Programme hebdomadaire de deux ateliers et seuil de capitalisation
Deux ateliers d'une ONG à Kinshasa assemblent des kits scolaires. L'atelier A fonctionne x jours par semaine, l'atelier B y jours, à cadences journalières constantes. Lors de la semaine du 3 mars, A a travaillé 5 jours et B 4 jours, produisant ensemble 220 kits ; la semaine suivante, A a travaillé 3 jours et B 6 jours, pour 240 kits. Le magasin dispose de 500 cahiers et de 250 stylos ; chaque kit consomme exactement 2 cahiers et 1 stylo, et aucun réapprovisionnement n'est possible avant trois semaines. La responsable doit fixer le programme de la semaine prochaine sans épuiser le stock, tout en vérifiant que la solution du système est réalisable physiquement. Par ailleurs, une subvention de 400 USD est placée à 6 % par an, intérêts composés, et elle veut connaître l'année à partir de laquelle le capital dépassera 600 USD. Le comptable affirme que 7 ans suffisent ; la responsable exige une démonstration chiffrée avant de signer le contrat.
1. Poser et résoudre le système donnant les cadences journalières x et y. Pourquoi faut-il vérifier que la solution est entière et positive avant de l'utiliser ?
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Les cadences sont supposées constantes, donc :
- 5x + 4y = 220
- 3x + 6y = 240
Élimination : ×3 sur la première (15x + 12y = 660), ×5 sur la seconde (15x + 30y = 1200). Par soustraction : 18y = 540 → y = 30. Report dans la première : 5x + 120 = 220 → x = 20.
Vérification : 3(20) + 6(30) = 60 + 180 = 240 ✔.
Solution (20 ; 30) : A produit 20 kits par jour, B en produit 30. L'exigence d'entiers n'est pas décorative : une demi-journée de production n'a pas de sens ici, et si le système avait donné x = 21,7, il aurait fallu arrondir puis revérifier les contraintes de stock, car arrondir les deux inconnues séparément peut rendre le programme irréalisable.
2. Déterminer le nombre maximal de kits que le stock permet d'assembler, puis proposer deux programmes hebdomadaires réalisables atteignant ce maximum.
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Chaque kit exige 2 cahiers et 1 stylo.
- Cahiers : 500 ÷ 2 = 250 kits.
- Stylos : 250 ÷ 1 = 250 kits.
Les deux ressources saturent en même temps : le plafond est 250 kits. Il faut donc 20a + 30b = 250, soit 2a + 3b = 25 avec a, b entiers positifs.
- b = 5 → 2a = 10 → a = 5 : production 5×20 + 5×30 = 100 + 150 = 250.
- b = 7 → 2a = 4 → a = 2 : production 40 + 210 = 250.
- b = 1 → 2a = 22 → a = 11 : production 220 + 30 = 250.
Les trois programmes consomment exactement 500 cahiers et 250 stylos : aucune marge de sécurité, un kit cassé suffirait à manquer de cahiers. Le programme (a = 5 ; b = 5) est le plus équilibré en jours ouvrés.
3. Résoudre 400(1,06)^n > 600 et indiquer si l'affirmation du comptable est exacte.
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400(1,06)^n > 600 ⟺ 1,06^n > 1,5.
On passe au logarithme népérien ; comme ln 1,06 > 0, le sens de l'inégalité est conservé :
n · ln 1,06 > ln 1,5 n > 0,4055 / 0,05827 = 6,96.
n étant un nombre d'années entières, n ≥ 7 (arrondi par excès, jamais par défaut).
Contrôle : 400 × 1,06^7 = 400 × 1,5036 = 601,4 USD > 600 ✔ ; 400 × 1,06^6 = 400 × 1,4185 = 567,4 USD < 600 ✔.
Le comptable a raison sur le chiffre, mais la précision compte : le seuil n'est franchi qu'après la septième année révolue, pas « au bout de 6,96 ans ».