Naamsbekendheid van een campagne: waar zit de asymptoot?
Een marketingbureau volgt de naamsbekendheid van een nieuw product. Op grond van meetgegevens wordt het percentage N van de bevolking dat het product kent gemodelleerd met N(t) = 80 − 65·0,92^t, waarbij t het aantal weken na de start van de campagne is. Bij de start (t = 0) kent 15% van de bevolking het product. Het bureau wil drie dingen weten. Ten eerste na hoeveel weken de helft van de bevolking het product kent. Ten tweede of de campagne ooit 79% bekendheid haalt, want de opdrachtgever heeft die doelstelling in het contract laten opnemen. Ten derde vanaf welk moment de bekendheid boven de 60% ligt, omdat er dan een tweede, duurdere fase in de campagne moet starten. De opdrachtgever twijfelt aan het model: volgens hem kan de bekendheid op den duur naar 100% groeien als het bedrijf maar lang genoeg doorgaat met adverteren.
1. Bereken na hoeveel weken de helft van de bevolking het product kent volgens dit model. Rond af op één decimaal.
Read the worked answer
Vergelijking opstellen. Los op: 80 − 65·0,92^t = 50.
Stap voor stap.
65·0,92^t = 30 → 0,92^t = 30/65 ≈ 0,46154
Logaritme nemen: t = log(0,46154)/log(0,92) ≈ (−0,33579)/(−0,03621) ≈ 9,27.
Conclusie. Na ongeveer 9,3 weken kent de helft van de bevolking het product.
Controle. N(9) = 80 − 65·0,92^9 ≈ 80 − 65·0,4722 ≈ 49,3 (nog net onder 50) en N(10) = 80 − 65·0,4344 ≈ 51,8 (boven 50). De uitkomst 9,3 weken past dus bij de grafiek: het model is stijgend en kruist de 50% een keer.
2. Bereken of het model ooit 79% bekendheid oplevert. Beoordeel daarmee ook de bewering van de opdrachtgever dat 100% haalbaar is.
Read the worked answer
Vergelijking voor 79%.
80 − 65·0,92^t = 79 → 65·0,92^t = 1 → 0,92^t = 1/65 ≈ 0,01538
t = log(0,01538)/log(0,92) ≈ (−1,8129)/(−0,03621) ≈ 50,1.
Dus na ongeveer 50 weken (ongeveer een jaar) bereikt het model de 79%. De contractdoelstelling is met dit model dus haalbaar, al duurt het lang.
Beoordeling van de 100%-bewering. Voor elke waarde van t geldt 0,92^t > 0, dus 65·0,92^t > 0, en daarmee N(t) < 80. De grafiek nadert de lijn N = 80 als horizontale asymptoot maar bereikt die nooit. Het model voorspelt dus een verzadiging op 80%: er blijft altijd een deel van de bevolking dat het product niet kent. De bewering van de opdrachtgever is in strijd met het model; wil hij 100% serieus als doel, dan moet het model zelf worden herzien (bijvoorbeeld met een hogere asymptoot op basis van nieuwe meetgegevens), niet alleen de campagne worden verlengd.
3. Bereken vanaf welk moment de bekendheid boven de 60% ligt. Let goed op de richting van de ongelijkheid en licht die richting toe.
Read the worked answer
Ongelijkheid.
80 − 65·0,92^t > 60 → 65·0,92^t < 20 → 0,92^t < 20/65 ≈ 0,30769
Omslagpunt. t = log(0,30769)/log(0,92) ≈ (−0,51188)/(−0,03621) ≈ 14,14.
Richting van de ongelijkheid. Het grondtal 0,92 ligt tussen 0 en 1, dus de functie 0,92^t is dalend en de logaritme met grondtal 0,92 is ook dalend. Bij het toepassen van die dalende functie op beide leden klapt het teken om: uit 0,92^t < 0,30769 volgt t > 14,14. (Bij een grondtal groter dan 1 zou het teken juist gelijk blijven.)
Conclusie. Vanaf ongeveer 14,1 weken, dus vanaf week 15, ligt de bekendheid boven de 60%. Controle: N(14) = 80 − 65·0,92^14 ≈ 80 − 65·0,3112 ≈ 59,8 (net onder 60) en N(15) ≈ 80 − 65·0,2863 ≈ 61,4 (boven 60). De tweede fase moet dus in week 15 starten.