Zendmast en rechte weg: snijpunten, koordelengte en raaklijn
Twee zendmasten staan in een vlak poldergebied. In een assenstelsel waarin 1 eenheid overeenkomt met 1 km, staat mast M in het punt (4, 3) en heeft hij een bereik van 5 km. Een rechte weg loopt langs de lijn k met vergelijking 4x + 3y = 25. Auto's op die weg blijven binnen het bereik van M zolang hun afstand tot M hoogstens 5 km is. De beheerder van het netwerk wil drie dingen weten. Allereerst waar de weg het bereik van de mast binnenkomt en verlaat. Verder wil hij weten over welke lengte van de weg er ontvangst is, omdat hij daar reclameborden wil plaatsen. Ten slotte wil hij op het punt waar de weg het bereik verlaat een richtantenne plaatsen die loodrecht op de weg staat. Een technicus beweert dat de raaklijn aan de bereikcirkel in dat punt automatisch loodrecht op de weg staat, omdat de weg door het middelpunt van de cirkel loopt.
1. Toon aan dat de weg door het middelpunt M gaat en bereken de coördinaten van de punten waar de weg het bereik van de mast binnenkomt en verlaat.
Read the worked answer
Ligt M op k? Vul x = 4 en y = 3 in: 4·4 + 3·3 = 16 + 9 = 25. Klopt, dus de weg gaat precies langs de mast.
Cirkel opstellen. Het bereik is de cirkel (x − 4)² + (y − 3)² = 25.
Snijpunten zonder zwaar rekenwerk. Omdat k door het middelpunt gaat, liggen de snijpunten op 5 km van M, in de richting van de weg. De normaalvector van k is (4, 3), dus een richtingsvector is (3, −4); de lengte daarvan is √(9 + 16) = 5. Eén km langs de weg komt dus overeen met (3/5, −4/5), en 5 km komt overeen met de vector (3, −4).
De snijpunten zijn dus M + (3, −4) = (7, −1) en M − (3, −4) = (1, 7).
Controle in de cirkelvergelijking. (7 − 4)² + (−1 − 3)² = 9 + 16 = 25 en (1 − 4)² + (7 − 3)² = 9 + 16 = 25. Beide punten kloppen.
2. Bereken over welke lengte van de weg er ontvangst is. Licht toe waarom je dit ook zonder de afstand tussen beide snijpunten uit te rekenen kunt beredeneren.
Read the worked answer
Beredenering. De weg is een lijn door het middelpunt van de cirkel. Het deel van de lijn binnen de cirkel is daarom een middellijn, en de lengte daarvan is twee keer de straal.
Lengte = 2 · 5 = 10 km.
Controle met de coördinaten. De snijpunten zijn (7, −1) en (1, 7). De afstand is √((7 − 1)² + (−1 − 7)²) = √(36 + 64) = √100 = 10 km. Dat klopt.
Interpretatie voor de beheerder. Er is dus 10 km weg met ontvangst. Omdat de weg precies door de mast gaat, is dit de maximale koordelengte die bij een straal van 5 km mogelijk is; had de weg niet door M gelopen, dan was het traject korter geweest (bij een afstand d van het middelpunt tot de weg geldt lengte = 2·√(25 − d²)).
3. Bereken de vergelijking van de raaklijn aan de bereikcirkel in het punt (7, −1) en beoordeel de bewering van de technicus dat deze raaklijn loodrecht op de weg staat.
Read the worked answer
Straal opstellen. De straal naar het raakpunt loopt van M(4, 3) naar P(7, −1), dus richtingsvector (7 − 4, −1 − 3) = (3, −4).
Raaklijn. Een raaklijn staat loodrecht op de straal naar het raakpunt. Een vector loodrecht op (3, −4) is (4, 3). De raaklijn door (7, −1) is dus:
y + 1 = (3/4)·(x − 7) → 4y + 4 = 3x − 21 → 3x − 4y = 25
Beoordeling van de bewering. De weg heeft vergelijking 4x + 3y = 25, dus richtingsvector (3, −4). Het inproduct met de richtingsvector (4, 3) van de raaklijn is 3·4 + (−4)·3 = 0, dus de lijnen staan inderdaad loodrecht op elkaar.
De redenering van de technicus klopt: als een lijn door het middelpunt van de cirkel gaat, valt de straal naar het snijpunt samen met die lijn, en de raaklijn staat altijd loodrecht op de straal. Bij het andere snijpunt (1, 7) horen dezelfde soorten lijnen: de raaklijn daar is 3x − 4y = −25, die is evenwijdig aan de eerste raaklijn, en ook die staat loodrecht op de weg. In beide gevallen kun je dus volstaan met de richtingsvector van de weg; de bewering is niet toevallig waar.