EXETAT Math-Physique common mistakes
EXETAT Math-Physique · Understand the traps and how to avoid them.
Quand on demande le domaine de définition d'une fonction contenant un logarithme ou une racine, l'élève résout ln(u) ≥ 0 ou √u ≥ 0 au lieu d'exiger u > 0 pour le logarithme et u ≥ 0 pour la racine, puis oublie d'intersecter avec les autres conditions (dénominateur non nul, argument du logarithme strictement positif).
La confusion vient du fait que la calculatrice affiche une valeur pour ln(1) = 0 et que l'élève généralise 'on peut prendre le logarithme d'un nombre positif ou nul' ; la condition de positivité stricte de l'argument n'est pas automatisée, et les conditions multiples sont traitées séparément sans intersection finale.
What to do instead
Écrire systématiquement le système de conditions avant tout calcul : argument du logarithme > 0, radicande ≥ 0, dénominateur ≠ 0, puis résoudre chaque inéquation et représenter l'intersection sur une droite graduée. Vérifier la réponse en testant une valeur frontière et une valeur intérieure au domaine.
Face à une équation ou inéquation exponentielle/logarithmique, l'élève applique une transformation non bijective : il écrit ln(a + b) = ln a + ln b, ou passe de ln x² = ln 4 à x = 2 en perdant la solution négative, ou multiplie une inéquation par un terme de signe inconnu sans discuter.
Les propriétés des logarithmes sont mémorisées sous forme de formules isolées sans leur domaine de validité ; le réflexe de 'simplifier' prime sur la vérification des hypothèses, et la perte de solutions vient de l'oubli que x² = 4 admet deux racines.
What to do instead
Avant d'appliquer une propriété, écrire sa condition d'emploi (ln(ab) = ln a + ln b seulement si a > 0 et b > 0). Pour les équations du type ln(x²) = c, poser x² = e^c puis x = ±√(e^c). Pour les inéquations, ramener à un membre nul et étudier le signe par tableau plutôt que de multiplier par une expression de signe inconnu.
En calcul de limites, l'élève substitue directement la valeur et écrit 0/0 = 0 ou ∞/∞ = 1, ou bien il conclut qu'une fonction n'a pas de limite quand les limites à gauche et à droite diffèrent, sans distinguer limite finie, limite infinie et non-existence.
La limite est traitée comme une simple évaluation de fonction ; les formes indéterminées ne sont pas reconnues comme telles, et la notion de limite latérale n'est pas reliée à la définition formelle vue en classe.
What to do instead
Adopter une procédure en trois temps : (1) substitution directe ; (2) si forme indéterminée 0/0 ou ∞/∞, factoriser, conjuguer ou utiliser la règle de l'Hôpital selon le cas ; (3) calculer séparément les limites à gauche et à droite quand le point est une borne du domaine ou un point de raccord. Conclure explicitement 'limite finie = L', 'limite infinie' ou 'pas de limite'.
En dérivation, l'élève dérive une composée en oubliant la règle de la chaîne (dérivée de sin(3x) écrite cos(3x) au lieu de 3cos(3x)), ou dérive un quotient en oubliant le carré du dénominateur, et il confond dérivée et primitive lors du calcul intégral (il primitive x² en 2x).
Les formules sont apprises par cœur sans la structure 'fonction extérieure × dérivée de l'intérieure' ; l'inversion entre dérivation et intégration vient d'un manque de vérification par dérivation du résultat obtenu.
What to do instead
Pour chaque dérivée de composée, écrire explicitement u(x) et u'(x) avant d'appliquer f'(u)·u'. Pour toute primitive trouvée, la dériver mentalement pour vérifier qu'on retrouve l'intégrande. Mémoriser le tableau des primitives usuelles séparément de celui des dérivées.
En géométrie dans l'espace, l'élève calcule un produit scalaire ou vectoriel en mélangeant les formules (il écrit u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ pour un produit vectoriel), ou il utilise la formule du volume du cône à la place de celle de la sphère, ou oublie le facteur 1/3 dans le volume d'une pyramide.
Les formules de géométrie analytique et de solides sont mémorisées visuellement sans être rattachées à un objet géométrique précis ; le manque de schéma mentale conduit à des substitutions de formules entre objets différents.
What to do instead
Associer chaque formule à un croquis rapide et à un exemple chiffré simple (par exemple cube de côté 2 pour vérifier V = a³). Pour le produit vectoriel, vérifier que le résultat est un vecteur et que u·(u×v) = 0. Pour les volumes, retenir le trio base×hauteur (prisme/cylindre), 1/3 base×hauteur (pyramide/cône), 4/3πr³ (sphère).
En probabilités, l'élève additionne des probabilités d'événements non incompatibles sans retrancher l'intersection, ou multiplie des probabilités sans vérifier l'indépendance, et il confond P(A|B) avec P(B|A) ou avec P(A∩B).
Les formules P(A∪B) = P(A) + P(B) et P(A∩B) = P(A)P(B) sont appliquées comme des recettes générales, sans la condition 'incompatibles' ou 'indépendants' ; la probabilité conditionnelle est lue comme une simple fraction sans le référentiel 'sachant B'.
What to do instead
Toujours écrire la formule complète avec ses conditions : P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) ; P(A∩B) = P(A)·P(B) seulement si A et B sont indépendants, sinon utiliser P(A∩B) = P(A)·P(B|A). Pour une probabilité conditionnelle, rédiger 'sachant que B est réalisé, l'univers se réduit à B' avant de calculer.
En cinématique, l'élève utilise v = d/t pour un mouvement uniformément accéléré, ou confond vitesse moyenne et vitesse instantanée, et il oublie que la vitesse est un vecteur (il traite un mouvement curviligne comme un mouvement rectiligne en ne considérant que la norme).
La formule v = d/t est la première apprise et reste le réflexe par défaut ; la distinction entre accélération nulle et accélération constante n'est pas reliée aux équations horaires, et le caractère vectoriel est souvent réduit à un simple calcul de module.
What to do instead
Avant tout calcul, identifier la nature du mouvement (uniforme, uniformément varié, varié quelconque) et choisir les équations correspondantes : x(t) = x₀ + v₀t + ½at², v(t) = v₀ + at. Écrire les grandeurs en vecteurs avec un repère explicite, puis projeter sur les axes. Vérifier les unités et l'ordre de grandeur du résultat.
En électricité, l'élève applique la loi d'Ohm U = RI à un circuit contenant une force électromotrice sans tenir compte de la f.é.m. et de la résistance interne, ou il additionne des résistances en parallèle comme en série, et il inverse les bornes d'un condensateur ou d'une bobine dans un calcul de charge/décharge.
La loi d'Ohm est mémorisée dans sa forme la plus simple et non dans sa forme généralisée U = E − rI ; les règles d'association série/parallèle sont confondues car les formules se ressemblent, et les régimes transitoires ne sont pas reliés à la constante de temps τ = RC ou L/R.
What to do instead
Écrire la loi des mailles avec les signes explicites (f.é.m. et chute de tension) avant toute substitution. Retenir que la résistance équivalente série s'additionne et que le parallèle s'obtient par les inverses (1/Réq = Σ1/Rᵢ), avec vérification que Réq parallèle < plus petite résistance. Pour les transitoires, identifier τ et vérifier que la charge/décharge tend vers la valeur asymptotique attendue.
En optique géométrique, l'élève applique la relation de conjugaison 1/OA' − 1/OA = 1/f' sans respecter la convention de signe (il prend toutes les distances positives), ou il place l'image du même côté que l'objet pour une lentille convergente sans vérifier la position par rapport au foyer.
La convention algébrique des distances (orientées dans le sens de la lumière) n'est pas maîtrisée ; les formules sont apprises sans le schéma de construction géométrique qui permet de contrôler le signe et la position de l'image.
What to do instead
Faire systématiquement le schéma avec les trois rayons remarquables avant de calculer, puis vérifier que le résultat algébrique (OA' positif ou négatif) correspond au schéma. Rappeler la convention : distances mesurées depuis le centre optique, positives dans le sens de propagation de la lumière. Contrôler le grandissement γ = OA'/OA et la nature réelle/virtuelle de l'image.
En thermodynamique, l'élève applique PV = nRT en mélangeant les unités (P en atm et V en litres avec R = 8,31 J·mol⁻¹·K⁻¹, ou T en degrés Celsius), ou il confond chaleur Q et travail W dans le premier principe, et il oublie que ΔU = 0 pour un gaz parfait lors d'une transformation isotherme.
La constante des gaz parfaits est utilisée avec n'importe quelles unités ; le premier principe ΔU = Q + W (ou Q − W selon la convention) est appliqué sans préciser la convention de signe adoptée, et les cas particuliers (isotherme, adiabatique, isochore) ne sont pas reliés aux conséquences sur ΔU, Q et W.
What to do instead
Avant tout calcul, convertir dans le système international : P en pascals, V en m³, T en kelvins (T = θ + 273,15). Écrire en tête de copie la convention de signe choisie pour W et s'y tenir. Pour chaque transformation, écrire les invariants : isotherme → ΔU = 0 ; adiabatique → Q = 0 ; isochore → W = 0.