Mathématiques - analyse, algèbre, trigonométrie et géométrie
Mathématiques - analyse, algèbre, trigonométrie et géométrie
L'épreuve de mathématiques du concours EAC évalue la maîtrise des outils de calcul, de raisonnement et de représentation. Elle porte sur l'algèbre (équations, inéquations, suites), l'analyse (limites, continuité, dérivation, intégration), la trigonométrie (cercle trigonométrique, identités, résolution d'équations) et la géométrie (vecteurs, produit scalaire, configurations du plan et de l'espace).
Règles et concepts clés
- Une équation n'est résolue que sur son ensemble de définition ; vérifier les valeurs interdites.
- La dérivée de x ↦ ln x est 1/x sur ]0 ; +∞[ ; celle de x ↦ e^x est e^x.
- Identités à connaître : cos²x + sin²x = 1, cos(2x) = 2cos²x − 1, sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b.
- Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
- Une suite (u_n) est arithmétique si u_{n+1} − u_n = r constant ; géométrique si u_{n+1}/u_n = q constant non nul.
Exemple travaillé
Résoudre 2cos²x − 3cos x + 1 = 0 sur [0 ; 2π]. On pose t = cos x. L'équation devient 2t² − 3t + 1 = 0, de discriminant Δ = 9 − 8 = 1. Les racines sont t = (3 ± 1)/4, soit t = 1 ou t = 1/2. On revient à cos x : cos x = 1 donne x = 0 ou x = 2π ; cos x = 1/2 donne x = π/3 ou x = 5π/3. L'ensemble solution est {0 ; π/3 ; 5π/3 ; 2π}. Le raisonnement est valide car les deux valeurs de t appartiennent à [−1 ; 1].
Pièges qui coûtent des points
- Travailler en degrés alors que la calculatrice est en radians, ou l'inverse.
- Oublier les solutions dues à la périodicité et aux symétries du cercle trigonométrique.
- Élever au carré sans vérifier les solutions parasites.
- Confondre produit scalaire nul et vecteurs nuls.