20 % más 10 % no es 30 %: decisiones a partir de un error sistemático
En una IE de Arequipa, el docente de Matemática de 4.º de secundaria planteó: «Una tienda ofrece un descuento del 20 % y, sobre el precio ya rebajado, un 10 % adicional. ¿Cuánto se paga por una chaqueta de S/ 250?». De 30 estudiantes, 14 respondieron S/ 175, 9 respondieron S/ 180, 4 respondieron S/ 200 y 3 dejaron en blanco. Al revisar, el docente comprueba que los 14 que respondieron 175 calculan correctamente el 30 % de 250 y que varios explican por escrito «20 + 10 = 30». Además, en la formación general el director anunció: «El 72 % de nuestros estudiantes aprobó Matemática, así que el 72 % logró la competencia». El dato proviene de una sola sección de 25 estudiantes de 5.º, elegida porque era la del docente con mejor promedio del año anterior. El docente debe planificar la siguiente sesión y responder al director sin desautorizarlo públicamente.
1. Explique matemáticamente por qué S/ 175 es incorrecto, usando la situación, y describa una representación que permita a los 14 estudiantes revisar su procedimiento sin que el docente dicte la regla.
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Por qué es incorrecto: el segundo descuento no se aplica sobre S/ 250 sino sobre el precio ya rebajado.
- 250 → 20 % de 250 = 50 → queda S/ 200.
- 10 % de 200 = 20 → se paga S/ 180.
- El error da 250 × 0,70 = S/ 175, es decir, aplica el 10 % sobre 250 (S/ 25) en lugar de sobre 200 (S/ 20).
- En factores: 0,80 × 0,90 = 0,72, o sea 28 % de descuento, no 30 %.
El error no es aritmético -calculan bien el 30 %- sino del modelo: trataron descuentos sucesivos como aditivos. Por eso reexplicar la regla no lo corrige.
Representación para que lo revisen ellos: entregar una tabla de dos columnas («precio antes / precio después») y pedir que la completen con precios 100, 200 y 250 en ambos procedimientos. El caso de S/ 100 es el más potente: 100 → 80 → 72, y 72 no es 70. Se puede añadir un contraejemplo extremo: dos descuentos del 50 % no dan 100 % (queda la mitad de la mitad, 25 % del precio). Luego se socializan ambas respuestas en la pizarra sin marcar todavía la correcta y se pide argumentar cuál resiste la verificación. Finalmente se institucionaliza: el porcentaje siempre se calcula sobre una base y la base cambia.
2. Elija la decisión pedagógica más pertinente y justifíquela frente a las otras dos: (a) reexplicar la regla en la pizarra y dejar diez ejercicios de tarea; (b) dedicar los primeros 20 minutos de la sesión siguiente a estudiar el error del aula; (c) continuar el programa y reforzar en una semana.
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La opción correcta es (b).
Fundamento: 14 de 30 estudiantes comparten el mismo error, lo que lo convierte en un dato colectivo y no en un caso individual: es la evidencia que debe orientar la enseñanza. Estudiar el error implica conflicto cognitivo, comparación de procedimientos y argumentación, que es donde se modifica el modelo mental. Además, el error es un contenido matemático valioso (proporcionalidad compuesta, base de cálculo), no una falla que se oculta.
Por qué no (a): reexplicar la regla refuerza el mismo camino que ya falló; quien tiene el modelo aditivo puede repetir el algoritmo correcto sin abandonar su idea, y la tarea de diez ejercicios produce respuestas correctas sin comprensión. Tampoco permite recoger nueva evidencia sobre el razonamiento.
Por qué no (c): postergar deja circular el error y lo consolida; además, los contenidos siguientes suelen apoyarse en este (porcentajes, aumentos sucesivos, interés compuesto). No se trata de detener el programa, sino de invertir 20 minutos con un propósito claro y continuar.
Cómo se registra: anotar la evidencia en el cuaderno de campo («14/30 aplican composición aditiva de porcentajes»), definir el indicador de logro de la sesión y prever un nuevo ítem de verificación al cierre, con un precio distinto, para comprobar si el modelo cambió.
3. Analice el anuncio del director: distinga qué parte es una inferencia válida y cuál no, y proponga un enunciado correcto.
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Parte válida: el 72 % corresponde a los datos de esa sección: 18 de 25 estudiantes con nota aprobatoria (18 ÷ 25 = 0,72). Como descripción de 5.º de esa sección, el cálculo es correcto.
Inferencias no válidas:
- Generalización indebida. Se extrapola a toda la IE un dato de una sola sección de 25 estudiantes, y precisamente la del docente con mejor promedio: es una muestra no representativa y elegida por conveniencia.
- Equivalencia indebida entre «aprobó» y «logró la competencia». La nota es un resumen que se apoya en evidencia parcial; el nivel de logro de una competencia se establece con evidencias recogidas en situaciones variadas y con criterios explícitos, no con un promedio de calificativos.
Enunciado correcto: «En 5.º A, 18 de 25 estudiantes (72 %) obtuvieron nota aprobatoria en el último periodo; este dato no representa el nivel de aprendizaje del conjunto de la IE».
Recomendación técnica: si se quiere hablar del nivel de la IE, aplicar un instrumento común a una muestra aleatoria de secciones (o a todas) y reportar por grado y por criterio, indicando la evidencia utilizada. Conviene plantearlo al director como mejora de la información para la toma de decisiones, no como corrección pública.