Clôture d'une parcelle maraîchère adossée à la rivière
Un maraîcher de Mbandaka exploite une parcelle rectangulaire adossée à la rivière ; le côté longeant l'eau n'a pas besoin de clôture. Il dispose de 96 m de grillage, mais doit réserver une ouverture de 4 m, non grillagée, pour l'accès des pirogues. Le grillage borde donc les deux côtés perpendiculaires à la rivière, de longueur x, et le côté parallèle, de longueur y. Une contrainte de voisinage impose 10 m ≤ x ≤ 30 m. Le maraîcher veut maximiser la superficie cultivée, mais refuse de descendre sous 900 m², seuil de rentabilité de sa saison. Il affirme qu'élargir le champ augmenterait toujours la surface et que le maximum se trouve donc à la borne x = 30 m. Son fils, élève de terminale, prétend le contraire et propose de le prouver par le calcul. Le père exige une justification chiffrée, avec vérification aux bornes, avant de commander les piquets.
1. Exprimer la superficie A(x) en fonction de x, puis déterminer la valeur de x qui la rend maximale sur l'intervalle autorisé.
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Le grillage disponible est 96 − 4 = 92 m pour trois côtés : 2x + y = 92, donc y = 92 − 2x.
A(x) = x · y = x(92 − 2x) = 92x − 2x², avec x ∈ [10 ; 30].
Dérivée : A'(x) = 92 − 4x. A'(x) = 0 → x = 23.
Signe : A'(x) > 0 pour x < 23, A'(x) < 0 pour x > 23. A passe donc par un maximum en x = 23, valeur intérieure à l'intervalle (donc pas de question de borne).
Alors y = 92 − 46 = 46 m et A = 23 × 46 = 1058 m².
2. L'affirmation du maraîcher (« élargir augmente toujours la surface, donc le maximum est à x = 30 m ») est-elle correcte ? Justifier par le signe de la dérivée et par une vérification numérique.
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Elle est fausse. Élargir x agrandit un côté mais raccourcit l'autre de 2 m par mètre ajouté : les deux effets se compensent puis s'inversent.
À x = 30 m : y = 92 − 60 = 32 m, A = 960 m². À x = 23 m : A = 1058 m², soit 98 m² de plus.
Le tableau de signes montre que A'(x) < 0 pour tout x > 23 dans l'intervalle : au-delà de 23 m, chaque mètre supplémentaire fait perdre de la surface. Le raisonnement du maraîcher confond « augmenter une dimension » et « augmenter le produit des dimensions » ; il ignore le couplage imposé par la longueur fixe de grillage.
3. Déterminer l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles la superficie atteint au moins 900 m², en tenant compte de la contrainte 10 ≤ x ≤ 30.
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92x − 2x² ≥ 900 ⟺ −2x² + 92x − 900 ≥ 0 ⟺ x² − 46x + 450 ≤ 0 (division par −2, sens inversé).
Δ = 46² − 4×450 = 2116 − 1800 = 316 ; √316 ≈ 17,78.
Racines : (46 ± 17,78)/2 → x₁ ≈ 14,11 et x₂ ≈ 31,89.
Le trinôme est négatif entre ses racines, donc x ∈ [14,11 ; 31,89]. En croisant avec [10 ; 30] : x ∈ [14,11 ; 30].
Vérifications : x = 30 → 2760 − 1800 = 960 ≥ 900 ✔ ; x = 14 → 1288 − 392 = 896 < 900 ✔ (juste en dessous du seuil).