Calculus (differentiaal- en integraalrekening)
Calculus: verandering en oppervlakte
Differentiaal- en integraalrekening toetst of je hellingen, extremen en oppervlaktes kunt berekenen en of je de uitkomst in een context kunt duiden. Je differentieert machtsfuncties, wortels, exponentiële en logaritmische functies, en je primitiveert veelterm- en eenvoudige samengestelde functies.
Differentiëren en raaklijnen
- Voor f(x)=x^n is f'(x)=n·x^(n−1); voor f(x)=e^x geldt f'(x)=e^x en voor f(x)=ln(x) geldt f'(x)=1/x.
- De kettingregel: [f(g(x))]'=f'(g(x))·g'(x).
- De raaklijn in x=a heeft vergelijking y=f(a)+f'(a)·(x−a).
- Extremen vind je waar f'(x)=0; gebruik een tekenoverzicht of f'' om maximum en minimum te onderscheiden.
Primitiveren en oppervlakte
- Een primitieve van x^n is (1/(n+1))x^(n+1)+C voor n≠−1.
- De oppervlakte tussen de grafiek van f en de x-as tussen x=a en x=b is ∫_a^b f(x)dx als f daar niet negatief is; bij een tekenwissel splits je het interval.
- De gemiddelde waarde van f op [a,b] is (1/(b−a))·∫_a^b f(x)dx.
Uitgewerkt voorbeeld
Bereken de oppervlakte onder f(x)=x²+1 tussen x=0 en x=2. Een primitieve is F(x)=⅓x³+x. Dan is ∫_0^2 (x²+1)dx=F(2)−F(0)=(8/3+2)−0=14/3. De oppervlakte is dus 14/3 (ongeveer 4,67).
Valkuilen
- De kettingregel vergeten bij samengestelde functies.
- Bij een primitieve de constante C vergeten in een onbepaalde integraal, maar die juist niet invullen bij een bepaalde integraal.
- Een negatieve uitkomst bij oppervlakte niet corrigeren.
- f'(a) gebruiken als functiewaarde in de raaklijnvergelijking.