Deux lignes de conditionnement et un carton non conforme
Une usine de savon de Lubumbashi possède deux lignes de conditionnement. La ligne A fournit 60 % des cartons et la ligne B 40 %. Un contrôle qualité révèle que 3 % des cartons de A et 5 % de ceux de B contiennent au moins un pain de savon non conforme. Un carton est prélevé au hasard dans l'entrepôt, où les productions des deux lignes sont mélangées. Le client qui a reçu un carton non conforme exige que l'usine identifie la ligne la plus probablement responsable et la répare en priorité. Le chef d'atelier propose de commencer par A, parce que « A produit plus de cartons, donc A est plus souvent en cause ». Le technicien qualité objecte que le taux de défaut compte autant que le volume. La direction veut un calcul, pas une intuition. Par ailleurs, un contrôle par échantillonnage de 5 cartons est prévu sur le stock mélangé, et le contrat prévoit une pénalité si l'échantillon contient au moins un carton non conforme.
1. Construire l'arbre de probabilités, calculer la probabilité qu'un carton tiré au hasard soit non conforme, puis la probabilité qu'il provienne de B sachant qu'il est non conforme.
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Arbre : A (0,60) → D (0,03) / D̄ (0,97) ; B (0,40) → D (0,05) / D̄ (0,95).
P(D) = P(A)·P(D|A) + P(B)·P(D|B) = 0,60×0,03 + 0,40×0,05 = 0,018 + 0,020 = 0,038, soit 3,8 %.
Formule de Bayes : P(B|D) = P(B∩D)/P(D) = 0,020/0,038 = 0,526, soit 52,6 %.
De même P(A|D) = 0,018/0,038 = 0,474. C'est bien B qui est le plus probable, mais l'écart est mince et A reste crédible dans près d'un cas sur deux.
2. Qui a raison, du chef d'atelier ou du technicien qualité ? Répondre en raisonnant sur 1000 cartons produits et en distinguant probabilité conditionnelle et effectifs.
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Sur 1000 cartons : A en fournit 600, dont 600×0,03 = 18 défectueux ; B en fournit 400, dont 400×0,05 = 20 défectueux. Total : 38 défectueux.
B contribue donc à 20/38 = 52,6 % des cartons défectueux, A à 18/38 = 47,4 %. Le technicien a raison sur le fond : le volume ne suffit pas, il faut pondérer par le taux de défaut, car le taux de B est presque le double de celui de A.
Nuance de jugement : l'écart (52,6 % contre 47,4 %) est trop faible pour exonérer A. La décision correcte est d'inspecter B en priorité, mais de contrôler aussi les réglages de A, surtout si une réparation de B ne fait pas baisser le taux global en dessous de la cible.
3. Calculer la probabilité que l'échantillon de 5 cartons contienne au moins un carton non conforme, et commenter le risque pour l'usine.
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Le stock est important devant 5 : on assimile le tirage à une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,038, avec indépendance approchée.
P(au moins un) = 1 − P(aucun) = 1 − (1 − 0,038)^5 = 1 − 0,962^5.
0,962² = 0,925444 ; 0,962⁴ = 0,856446 ; 0,962⁵ = 0,823702.
P ≈ 1 − 0,8237 = 0,1763, soit environ 17,6 %.
Commentaire : près d'un échantillon sur six déclenche la pénalité, même avec un procédé déjà bon à 96,2 %. Un échantillon de 5 est donc peu discriminant ; l'usine a intérêt à négocier un plan d'échantillonnage plus large (n = 20 donnerait 1 − 0,962²⁰ ≈ 54 %) ou un critère d'acceptation à deux cartons défectueux.