Chauffage d'un seau d'eau : série ou parallèle avec une batterie réelle
Un atelier de soudure de Kolwezi dispose d'une batterie d'accumulateurs de force électromotrice 12 V et de résistance interne 0,50 Ω, ainsi que de deux résistances chauffantes, R1 = 4,0 Ω et R2 = 6,0 Ω. Le technicien peut les brancher en série ou en parallèle. Il veut chauffer rapidement un seau d'eau et pense que le montage parallèle est toujours préférable parce qu'il « donne plus de courant ». Le contremaître craint qu'un fusible de 3,0 A placé en série avec la batterie ne fonde et immobilise l'atelier. Les mesures montrent que la tension aux bornes de la batterie n'est pas constante quand on change de montage, ce que le technicien juge négligeable. On néglige la variation des résistances avec la température et toute inductance.
1. Calculer, pour chaque montage, le courant total débité et la tension aux bornes de la batterie. La résistance interne est-elle négligeable ?
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Série : R_tot = 4,0 + 6,0 + 0,50 = 10,5 Ω ; I = 12/10,5 = 1,14 A ; U = E − rI = 12 − 0,50×1,14 = 11,43 V.
Parallèle : R_p = (4,0 × 6,0)/(4,0 + 6,0) = 2,4 Ω ; R_tot = 2,4 + 0,50 = 2,9 Ω ; I = 12/2,9 = 4,14 A ; U = 12 − 0,50×4,14 = 9,93 V.
La tension aux bornes passe de 11,43 V à 9,93 V, soit une chute de 1,5 V : la résistance interne n'est pas négligeable. Le calcul « U = 12 V constant » donnerait 2,0 A et 3,0 A dans les branches parallèles, valeurs nettement surestimées.
2. Calculer la puissance dissipée dans R1 et la puissance totale dans chaque montage. Le technicien a-t-il raison sur le fond ?
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Série (même courant partout, I = 1,14 A) : P1 = 1,14² × 4,0 = 5,2 W ; P_totale = 1,14² × 10,0 = 13,1 W.
Parallèle (tension commune U = 9,93 V) : I1 = 9,93/4,0 = 2,48 A → P1 = 2,48² × 4,0 = 24,6 W ; I2 = 9,93/6,0 = 1,66 A → P2 = 1,66² × 6,0 = 16,4 W ; P_totale ≈ 41 W, dont 0,50 × 4,14² = 8,6 W perdus dans la batterie.
Le parallèle chauffe effectivement beaucoup plus vite : le technicien a raison sur le résultat, mais son explication est fausse. Ce n'est pas « plus de courant » qui est la cause première, c'est la résistance équivalente plus faible ; et le courant est limité par la résistance interne et par la chute de tension, qu'il déclarait négligeable.
3. Le fusible de 3,0 A est-il adapté ? Proposer une décision technique argumentée.
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Le fusible fond si le courant dépasse 3,0 A de façon durable.
- Série : 1,14 A < 3,0 A → aucun risque.
- Parallèle : 4,14 A > 3,0 A → le fusible fond et coupe le circuit ; l'atelier ne chauffe pas du tout.
Le montage parallèle n'est donc pas utilisable tel quel. Options : augmenter le calibre du fusible (5 A ou 6 A) après vérification de la section des conducteurs et de la capacité de la batterie ; conserver le montage série, plus lent mais sûr ; ou passer par un régulateur limiteur de courant. Il faut aussi tenir compte de l'échauffement propre de la batterie (8,6 W dans la résistance interne) et du fait qu'un fusible se dimensionne sur le courant permanent, pas sur le courant d'appel bref au branchement.