Open bakken uit één stuk karton: optimale afmetingen met en zonder deksel
Een fabrikant maakt open bakken (zonder deksel) met een vierkant grondvlak. Elke bak wordt geplakt uit één stuk karton met een oppervlakte van 1200 cm²; snijverlies en plakranden worden verwaarloosd. De zijde van het grondvlak is x cm en de hoogte is h cm. De oppervlakte van het karton is gelijk aan het grondvlak plus de vier zijvlakken: x² + 4xh = 1200. De fabrikant wil de bak met de grootste inhoud. Een stagiair stelt voor om gewoon x = 20 cm te nemen, 'want dan is het grondvlak mooi rond de 400 cm²'. De bedrijfsleider wil eerst weten welke waarden van x überhaupt mogelijk zijn, daarna wat de optimale afmetingen zijn, en ten slotte of de conclusie verandert als de bak wél een deksel krijgt. In dat laatste geval wordt het karton gebruikt voor twee vierkanten (bodem en deksel) plus vier zijvlakken, bij dezelfde 1200 cm².
1. Druk h uit in x en toon aan dat voor de inhoud geldt V(x) = 300x − 0,25x³. Geef ook het domein van V dat uit de situatie volgt.
Read the worked answer
Herleiden van h. Uit x² + 4xh = 1200 volgt 4xh = 1200 − x², dus
h = (1200 − x²)/(4x)
Inhoud opstellen. De inhoud is V = x² · h, dus
V = x² · (1200 − x²)/(4x) = x · (1200 − x²)/4 = (1200x − x³)/4 = 300x − 0,25x³
Domein. De zijde x moet positief zijn en de hoogte h moet positief zijn. Uit h > 0 volgt 1200 − x² > 0, dus x² < 1200 en x < √1200 = 20√3 ≈ 34,64. Het domein is dus 0 < x < 34,64 (in cm).
Opmerking bij de randgevallen. Bij x → 0 wordt de bak oneindig hoog met een inhoud die naar 0 gaat; bij x → 34,64 wordt h = 0 en dus ook V = 0. Het maximum zal dus ergens in het inwendige van het domein moeten liggen, en dat maakt differentiëren zinvol.
2. Bereken met behulp van de afgeleide bij welke afmetingen de inhoud maximaal is en hoe groot die maximale inhoud is. Beoordeel daarna het voorstel van de stagiair (x = 20 cm).
Read the worked answer
Afgeleide. V(x) = 300x − 0,25x³, dus V'(x) = 300 − 0,75x².
Nul stellen. 300 − 0,75x² = 0 → 0,75x² = 300 → x² = 400 → x = 20 (de negatieve oplossing valt buiten het domein).
Soort extreme waarde. Neem bijvoorbeeld x = 10: V'(10) = 300 − 75 = 225 > 0 (stijgend). Neem x = 30: V'(30) = 300 − 675 = −375 < 0 (dalend). De afgeleide gaat dus van positief naar negatief, dus bij x = 20 is er een maximum.
Afmetingen en inhoud. x = 20 cm geeft h = (1200 − 400)/(4·20) = 800/80 = 10 cm. De inhoud is V = 300·20 − 0,25·8000 = 6000 − 2000 = 4000 cm³ (ook te controleren met x²·h = 400·10 = 4000).
Beoordeling van de stagiair. De stagiair noemt toevallig de juiste waarde, maar zijn argument deugt niet: 'een mooi rond grondvlak' is geen criterium, en de afgeleide laat zien dat het maximum bij x = 20 hoort bij een hoogte van 10 cm, niet bij een willekeurig grote bodem. Zijn voorstel is dus alleen goed te verdedigen als hij ook laat zien dat V'(20) = 0 en dat het teken van V' daar wisselt.
3. Onderzoek de variant waarbij de bak wél een deksel krijgt: het karton wordt dan gebruikt voor bodem, deksel en vier zijvlakken, samen 1200 cm². Bepaal de optimale afmetingen en vergelijk de maximale inhoud met die van de open bak.
Read the worked answer
Nieuw verband. Bodem en deksel zijn elk x², de vier zijvlakken zijn samen 4xh:
2x² + 4xh = 1200 → h = (1200 − 2x²)/(4x)
Inhoud als functie van x.
V = x² · (1200 − 2x²)/(4x) = (1200x − 2x³)/4 = 300x − 0,5x³
Domein: h > 0 geeft 1200 − 2x² > 0, dus x < √600 ≈ 24,49.
Afgeleide en optimum. V'(x) = 300 − 1,5x² = 0 → x² = 200 → x = 10√2 ≈ 14,14 cm. Dan is h = (1200 − 400)/(4·14,14) = 800/56,57 ≈ 14,14 cm, dus h = x. Het teken van V' wisselt hier van positief naar negatief, dus dit is een maximum.
Inhoud. V = 200 · 14,14 ≈ 2828 cm³, ofwel x³ = (10√2)³ ≈ 2,8·10³ cm³.
Vergelijking. Met deksel is de maximale inhoud ongeveer 2828 cm³, tegen 4000 cm³ zonder deksel. Dat is logisch: bij dezelfde hoeveelheid karton gaat er oppervlak naar het deksel, dat niet bijdraagt aan de inhoud. De optimale vorm verschuift bovendien: zonder deksel is de bak breed en laag (x = 20, h = 10), met deksel juist kubusachtig (h = x). Wie het model aanpast, moet dus ook het optimum opnieuw berekenen in plaats van de oude afmetingen te hergebruiken.