Bloc sur plan incliné relié à une masse suspendue : glisse ou ne glisse pas ?
Sur un chantier à Matadi, un bloc de 8,0 kg repose sur un plan incliné à 25° au-dessus de l'horizontale. Il est relié par un fil inextensible, passant sur une poulie sans frottement, à une masse suspendue de 3,0 kg. Les coefficients de frottement entre le bloc et le plan valent μs = 0,30 (statique) et μk = 0,25 (cinétique) ; on prend g = 9,8 m/s². Un ouvrier affirme que le bloc va glisser vers le bas, « puisqu'il est plus lourd que la masse suspendue et que le plan est incliné ». Le chef d'équipe doit savoir si le système reste au repos avant de retirer les cales de sécurité, et il veut aussi connaître la plage de masses suspendues pour laquelle le bloc ne bougerait pas du tout. Le fil est supposé parallèle au plan incliné et la poulie est de masse négligeable.
1. Faire le bilan des forces sur le bloc, calculer le frottement statique maximal disponible et conclure : le système reste-t-il au repos ?
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Poids du bloc : P = 8,0 × 9,8 = 78,4 N.
- Composante parallèle au plan : 78,4 sin 25° = 78,4 × 0,4226 = 33,1 N (vers le bas du plan).
- Composante normale : N = 78,4 cos 25° = 78,4 × 0,9063 = 71,0 N.
- Frottement statique maximal : f_max = μs·N = 0,30 × 71,0 = 21,3 N.
La masse suspendue de 3,0 kg est en équilibre si T = 3,0 × 9,8 = 29,4 N.
Résultante sur le bloc sans frottement : 33,1 − 29,4 = 3,7 N vers le bas du plan. Comme 3,7 N < 21,3 N, le frottement statique peut équilibrer le système : le bloc ne glisse pas. L'ouvrier a tort ; comparer les masses ne suffit pas, il faut comparer la composante motrice au frottement maximal.
2. Déterminer la valeur et le sens du frottement réellement exercé, ainsi que la tension du fil. Le coefficient cinétique intervient-il ?
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Le bloc est immobile : la somme des forces selon le plan est nulle.
33,1 − T − f = 0 avec T = 29,4 N (masse suspendue en équilibre, fil de masse négligeable, poulie sans frottement).
Donc f = 33,1 − 29,4 = 3,7 N, dirigé vers le haut du plan, pour empêcher la descente.
Ce frottement (3,7 N) est très inférieur à f_max = 21,3 N : c'est un frottement statique d'ajustement, qui ne prend que la valeur nécessaire. Le coefficient cinétique μk = 0,25 n'intervient pas : le glissement n'existe pas. Il ne servirait que si l'on avait conclu au mouvement, ou pour calculer une accélération après déblocage.
3. Déterminer la plage de masses suspendues m pour laquelle le bloc reste immobile, et vérifier que la masse de 3,0 kg y appartient.
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L'équilibre est possible si la résultante motrice reste dans les limites du frottement statique, dans les deux sens :
|33,1 − mg| ≤ 21,3 ⟺ −21,3 ≤ 33,1 − mg ≤ 21,3 ⟺ 11,8 ≤ mg ≤ 54,4.
Avec g = 9,8 : 11,8/9,8 ≤ m ≤ 54,4/9,8, soit 1,21 kg ≤ m ≤ 5,55 kg.
Interprétation : en dessous de 1,21 kg, le fil ne retient plus assez et le bloc descend le plan ; au-delà de 5,55 kg, il est tiré vers le haut du plan. La masse de 3,0 kg est bien à l'intérieur de la plage, ce qui confirme l'immobilité trouvée précédemment. On remarque que 5,55 kg > 8,0 kg n'est pas nécessaire : la composante 33,1 N est déjà bien inférieure au poids total.