Getijden in de haven: sinusmodel, vaarvenster en stijgsnelheid
Een haven aan de Noordzee heeft last van wisselende waterstanden. Voor een bepaalde dag wordt de waterhoogte boven NAP gemodelleerd met h(t) = 1,4 + 1,1·sin(π(t − 3)/6), waarin t de tijd in uren is (t = 0 komt overeen met middernacht) en h in meter. De havenmeester moet beslissingen nemen over het al dan niet uitvaren van schepen. Een vrachtschip heeft een diepgang van 1,9 m en heeft onder de kiel minimaal 0,4 m water nodig; het kan dus alleen veilig varen als de waterhoogte minstens 2,3 m is. Daarnaast wil de havenmeester weten hoe snel het water 's ochtends het sterkst stijgt, omdat de kades dan extra belast worden. Ten slotte vraagt een visser zich af of de waterhoogte op deze dag ooit precies 0 m (NAP) bereikt; hij denkt van wel, omdat het eb wordt.
1. Bepaal de amplitude, de evenwichtsstand en de periode van h. Beoordeel met die gegevens de bewering van de visser dat de waterhoogte die dag 0 m bereikt.
Read the worked answer
Kenmerken van het sinusmodel. De formule heeft de vorm h(t) = d + a·sin(...), met evenwichtsstand d = 1,4 m en amplitude a = 1,1 m. De periode volgt uit de factor π/6 voor t: periode = 2π/(π/6) = 12 uur. Dat past bij een getijdecyclus van ongeveer 12 uur.
Uiterste waarden. De hoogste waterstand is 1,4 + 1,1 = 2,5 m (hoogwater), de laagste is 1,4 − 1,1 = 0,3 m (laagwater).
Wanneer is het laagwater? sin(π(t − 3)/6) = −1 geeft π(t − 3)/6 = −π/2 + 2kπ, dus t = 0 + 12k. Het laagste punt ligt dus precies om middernacht (t = 0) en opnieuw om t = 12.
Beoordeling. De minimale waterhoogte is 0,3 m boven NAP, dus de waterhoogte komt die dag niet bij 0 m en zeker niet eronder. De visser heeft ongelijk: het wordt wel eb, maar het water zakt volgens dit model niet tot NAP. Alleen als de amplitude groter dan 1,4 m zou zijn, zou 0 m in het bereik liggen.
2. Bereken tussen welke tijdstippen het vrachtschip veilig kan uitvaren en hoe lang dat venster per getijde duurt. Rond af op hele minuten.
Read the worked answer
Voorwaarde. Er moet gelden h(t) ≥ 2,3:
1,4 + 1,1·sin(π(t − 3)/6) ≥ 2,3 → 1,1·sin(π(t − 3)/6) ≥ 0,9 → sin(π(t − 3)/6) ≥ 0,81818
Oplossen. arcsin(0,81818) ≈ 0,9588 rad. Binnen één periode van 12 uur zijn er twee oplossingen:
π(t − 3)/6 = 0,9588 → t − 3 = 6·0,9588/π ≈ 1,831 → t ≈ 4,83
π(t − 3)/6 = π − 0,9588 ≈ 2,1828 → t − 3 = 6·2,1828/π ≈ 4,169 → t ≈ 7,17
Tussen deze twee tijdstippen is de sinus groter dan 0,81818, dus daar geldt h ≥ 2,3.
Duur. 7,17 − 4,83 ≈ 2,34 uur, dat is ongeveer 2 uur en 20 minuten. Het schip kan dus van ongeveer 04:50 tot ongeveer 07:10 uur uitvaren. Omdat de periode 12 uur is, herhaalt dit venster zich rond 16:50–19:10 uur.
Controle. h(6) = 1,4 + 1,1·sin(π/2) = 2,5 ≥ 2,3 (hoogwater, ruim voldoende) en h(4) ≈ 1,4 + 1,1·sin(π/6) = 1,95 < 2,3 (nog niet veilig). De grenzen 4,83 en 7,17 uur passen daarbij.
3. Bereken met de afgeleide hoe groot de maximale stijgsnelheid van het water in de ochtend is en op welk tijdstip die optreedt. Geef ook de eenheid van je antwoord.
Read the worked answer
Afgeleide bepalen. Met de kettingregel:
h'(t) = 1,1·(π/6)·cos(π(t − 3)/6)
Maximum van de cosinus. De cosinus is hoogstens 1, dus h'(t) ≤ 1,1·π/6 ≈ 0,576. De maximale stijgsnelheid is dus ongeveer 0,58 m per uur.
Tijdstip. Die maximale waarde treedt op als cos(π(t − 3)/6) = 1, dus π(t − 3)/6 = 0 (of 2π), waaruit t = 3 (of t = 15). In de ochtend is dat om 03:00 uur.
Interpretatie en controle. Om 03:00 uur is de waterstand 1,4 m, precies de evenwichtsstand: het water stijgt daar het snelst. Om 06:00 uur is het hoogwater (h = 2,5 m) en dan is cos(π/2) = 0, dus h'(6) = 0: op het hoogtepunt stijgt het water even niet meer. Omgekeerd is de daalsnelheid rond 09:00 uur maximaal, met h'(9) = −1,1·π/6 ≈ −0,58 m per uur. De eenheid m/uur volgt uit meter gedeeld door uur; de factor π/6 heeft eenheid 1/uur en zorgt voor de juiste schaal.