EXETAT Math-Physique cheat sheet

Équation du second degré ax²+bx+c=0 : Δ=b²−4ac ; si Δ>0 deux racines (−b±√Δ)/2a, si Δ=0 racine double −b/2a, si Δ<0 aucune racine réelle.

Relations de Viète : x₁+x₂=−b/a et x₁·x₂=c/a, valables même lorsque Δ<0 (racines complexes).

Inéquation du second degré : le signe de ax²+bx+c est celui de a à l'extérieur des racines et opposé à a entre les racines.

Logarithme : log(xy)=log x+log y, log(x/y)=log x−log y, log(xⁿ)=n·log x ; domaine x>0.

Changement de base : log_a x = ln x / ln a ; ln e = 1 ; log_a a = 1 et log_a 1 = 0.

Exponentielle : e^(x+y)=e^x·e^y ; e^(ln x)=x pour x>0 ; ln(e^x)=x pour tout x réel.

Système linéaire n×n : méthode de Cramer avec déterminant du système non nul ; sinon infinité ou aucune solution.

Théorème du reste : le reste de la division de P(x) par (x−a) vaut P(a) ; (x−a) divise P si et seulement si P(a)=0.

Équation exponentielle a^x=b : solution x=ln b/ln a si a>0, a≠1 et b>0 ; aucune solution réelle si b≤0.

lim(x→a) [f(x)−f(a)]/(x−a)=f′(a) : la dérivée est une limite, condition de dérivabilité.

Dérivées usuelles : (xⁿ)′=n·x^(n−1), (sin x)′=cos x, (cos x)′=−sin x, (eˣ)′=eˣ, (ln x)′=1/x.

Dérivée d'un quotient : (u/v)′=(u′v−uv′)/v² ; d'un produit : (uv)′=u′v+uv′ ; composée : (u∘v)′=u′(v)·v′.

Continuité : f continue en a si lim(x→a)f(x)=f(a) ; toute fonction dérivable en a est continue en a, la réciproque est fausse.

Théorème des valeurs intermédiaires : f continue sur [a,b] prend toute valeur entre f(a) et f(b) ; si f(a)·f(b)<0, il existe c avec f(c)=0.

Primitives usuelles : ∫xⁿdx=x^(n+1)/(n+1)+C (n≠−1), ∫dx/x=ln|x|+C, ∫eˣdx=eˣ+C, ∫cos x dx=sin x+C.

Intégrale définie : ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a) ; elle représente l'aire algébrique sous la courbe.

Suite arithmétique : uₙ=u₀+n·r ; somme des n premiers termes = n(u₀+uₙ₋₁)/2.

Suite géométrique : uₙ=u₀·qⁿ ; somme = u₀(1−qⁿ)/(1−q) si q≠1 ; convergence vers 0 si |q|<1.

Cercle trigonométrique : cos²x+sin²x=1 ; tan x=sin x/cos x ; 1+tan²x=1/cos²x.

Formules d'addition : sin(a±b)=sin a cos b ± cos a sin b ; cos(a±b)=cos a cos b ∓ sin a sin b.

Résolution de a·sin x+b·cos x=c : écrire R·sin(x+φ) avec R=√(a²+b²) ; solutions seulement si |c|≤R.

Produit scalaire : u·v=|u||v|cos θ=x₁x₂+y₁y₂ ; nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux.

Distance d'un point M(x₀,y₀) à la droite ax+by+c=0 : |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²).

Coniques : parabole y²=2px (foyer (p/2,0)) ; ellipse x²/a²+y²/b²=1 avec c²=a²−b² ; hyperbole x²/a²−y²/b²=1 avec c²=a²+b².

Solides : volume du cylindre = πr²h, du cône = πr²h/3, de la sphère = 4πr³/3 ; aire latérale du cône = πr·g (g génératrice).

Sphère : aire = 4πr² ; équation (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r² de centre (a,b,c).

Théorème de Pythagore généralisé (Al-Kashi) : a²=b²+c²−2bc·cos Â.

Probabilité : P(A)=nombre de cas favorables/nombre de cas possibles (équiprobabilité) ; 0≤P(A)≤1.

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) ; si A et B incompatibles, P(A∪B)=P(A)+P(B).

Probabilité conditionnelle : P(A|B)=P(A∩B)/P(B) ; indépendance si P(A∩B)=P(A)·P(B).

Arrangements A(n,p)=n!/(n−p)! ; combinaisons C(n,p)=n!/[p!(n−p)!] ; permutations = n!.

Loi binomiale : P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k) ; espérance np, variance np(1−p).

Moyenne : x̄=Σxᵢ/n ; variance = Σ(xᵢ−x̄)²/n ; écart-type = √variance.

Médiane : valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés égales ; pour un effectif pair, moyenne des deux valeurs centrales.

Espérance d'une variable discrète : E(X)=Σxᵢ·P(X=xᵢ) ; variance V(X)=E(X²)−[E(X)]².

MRUA : v=v₀+at, x=x₀+v₀t+½at², v²=v₀²+2a(x−x₀) ; a constante.

Mouvement circulaire uniforme : v=ωR, accélération centripète a=v²/R=ω²R dirigée vers le centre.

Deuxième loi de Newton : ΣF=m·a (vecteurs) ; poids P=mg avec g≈9,8 m/s².

Force de frottement cinétique : f=μN, opposée au mouvement ; statique si f≤μₛN.

Travail : W=F·d·cos θ ; travail du poids W=mg(h₁−h₂) ; théorème de l'énergie cinétique : W_total=½mv²−½mv₀².

Énergie potentielle de pesanteur : E_p=mgh ; conservation de l'énergie mécanique en l'absence de frottement.

Quantité de mouvement : p=mv ; conservation dans un système isolé ; choc mou : v′=(m₁v₁+m₂v₂)/(m₁+m₂).

Gravitation : F=G·m₁m₂/r² avec G≈6,67×10⁻¹¹ N·m²/kg² ; à la surface, g=GM/R².

Moment d'une force par rapport à un axe : M=F·d·sin θ ; équilibre de rotation : somme des moments nulle.

Loi de Coulomb : F=k·|q₁q₂|/r² avec k≈9×10⁹ N·m²/C² ; force répulsive si charges de même signe.

Champ électrique d'une charge ponctuelle : E=k|q|/r², en V/m ; potentiel V=kq/r.

Loi d'Ohm : U=RI ; résistances en série R=R₁+R₂, en parallèle 1/R=1/R₁+1/R₂.

Puissance électrique : P=UI=RI²=U²/R ; énergie W=P·t (joules si t en secondes).

Force de Laplace : F=BIL·sin θ, perpendiculaire à B et à I ; sens donné par la règle des trois doigts.

Force de Lorentz : F=qvB·sin θ ; une charge au repos ne subit aucune force magnétique.

Champ magnétique d'un fil rectiligne : B=μ₀I/(2πr) ; dans un solénoïde : B=μ₀nI.

Loi de Faraday : e=−dΦ/dt ; le signe négatif (loi de Lenz) indique l'opposition à la variation du flux.

Flux magnétique : Φ=B·S·cos θ, en webers ; une variation de B, de S ou de θ induit une f.é.m.

Relation fondamentale : v=λ·f=λ/T ; la fréquence ne change pas au passage d'un milieu, la vitesse et la longueur d'onde oui.

Réfraction (loi de Snell-Descartes) : n₁·sin i₁=n₂·sin i₂ ; n=c/v.

Réflexion totale : angle limite i_L tel que sin i_L=n₂/n₁, seulement si n₁>n₂.

Lentille mince convergente : 1/f=1/p+1/p′ ; grandissement γ=−p′/p ; image réelle si p>f.

Intensité sonore : L=10·log(I/I₀) en décibels, avec I₀=10⁻¹² W/m² ; doubler I ajoute environ 3 dB.

Effet Doppler : f′>f à l'approche, f′<f à l'éloignement de la source.

Ondes stationnaires sur corde fixée aux deux extrémités : λₙ=2L/n et fₙ=n·v/(2L).

Diffraction : une fente de largeur a produit un écart angulaire d'autant plus grand que a est petite (sin θ≈λ/a).

Gaz parfait : PV=nRT avec R≈8,314 J/(mol·K) ; T toujours en kelvins (T=t+273,15).

Loi de Boyle-Mariotte à T constante : P₁V₁=P₂V₂ ; loi de Gay-Lussac à V constant : P₁/T₁=P₂/T₂.

Énergie interne d'un gaz parfait monoatomique : U=3/2·nRT ; l'énergie interne ne dépend que de T.

Premier principe : ΔU=Q+W ; convention W positif reçu par le système.

Travail isotherme réversible : W=nRT·ln(V₂/V₁) ; travail isobare : W=−P·ΔV.

Chaleur : Q=mcΔT ; chaleur latente de changement d'état : Q=mL.

Rendement de Carnot : η=1−T_f/T_c, températures en kelvins ; aucun moteur ne peut dépasser ce rendement.

Théorie cinétique : ½m·v²_moy=3/2·kT ; l'agitation moléculaire croît avec T et s'annule à 0 K.

Relativité restreinte : γ=1/√(1−v²/c²) ; E=mc² ; énergie totale E=γmc².

Dilatation du temps : Δt=γΔt₀ (temps propre) ; contraction des longueurs : L=L₀/γ.

Effet photoélectrique : E=hν ; énergie cinétique maximale des électrons = hν−W (W travail d'extraction).

Constante de Planck : h≈6,63×10⁻³⁴ J·s ; énergie d'un photon en eV = hν/e.

Relation de de Broglie : λ=h/p=h/(mv) ; longueur d'onde associée à toute particule.

Décroissance radioactive : N=N₀·e^(−λt) ; demi-vie T½=ln2/λ≈0,693/λ.

Désintégrations : α (émission d'un noyau d'hélium ⁴₂He), β⁻ (neutron→proton+électron+antineutrino), β⁺ (proton→neutron+positron+neutrino).

Lois de conservation nucléaire : conservation du nombre de masse A et du nombre de charge Z dans toute réaction.

Équivalence masse-énergie : 1 u correspond à environ 931,5 MeV ; défaut de masse = énergie de liaison/nucléon.