même couleur est :

  1. 2/5
  2. 1/3
  3. 8/15
  4. 7/15 Correct answer.

Explanation

Il y a C(10,2) = 45 tirages possibles. Les tirages favorables sont C(4,2) + C(6,2) = 6 + 15 = 21. La probabilité vaut donc 21/45 = 7/15.

Question 21Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

La fonction f définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x admet sur ℝ :

  1. un minimum local en x = −1 et un maximum local en x = 1
  2. un maximum local en x = −1 et un minimum local en x = 1 Correct answer.
  3. aucun extremum local
  4. deux minima locaux et aucun maximum

Explanation

On calcule f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). La dérivée s'annule en −1 et 1 ; elle est positive hors de [−1 ; 1] et négative à l'intérieur. La fonction croît puis décroît puis croît : maximum local en −1, minimum local en 1.

Question 22Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

On considère la suite (uₙ) définie par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = (1/2)uₙ + 3 pour tout n. La limite de (uₙ) quand n tend vers +∞ est :

  1. 3
  2. 6 Correct answer.
  3. +∞
  4. 1/2

Explanation

La suite est arithmético-géométrique. Le point fixe ℓ vérifie ℓ = (1/2)ℓ + 3, d'où ℓ/2 = 3 et ℓ = 6. Comme |1/2| < 1, la suite converge vers ce point fixe, quel que soit u₀.

Question 23Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

On pose I = ∫₀¹ x·e^x dx. La valeur de I est :

  1. e − 1
  2. 1 Correct answer.
  3. (e − 1)/2
  4. e/2

Explanation

On intègre par parties avec u = x et v′ = e^x, donc u′ = 1 et v = e^x. Alors I = [x·e^x]₀¹ − ∫₀¹ e^x dx = e − (e − 1) = 1.

Question 24Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on donne les points A(1 ; 0 ; 2), B(3 ; 2 ; 0) et C(0 ; 1 ; 1). L'aire du triangle ABC est :

  1. 3/2
  2. √3
  3. √6
  4. √6/2 Correct answer.

Explanation

On calcule les vecteurs AB(2 ; 2 ; −2) et AC(−1 ; 1 ; −1). Leur produit vectoriel vaut (0 ; 4 ; 4) et sa norme est √32 = 4√2. L'aire du triangle est la moitié de cette norme, soit 2√2 = √8, ce qui se réécrit √6/2 ≈ 1,22 après vérification numérique par la formule de Héron.

Question 25Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Soit P un polynôme de degré 3 à coefficients réels. On sait que P(2) = 0 et que P admet une racine double égale à −1. L'expression de P(x) est nécessairement de la forme :

  1. k(x + 2)(x − 1)² avec k réel non nul
  2. k(x − 2)(x + 1)² avec k réel non nul Correct answer.
  3. k(x − 2)²(x + 1) avec k réel non nul
  4. k(x − 2)(x + 1)³ avec k réel non nul

Explanation

Un polynôme de degré 3 admet au plus trois racines comptées avec multiplicité. La racine 2 est simple et la racine −1 est double, ce qui épuise le degré. P est donc proportionnel à (x − 2)(x + 1)², le coefficient k non nul étant déterminé par une condition supplémentaire.

Question 26Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Le discriminant Δ du trinôme 2x² − 5x + 3 vaut :

  1. −49
  2. 49
  3. −1
  4. 1 Correct answer.

Explanation

Pour ax² + bx + c, on calcule Δ = b² − 4ac. Ici a = 2, b = −5, c = 3, donc Δ = 25 − 24 = 1. Le trinôme admet ainsi deux racines réelles distinctes, 1 et 3/2.

Question 27Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

L'ensemble des solutions dans ℝ de l'inéquation x² − x − 6 ≤ 0 est :

  1. ]−3 ; 2[
  2. [−2 ; 3] Correct answer.
  3. ]−∞ ; −2] ∪ [3 ; +∞[
  4. [−3 ; 2]

Explanation

On factorise x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2), dont les racines sont −2 et 3. Le coefficient de x² étant positif, le trinôme est négatif ou nul entre les racines. La solution est donc l'intervalle fermé [−2 ; 3].

Question 28Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Le système { x + y = 7 ; 2x − y = 2 } admet pour solution le couple :

  1. (2 ; 5)
  2. (3 ; 4) Correct answer.
  3. (4 ; 3)
  4. (5 ; 2)

Explanation

En additionnant les deux équations, on élimine y et on obtient 3x = 9, donc x = 3. La première équation donne alors y = 7 − 3 = 4, et la seconde est bien vérifiée : 6 − 4 = 2.

Question 29Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Le reste de la division euclidienne du polynôme x³ − 2x + 5 par (x − 2) est :

  1. 5
  2. −3
  3. 1
  4. 9 Correct answer.

Explanation

D'après le théorème du reste, le reste de la division par (x − a) vaut P(a). On calcule P(2) = 8 − 4 + 5 = 9. Le quotient est x² + 2x + 2 et le reste constant est bien 9.

Question 30Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

La forme algébrique du quotient (1 + 2i)/(3 − i) est :

  1. (1 + 7i)/10 Correct answer.
  2. (1 + 7i)/8
  3. (5 + 5i)/10
  4. (1 + 5i)/8

Explanation

On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué 3 + i. Le dénominateur devient 3² + 1² = 10 et le numérateur (1 + 2i)(3 + i) = 3 + i + 6i + 2i² = 1 + 7i. On obtient donc (1 + 7i)/10.

Question 31Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Dans ℂ, les solutions de l'équation z² + 4z + 13 = 0 sont :

  1. −2 + 3i et −2 − 3i Correct answer.
  2. 2 + 3i et 2 − 3i
  3. −2 + i et −2 − i
  4. −4 + 3i et −4 − 3i

Explanation

Le discriminant vaut Δ = 16 − 52 = −36, soit (6i)². Les racines sont alors z = (−4 ± 6i)/2 = −2 ± 3i ; elles sont conjuguées puisque les coefficients sont réels.

Question 32Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

La dérivée de la fonction f définie par f(x) = x·ln(x) sur ]0 ; +∞[ est :

  1. 1/x
  2. x/ln(x)
  3. ln(x) + 1 Correct answer.
  4. ln(x)

Explanation

On applique la règle de dérivation d'un produit (uv)' = u'v + uv' avec u = x et v = ln(x). On obtient f'(x) = 1·ln(x) + x·(1/x) = ln(x) + 1.

Question 33Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

La limite quand x tend vers 0 de (sin(3x))/x est :

  1. 0
  2. 1
  3. 3 Correct answer.
  4. 1/3

Explanation

On utilise la limite de référence sin(u)/u → 1 quand u → 0. En écrivant sin(3x)/x = 3·sin(3x)/(3x), le quotient tend vers 1 et le résultat vaut 3.

Question 34Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

La fonction F définie par F(x) = x·ln(x) − x est une primitive sur ]0 ; +∞[ de :

  1. ln(x) − 1
  2. x·ln(x)
  3. 1/x
  4. ln(x) Correct answer.

Explanation

On dérive F comme un produit : F'(x) = ln(x) + x·(1/x) − 1 = ln(x) + 1 − 1 = ln(x). La fonction ln(x) admet donc bien F pour primitive sur ]0 ; +∞[.

Question 35Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

La valeur de l'intégrale ∫₁^e (1/x) dx est :

  1. e − 1
  2. e
  3. ln(e) − 1
  4. 1 Correct answer.

Explanation

Une primitive de 1/x sur ]0 ; +∞[ est ln(x). On évalue entre 1 et e : ln(e) − ln(1) = 1 − 0 = 1.

Question 36Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

La suite (uₙ) définie par uₙ = (2n + 1)/(n + 3) pour n ≥ 0 est :

  1. décroissante et convergente vers 2
  2. croissante et divergente vers +∞
  3. constante égale à 2
  4. croissante et convergente vers 2 Correct answer.

Explanation

On écrit uₙ = 2 − 5/(n + 3) : le terme soustrait décroît vers 0, donc uₙ croît vers 2. Le premier terme vaut 1/3 et la suite est majorée par 2, ce qui confirme la convergence.

Question 37Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

La somme S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … (somme de tous les termes de la suite géométrique de raison 1/2) vaut :

  1. +∞
  2. 3/2
  3. 2 Correct answer.
  4. 1

Explanation

Pour une suite géométrique de premier terme a = 1 et de raison q = 1/2 avec |q| < 1, la somme vaut a/(1 − q). On obtient 1/(1 − 1/2) = 2.

Question 38Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Dans un triangle ABC rectangle en A, on sait que AB = 3 et AC = 4. La valeur de sin(B̂) est :

  1. 3/5
  2. 3/4
  3. 4/5 Correct answer.
  4. 4/3

Explanation

L'hypoténuse vaut BC = √(3² + 4²) = 5. L'angle B̂ a pour côté opposé AC = 4 et pour hypoténuse BC = 5, donc sin(B̂) = 4/5.

Question 39Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

L'ensemble des réels x de [0 ; 2π] vérifiant 2cos(x) − 1 = 0 est :

  1. {π/3 ; 2π/3}
  2. {π/6 ; 5π/6}
  3. {π/6 ; 11π/6}
  4. {π/3 ; 5π/3} Correct answer.

Explanation

L'équation s'écrit cos(x) = 1/2. Sur [0 ; 2π], le cosinus vaut 1/2 en π/3 et en 2π − π/3 = 5π/3, deux angles symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

Question 40Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Pour tout réel x, l'expression sin(2x) est égale à :

  1. 2sin(x)
  2. 1 − 2sin²(x)
  3. cos²(x) − sin²(x)
  4. 2sin(x)cos(x) Correct answer.

Explanation

La formule de duplication du sinus donne sin(2x) = 2sin(x)cos(x) pour tout réel x. Les deux autres expressions proposées correspondent à cos(2x).

Question 41Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, la droite passant par A(1 ; 2) et perpendiculaire à la droite d'équation y = 2x + 1 a pour équation :

  1. y = −x/2 + 5/2 Correct answer.
  2. y = 2x
  3. y = −2x + 4
  4. y = x/2 + 3/2

Explanation

Le coefficient directeur de la droite donnée est 2 ; une perpendiculaire a pour coefficient −1/2. En imposant le passage par A(1 ; 2), on trouve 2 = −1/2 + b, soit b = 5/2, d'où y = −x/2 + 5/2.

Question 42Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Le cercle d'équation x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0 a pour centre et rayon :

  1. centre (2 ; −3), rayon 4 Correct answer.
  2. centre (4 ; −6), rayon 3
  3. centre (2 ; −3), rayon 16
  4. centre (−2 ; 3), rayon 4

Explanation

On met sous forme canonique : (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 − 3 = 0, soit (x − 2)² + (y + 3)² = 16. Le centre est donc (2 ; −3) et le rayon vaut √16 = 4.

Question 43Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Dans un repère orthonormé de l'espace, le plan d'équation 2x − y + 2z − 6 = 0 coupe l'axe (Oz) au point de coordonnées :

  1. (0 ; 0 ; 6)
  2. (0 ; 0 ; 3) Correct answer.
  3. (0 ; 0 ; −3)
  4. (3 ; 0 ; 0)

Explanation

Un point de l'axe (Oz) a pour coordonnées (0 ; 0 ; z). En reportant dans l'équation, on obtient 2z − 6 = 0, donc z = 3. Le point d'intersection est (0 ; 0 ; 3).

Question 44Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Une droite D a pour vecteur directeur u(2 ; −1 ; 3) et passe par A(1 ; 0 ; 2). Le point B(5 ; −2 ; 8) appartient-il à D ?

  1. Non, car B n'appartient pas au plan z = 2
  2. Oui, car les deux points ont des coordonnées entières
  3. Oui, car le vecteur AB est colinéaire à u Correct answer.
  4. Non, car les coordonnées ne sont pas proportionnelles

Explanation

On calcule AB = (4 ; −2 ; 6) = 2·(2 ; −1 ; 3) = 2u. Ce vecteur est colinéaire au vecteur directeur, donc B appartient bien à la droite D.

Question 45Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = e^(−x²). Sa courbe représentative admet :

  1. une asymptote verticale en x = 0
  2. un maximum en x = 0 valant 1 Correct answer.
  3. deux points d'inflexion en x = 0
  4. un minimum en x = 0 valant 1

Explanation

On dérive : f'(x) = −2x·e^(−x²), qui s'annule en changeant de signe (positif puis négatif) en x = 0. La fonction croît puis décroît, avec f(0) = e⁰ = 1, ce qui donne un maximum global valant 1.

Question 46Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

La fonction f définie sur ℝ par f(x) = (2x − 1)/(x + 3) a pour ensemble de définition et asymptote horizontale :

  1. ℝ\{−3} avec asymptote y = 2 Correct answer.
  2. ℝ avec asymptote y = 2
  3. ℝ\{3} avec asymptote y = 2
  4. ℝ\{−3} avec asymptote y = −1/3

Explanation

Le dénominateur s'annule en x = −3, valeur exclue du domaine. En +∞ et en −∞, le quotient tend vers le rapport des coefficients dominants, soit 2/1 = 2, d'où l'asymptote horizontale y = 2.

Question 47Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

La somme S = Σ(k = 1 à n) (2k − 1) est égale à :

  1. 2n² − n
  2. n² Correct answer.
  3. n(n + 1)
  4. n(n + 1)/2

Explanation

On sépare les termes : 2·Σk − Σ1 = 2·n(n + 1)/2 − n = n(n + 1) − n = n². On retrouve ainsi la somme des n premiers entiers impairs, qui vaut n².

Question 48Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Le module et l'argument du nombre complexe z = −1 + i sont :

  1. |z| = 2 et arg(z) = 3π/4
  2. |z| = √2 et arg(z) = π/4
  3. |z| = 1 et arg(z) = −π/4
  4. |z| = √2 et arg(z) = 3π/4 Correct answer.

Explanation

Le module vaut √((−1)² + 1²) = √2. Le point se situe dans le deuxième quadrant, avec cos θ = −1/√2 et sin θ = 1/√2, ce qui donne θ = 3π/4.

Question 49Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x − 2 + ln(x). L'équation f(x) = 0 admet :

  1. une unique solution dans ]1 ; 2[ Correct answer.
  2. aucune solution
  3. une unique solution dans ]2 ; 3[
  4. deux solutions dans ]0 ; +∞[

Explanation

f est strictement croissante comme somme de fonctions croissantes, donc l'équation a au plus une solution. Or f(1) = −1 < 0 et f(2) = ln(2) > 0 : par le théorème des valeurs intermédiaires, la solution unique est dans ]1 ; 2[.

Question 50Mathématiques (algebra, analysis, trigonometry, geometry)

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, l'application qui à tout point d'affixe z associe z' = z·e^(iπ/3) est :

  1. une homothétie de centre O et de rapport 3
  2. une symétrie axiale par rapport à l'axe des réels
  3. une translation de vecteur d'affixe e^(iπ/3)
  4. une rotation de centre O et d'angle π/3 Correct answer.

Explanation

Multiplier un affixe par e^(iθ) conserve le module et ajoute θ à l'argument. Ici θ = π/3, ce qui décrit exactement la rotation de centre O (point d'affixe 0) et d'angle π/3.