Meetkunde met coördinaten
Meetkunde met coördinaten: rekenen aan figuren
Je beschrijft lijnen, cirkels en vectoren met coördinaten en gebruikt algebra om meetkundige eigenschappen te bewijzen of te berekenen. Centraal staan afstand, loodrechte stand, richtingscoëfficiënt, cirkelvergelijkingen, raaklijnen en hoeken.
Lijnen en vectoren
- De richtingscoëfficiënt van de lijn door A(x_A,y_A) en B(x_B,y_B) is m=(y_B−y_A)/(x_B−x_A), mits x_A≠x_B.
- Twee lijnen staan loodrecht als m_1·m_2=−1; een verticale lijn heeft geen richtingscoëfficiënt en staat loodrecht op een horizontale lijn.
- De lengte van vector (a,b) is √(a²+b²). Het inproduct van (a,b) en (c,d) is ac+bd; is dit 0, dan staan de vectoren loodrecht.
Cirkels en raaklijnen
- De cirkel met middelpunt M(a,b) en straal r heeft vergelijking (x−a)²+(y−b)²=r².
- Bij x²+y²+Dx+Ey+F=0 vind je het middelpunt en de straal door kwadraat af te splitsen.
- Een raaklijn in punt P op de cirkel staat loodrecht op de straal MP. Bereken dus eerst de richtingscoëfficiënt van MP en neem daarvan het negatieve omgekeerde.
Uitgewerkt voorbeeld
Gegeven x²+y²−6x+4y−12=0. Splits kwadraat af: x²−6x=(x−3)²−9 en y²+4y=(y+2)²−4. Dus (x−3)²+(y+2)²−9−4−12=0, zodat (x−3)²+(y+2)²=25. Middelpunt M(3,−2), straal r=5.
Valkuilen
- Bij kwadraat afsplitsen het getal buiten de haakjes verkeerd optellen.
- De straal opschrijven als r² in plaats van r.
- Vergeten dat een raaklijn loodrecht op de straal staat.
- Bij loodrechte stand delen door m=0 of het minteken vergeten.