Parallelle verwarmingselementen: welke weerstand past?
Een installatiebedrijf bouwt warmteunits met twee parallel geschakelde verwarmingselementen. Voor de vervangingsweerstand R (in ohm) van de schakeling geldt 1/R = 1/R₁ + 1/R₂. Element 1 is vast en heeft R₁ = 12 Ω; element 2 is verwisselbaar en heeft R₂ > 0. De fabrikant schrijft voor dat de vervangingsweerstand tussen 4,0 Ω en 6,0 Ω moet liggen, anders slaat de beveiliging aan. In het magazijn liggen elementen met R₂ = 4, 6, 8, 10 en 24 Ω. Een monteur wil de unit afstellen op precies 5,0 Ω, omdat de warmteafgifte dan het beste past bij het leidingnet. Hij heeft geen regelbare weerstand ter beschikking en moet dus een element uit het magazijn kiezen. Het bedrijf wil bovendien weten of de schakeling bij zeer grote R₂ nog gevaarlijk kan worden: de specificatie van de behuizing is namelijk alleen geldig zolang R onder de 12 Ω blijft.
1. Herleid 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ tot een formule waarin R is uitgedrukt in R₁ en R₂. Bereken vervolgens met de eis 4,0 ≤ R ≤ 6,0 welke elementen uit het magazijn bruikbaar zijn.
Read the worked answer
Herleiden.
1/R = 1/12 + 1/R₂ = (R₂ + 12)/(12·R₂)
Kruislings vermenigvuldigen (R₂ > 0, dus teller en noemer zijn positief):
R = 12·R₂/(12 + R₂)
Eis R ≥ 4,0. Omdat 12 + R₂ > 0 mag je kruislings vermenigvuldigen:
12·R₂ ≥ 4·(12 + R₂) → 12·R₂ ≥ 48 + 4·R₂ → 8·R₂ ≥ 48 → R₂ ≥ 6
Eis R ≤ 6,0.
12·R₂ ≤ 6·(12 + R₂) → 12·R₂ ≤ 72 + 6·R₂ → 6·R₂ ≤ 72 → R₂ ≤ 12
Dus 6 ≤ R₂ ≤ 12. Uit het magazijn voldoen R₂ = 6, 8 en 10 Ω. Controle: R₂ = 6 geeft R = 72/18 = 4,0 Ω (precies op de grens, dus toegestaan); R₂ = 8 geeft 96/20 = 4,8 Ω; R₂ = 10 geeft 120/22 ≈ 5,45 Ω. R₂ = 4 geeft 48/16 = 3,0 Ω (te laag) en R₂ = 24 geeft 288/36 = 8,0 Ω (te hoog).
2. De monteur wil R = 5,0 Ω. Bereken welke R₂ daarvoor nodig is en beredeneer welk element uit het magazijn hij het beste kan pakken.
Read the worked answer
Exacte waarde. Vul R = 5,0 in:
12·R₂/(12 + R₂) = 5,0 → 12·R₂ = 5,0·(12 + R₂) → 12·R₂ = 60 + 5,0·R₂ → 7·R₂ = 60 → R₂ = 60/7 ≈ 8,57 Ω.
Die waarde ligt niet in het magazijn, dus de monteur moet benaderen.
Vergelijken. Met R₂ = 8 Ω: R = 96/20 = 4,8 Ω, afwijking 0,2 Ω. Met R₂ = 10 Ω: R = 120/22 ≈ 5,45 Ω, afwijking ongeveer 0,45 Ω.
Conclusie. Het element van 8 Ω zit het dichtst bij 5,0 Ω en voldoet bovendien ruim aan de eis 4,0 ≤ R ≤ 6,0. Het element van 10 Ω voldoet ook aan de eis, maar wijkt meer af. Kiezen voor 8 Ω is dus de beste beslissing: het exacte ideaal is niet leverbaar, dus je moet afwegen tussen nabijheid bij 5,0 Ω en het blijven binnen de veiligheidsspecificatie.
3. Beredeneer met de herleide formule dat R altijd kleiner is dan 12 Ω, ook als R₂ heel groot wordt, en dat R toeneemt wanneer R₂ toeneemt.
Read the worked answer
Herschrijven.
R = 12·R₂/(12 + R₂)
Truc: schrijf de teller als 12·(12 + R₂) − 144. Dan:
R = 12 − 144/(12 + R₂)
R < 12. Voor elke R₂ > 0 is 144/(12 + R₂) een positief getal, dus R = 12 − (iets positiefs) < 12. De behuizing zit dus altijd veilig, hoe groot R₂ ook wordt.
R stijgt met R₂. Als R₂ groter wordt, wordt 12 + R₂ groter, dus 144/(12 + R₂) kleiner, dus de aftrek kleiner, dus R groter. R nadert naar 12 maar bereikt die waarde nooit: bij R₂ = 10 is R ≈ 5,45, bij R₂ = 24 is R = 8,0, bij R₂ = 100 is R ≈ 10,7.
Interpretatie. Twee parallelle weerstanden geven altijd een kleinere vervangingsweerstand dan de kleinste van de twee; hier is 12 Ω steeds de bovengrens. De grenswaarde R₂ = 12 uit de vorige opgave is dus geen toeval: bij R₂ = 12 is R precies 6,0 Ω, de bovengrens van de fabrikant.