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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Résoudre dans ℝ l'équation 3x − 7 = 5x + 9.

  1. x = 8
  2. x = −1
  3. x = −8 Correct answer.
  4. x = 2

Explanation

On regroupe les termes en x dans un membre et les constantes dans l'autre : 3x − 5x = 9 + 7, soit −2x = 16. En divisant les deux membres par −2, on obtient x = −8. La vérification donne 3(−8) − 7 = −31 et 5(−8) + 9 = −31, donc l'égalité est bien satisfaite.

Question 2Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Quel est l'ensemble solution dans ℝ de l'inéquation −4x + 3 ≤ 11 ?

  1. x ≥ 2
  2. x ≤ −2
  3. x ≤ 2
  4. x ≥ −2 Correct answer.

Explanation

On isole le terme en x : −4x ≤ 8. En divisant par −4, nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse, ce qui donne x ≥ −2. L'ensemble solution est donc l'intervalle [−2, +∞[.

Question 3Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Résoudre dans ℝ² le système : x + y = 7 et x − y = 1.

  1. (6 ; 1)
  2. (3 ; 4)
  3. (5 ; 2)
  4. (4 ; 3) Correct answer.

Explanation

En additionnant membre à membre les deux équations, les y s'éliminent : 2x = 8, donc x = 4. En reportant dans x + y = 7, on obtient y = 3. Le couple (4 ; 3) vérifie aussi x − y = 1, ce qui confirme la solution.

Question 4Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Quelle est la forme canonique du trinôme x² − 6x + 5 ?

  1. (x − 6)² − 31
  2. (x − 3)² − 4 Correct answer.
  3. (x − 3)² + 4
  4. (x + 3)² − 4

Explanation

On reconnaît le début du développement de (x − 3)² = x² − 6x + 9. En écrivant x² − 6x + 5 = (x² − 6x + 9) − 9 + 5, on obtient (x − 3)² − 4. Cette forme met en évidence un minimum égal à −4 atteint en x = 3.

Question 5Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Calculer log₂ 32 + log₃ 81.

  1. 9 Correct answer.
  2. 12
  3. 7
  4. 5

Explanation

On écrit 32 = 2⁵, donc log₂ 32 = 5, et 81 = 3⁴, donc log₃ 81 = 4. La somme vaut alors 5 + 4 = 9. Il s'agit d'une application directe de la définition du logarithme comme exposant.

Question 6Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Quelle est la solution de l'équation exponentielle 2^(x+1) = 16 ?

  1. x = 3 Correct answer.
  2. x = 7
  3. x = 2
  4. x = 4

Explanation

On écrit 16 = 2⁴ ; l'équation devient 2^(x+1) = 2⁴. La fonction exponentielle de base 2 étant strictement croissante, les exposants sont égaux : x + 1 = 4, d'où x = 3. On vérifie que 2^(3+1) = 2⁴ = 16.

Question 7Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Dans ℝ, quelle est la solution de l'équation log₅(x − 2) = 2 ?

  1. x = 25
  2. x = 27 Correct answer.
  3. x = 7
  4. x = 10

Explanation

Par définition du logarithme, log₅(x − 2) = 2 équivaut à x − 2 = 5² = 25. On en déduit x = 27, valeur bien supérieure à 2, donc le logarithme est défini. La condition d'existence x > 2 est donc respectée.

Question 8Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Quel est le degré du polynôme P(x) = (2x³ − 1)(x² + 3x) ?

  1. 3
  2. 2
  3. 6
  4. 5 Correct answer.

Explanation

Le degré d'un produit de polynômes est la somme des degrés des facteurs. Ici 2x³ − 1 est de degré 3 et x² + 3x est de degré 2, donc le produit est de degré 3 + 2 = 5. Le terme dominant est 2x³ · x² = 2x⁵.

Question 9Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Résoudre dans ℝ l'équation x² − 5x + 6 = 0.

  1. S = {−2 ; −3}
  2. S = {1 ; 6}
  3. S = {−1 ; 6}
  4. S = {2 ; 3} Correct answer.

Explanation

Le discriminant vaut Δ = 25 − 24 = 1, positif, donc il y a deux racines réelles distinctes : x = (5 ± 1)/2, soit 3 et 2. On pouvait aussi factoriser x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

Question 10Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Quel est le signe du trinôme f(x) = −x² + 4x − 3 sur l'intervalle ]1 ; 3[ ?

  1. f(x) > 0 sur ]1 ; 3[ Correct answer.
  2. f(x) change de signe en x = 2
  3. f(x) ≥ 0 sur ]1 ; 3[ avec annulation en x = 2
  4. f(x) < 0 sur ]1 ; 3[

Explanation

Les racines de −x² + 4x − 3 = 0 sont 1 et 3, et le coefficient de x² est négatif. Un trinôme à coefficient dominant négatif est positif entre ses racines et négatif à l'extérieur. Donc f(x) > 0 sur ]1 ; 3[ et f(x) < 0 sur ]−∞ ; 1[ ∪ ]3 ; +∞[.

Question 11Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Résoudre dans ℝ l'inéquation (x − 1)/(x + 2) ≥ 0.

  1. S = ]−2 ; 1]
  2. S = [−2 ; 1]
  3. S = [1 ; +∞[
  4. S = ]−∞ ; −2[ ∪ [1 ; +∞[ Correct answer.

Explanation

Le quotient s'annule en x = 1 et n'est pas défini en x = −2, valeur interdite. Un tableau de signes montre que le quotient est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Comme x = −2 est exclu et x = 1 est inclus, S = ]−∞ ; −2[ ∪ [1 ; +∞[.

Question 12Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Le polynôme P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6 admet x = 1 pour racine. Quelle est la factorisation complète dans ℝ ?

  1. P(x) = (x + 1)(x − 3)(x + 2)
  2. P(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 2) Correct answer.
  3. P(x) = (x − 1)(x² − 5x + 6)
  4. P(x) = (x − 1)(x + 3)(x − 2)

Explanation

Puisque P(1) = 0, on factorise par (x − 1) : la division donne P(x) = (x − 1)(x² − x − 6). Le trinôme x² − x − 6 a pour racines 3 et −2, donc se factorise en (x − 3)(x + 2). D'où P(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 2).

Question 13Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Dans ℝ³, le système x + y + z = 6, x − y + z = 2, 2x + y − z = 1 a pour solution :

  1. (1 ; 2 ; 3) Correct answer.
  2. (2 ; 1 ; 3)
  3. (1 ; 3 ; 2)
  4. (3 ; 2 ; 1)

Explanation

En soustrayant la deuxième équation de la première, on obtient 2y = 4, donc y = 2. En reportant dans les équations restantes, on trouve x + z = 4 et 2x − z = −1, d'où 3x = 3, soit x = 1 puis z = 3. Le triplet (1 ; 2 ; 3) vérifie bien les trois équations.

Question 14Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Quelle est l'unique solution de l'équation 3^(2x−1) = 27^(x−2) ?

  1. x = 1
  2. x = −5
  3. x = 3
  4. x = 5 Correct answer.

Explanation

On écrit 27 = 3³, donc 27^(x−2) = 3^(3x−6). L'équation devient 3^(2x−1) = 3^(3x−6) et, la fonction exponentielle étant injective, 2x − 1 = 3x − 6. On en déduit x = 5, et la vérification donne 3⁹ = 27³.

Question 15Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Résoudre dans ℝ l'équation log(x − 1) + log(x + 1) = log 3, où log désigne le logarithme décimal.

  1. x = 2 ou x = −2
  2. x = 2 Correct answer.
  3. x = −2
  4. x = √3

Explanation

La somme des logarithmes devient log[(x − 1)(x + 1)] = log(x² − 1). Par injectivité du logarithme, x² − 1 = 3, donc x² = 4 et x = ±2. La condition d'existence impose x − 1 > 0 et x + 1 > 0, c'est-à-dire x > 1 ; seule la valeur x = 2 est retenue.

Question 16Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Le polynôme P(x) = 2x³ + ax² + bx − 6 est divisible par (x − 1) et par (x + 2). Quelles sont les valeurs de a et b ?

  1. a = −3 et b = −1
  2. a = 3 et b = −1
  3. a = 3 et b = 1 Correct answer.
  4. a = 1 et b = 3

Explanation

La divisibilité par (x − 1) donne P(1) = 2 + a + b − 6 = 0, soit a + b = 4. La divisibilité par (x + 2) donne P(−2) = −16 + 4a − 2b − 6 = 0, soit 2a − b = 11. En additionnant, 3a = 15, donc a = 3 puis b = 1.

Question 17Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Quelle est la solution de l'équation e^(2x) − 3e^x + 2 = 0 ?

  1. x = 0 uniquement
  2. x = ln 3 uniquement
  3. x = 1 ou x = 2
  4. x = 0 ou x = ln 2 Correct answer.

Explanation

On pose X = e^x, avec X > 0 ; l'équation devient X² − 3X + 2 = 0, dont les racines sont 1 et 2. On résout e^x = 1, qui donne x = 0, puis e^x = 2, qui donne x = ln 2. Les deux valeurs sont acceptables car positives après le changement de variable.

Question 18Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

On considère la fonction f(x) = 2^(x−1). Quelle est l'expression de sa réciproque f⁻¹ ?

  1. f⁻¹(x) = log₂ x − 1
  2. f⁻¹(x) = log₂(x + 1)
  3. f⁻¹(x) = 1 + log₂ x Correct answer.
  4. f⁻¹(x) = 2 log₂ x

Explanation

On pose y = 2^(x−1) et on isole x : log₂ y = x − 1, donc x = 1 + log₂ y. La réciproque est donc f⁻¹(x) = 1 + log₂ x, définie pour x > 0. On vérifie que f⁻¹(f(x)) = 1 + (x − 1) = x.

Question 19Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Résoudre dans ℝ l'inéquation 2^(x²) ≤ 8^x.

  1. S = [0 ; 3] Correct answer.
  2. S = [0 ; 2]
  3. S = ]−∞ ; 0] ∪ [3 ; +∞[
  4. S = [1 ; 3]

Explanation

On écrit 8^x = 2^(3x) ; l'inéquation devient 2^(x²) ≤ 2^(3x). La fonction exponentielle de base 2 étant strictement croissante, cela équivaut à x² ≤ 3x, soit x(x − 3) ≤ 0. Le trinôme est négatif entre ses racines 0 et 3, d'où S = [0 ; 3].

Question 20Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Soit P(x) = x⁴ − 3x³ + 3x² − 3x + 2. Sachant que x = 1 est racine double, quelle est la factorisation complète dans ℝ ?

  1. P(x) = (x − 1)(x + 1)(x² − 3x + 2)
  2. P(x) = (x − 1)²(x² − x + 2) Correct answer.
  3. P(x) = (x − 1)²(x − 2)(x + 1)
  4. P(x) = (x − 1)²(x² + x + 2)

Explanation

On divise P par (x − 1)² = x² − 2x + 1 ; le quotient est x² − x + 2. Son discriminant vaut 1 − 8 = −7, négatif, donc ce trinôme est irréductible sur ℝ. La factorisation complète est donc (x − 1)²(x² − x + 2).

Question 21Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Pour quelles valeurs du réel m l'équation x² − 2mx + m + 2 = 0 admet-elle deux racines réelles distinctes ?

  1. m ∈ ]2 ; +∞[
  2. m ∈ ]−∞ ; −1[ ∪ ]2 ; +∞[ Correct answer.
  3. m ∈ ]−1 ; 2[
  4. m ∈ [−1 ; 2]

Explanation

Le discriminant vaut Δ = 4m² − 4(m + 2) = 4(m² − m − 2). Il y a deux racines réelles distinctes si Δ > 0, c'est-à-dire m² − m − 2 > 0. Ce trinôme, de racines −1 et 2 et de coefficient dominant positif, est positif à l'extérieur des racines, d'où m < −1 ou m > 2.

Question 22Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Résoudre dans ℝ l'équation (log₂ x)² − 3 log₂ x + 2 = 0.

  1. S = {2}
  2. S = {1 ; 2}
  3. S = {2 ; 4} Correct answer.
  4. S = {4 ; 8}

Explanation

On pose t = log₂ x ; l'équation devient t² − 3t + 2 = 0, de racines t = 1 et t = 2. On revient à x : log₂ x = 1 donne x = 2 et log₂ x = 2 donne x = 4. Les deux valeurs sont positives, donc admissibles.

Question 23Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Le polynôme P(x) = x³ + px + q admet 2 pour racine double. Quelles sont les valeurs de p et q ?

  1. p = −12 et q = 16 Correct answer.
  2. p = 12 et q = −16
  3. p = −12 et q = −16
  4. p = −4 et q = 8

Explanation

Si 2 est racine double, alors P(2) = 0 et P′(2) = 0. Or P′(x) = 3x² + p, donc 12 + p = 0, soit p = −12. En reportant dans P(2) = 8 + 2p + q = 0, on obtient 8 − 24 + q = 0, donc q = 16.

Question 24Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Combien de solutions réelles distinctes possède l'équation 4^x − 5·2^x + 4 = 0 ?

  1. Une seule solution : x = 1
  2. Deux solutions : x = 0 et x = 2 Correct answer.
  3. Trois solutions
  4. Aucune solution réelle

Explanation

On pose X = 2^x > 0 ; l'équation devient X² − 5X + 4 = 0, de racines 1 et 4, toutes deux positives. On résout 2^x = 1, qui donne x = 0, et 2^x = 4, qui donne x = 2. Il y a donc exactement deux solutions réelles distinctes.

Question 25Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

On considère l'inéquation log₂(x − 1) < 3. Quel est son ensemble solution dans ℝ ?

  1. S = ]1 ; 9[ Correct answer.
  2. S = ]1 ; 7[
  3. S = ]1 ; 8[
  4. S = ]−∞ ; 9[

Explanation

La condition d'existence impose x − 1 > 0, soit x > 1. La fonction log₂ étant strictement croissante, l'inégalité équivaut à x − 1 < 2³ = 8, donc x < 9. En combinant les deux conditions, on obtient S = ]1 ; 9[.

Question 26Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Quel est le discriminant Δ du trinôme 3x² − 7x + 2 ?

  1. 25 Correct answer.
  2. 73
  3. 49
  4. −25

Explanation

Pour un trinôme ax² + bx + c, le discriminant vaut Δ = b² − 4ac. Ici a = 3, b = −7 et c = 2, donc Δ = (−7)² − 4·3·2 = 49 − 24 = 25.

Question 27Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Quel est l'ensemble solution dans ℝ de l'équation x² + 4x + 4 = 0 ?

  1. {2}
  2. {−2} Correct answer.
  3. ∅
  4. {−2 ; 2}

Explanation

Le trinôme est un carré parfait : x² + 4x + 4 = (x + 2)². L'équation (x + 2)² = 0 n'a que la racine double x = −2, d'où S = {−2}.

Question 28Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Quelle est la forme développée et réduite du polynôme P(x) = (x − 3)(x² + 3x + 9) ?

  1. x³ − 27 Correct answer.
  2. x³ + 27
  3. x³ − 9x − 27
  4. x³ − 6x² + 27

Explanation

On reconnaît l'identité a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) avec a = x et b = 3. Le produit se réduit donc directement à x³ − 27, sans terme en x² ni en x.

Question 29Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Quelle est la valeur de log₃(81) + log₂(1/8) ?

  1. 1 Correct answer.
  2. 4
  3. −1
  4. 7

Explanation

On a 81 = 3⁴ donc log₃(81) = 4, et 1/8 = 2⁻³ donc log₂(1/8) = −3. La somme vaut 4 + (−3) = 1.

Question 30Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Résoudre dans ℝ l'équation 5^(x−2) = 1/125.

  1. x = −1 Correct answer.
  2. x = −3
  3. x = 5
  4. x = 1

Explanation

On écrit 1/125 = 5⁻³, l'équation devient 5^(x−2) = 5⁻³. La fonction exponentielle de base 5 étant injective, x − 2 = −3, donc x = −1.

Question 31Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Quel est l'ensemble solution dans ℝ de l'inéquation (2x − 6)/(x + 1) ≤ 0 ?

  1. ]−1 ; 3[
  2. [−1 ; 3]
  3. ]−1 ; 3] Correct answer.
  4. ]−∞ ; −1[ ∪ [3 ; +∞[

Explanation

Le quotient s'annule en x = 3 et n'est pas défini en x = −1 (valeur interdite). Un tableau de signes montre que le quotient est négatif ou nul entre les deux valeurs, en excluant −1 : S = ]−1 ; 3].

Question 32Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

On considère le polynôme P(x) = x³ − 4x² + x + 6. Sachant que x = −1 est racine, quelle est sa factorisation complète dans ℝ ?

  1. (x + 1)(x − 2)(x + 3)
  2. (x + 1)(x − 2)(x − 3) Correct answer.
  3. (x − 1)(x + 2)(x + 3)
  4. (x + 1)(x + 2)(x + 3)

Explanation

La division de P(x) par (x + 1) donne x² − 5x + 6, dont les racines sont 2 et 3. On obtient donc P(x) = (x + 1)(x − 2)(x − 3), ce que confirme le terme constant 1·(−2)·(−3) = 6.

Question 33Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Dans ℝ², le système 3x + 2y = 12 et x − y = 1 a pour couple solution :

  1. (2 ; 3)
  2. (3 ; 2)
  3. (4 ; 0)
  4. (14/5 ; 9/5) Correct answer.

Explanation

De la seconde équation on tire x = y + 1 ; en reportant : 3(y + 1) + 2y = 12, soit 5y = 9 et y = 9/5, puis x = 14/5. La vérification donne bien 3·14/5 + 2·9/5 = 60/5 = 12.

Question 34Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Quel est l'ensemble solution dans ℝ de l'équation log₂(x) + log₂(x − 2) = 3 ?

  1. {−2 ; 4}
  2. {2}
  3. {4} Correct answer.
  4. {8}

Explanation

Le domaine exige x > 2. En regroupant, log₂(x(x − 2)) = 3 donne x² − 2x = 8, soit x² − 2x − 8 = 0 de racines 4 et −2. Seule x = 4 appartient au domaine.

Question 35Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Le polynôme P(x) = x³ + ax² + bx + 6 admet les racines 1, 2 et 3. Quelles sont les valeurs de a et b ?

  1. a = 11 et b = −6
  2. a = 6 et b = 11
  3. a = −6 et b = −11
  4. a = −6 et b = 11 Correct answer.

Explanation

Les relations entre coefficients et racines donnent a = −(1 + 2 + 3) = −6 et b = 1·2 + 1·3 + 2·3 = 11. Le produit des racines vaut bien 6, ce qui confirme le terme constant.

Question 36Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Résoudre dans ℝ l'équation 9^x − 4·3^x + 3 = 0.

  1. {1 ; 3}
  2. {−1 ; 0}
  3. {0 ; 3}
  4. {0 ; 1} Correct answer.

Explanation

On pose t = 3^x > 0 ; comme 9^x = t², l'équation devient t² − 4t + 3 = 0, de racines 1 et 3. On résout 3^x = 1 (x = 0) et 3^x = 3 (x = 1), d'où S = {0 ; 1}.

Question 37Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Quel est le domaine de définition de la fonction f(x) = ln(x² − 5x + 6) ?

  1. ]2 ; 3[
  2. ℝ \ {2 ; 3}
  3. ]−∞ ; 2[ ∪ ]3 ; +∞[ Correct answer.
  4. [2 ; 3]

Explanation

Le logarithme n'accepte que des arguments strictement positifs : il faut x² − 5x + 6 > 0. Ce trinôme a pour racines 2 et 3 et est positif à l'extérieur des racines, d'où le domaine ]−∞ ; 2[ ∪ ]3 ; +∞[.

Question 38Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Pour quelle valeur du réel m le système mx + y = 1 et x + my = 1 admet-il une infinité de solutions ?

  1. m = −1
  2. Aucune valeur de m
  3. m = 0
  4. m = 1 Correct answer.

Explanation

Le déterminant du système vaut m² − 1 ; il s'annule pour m = 1 ou m = −1. Pour m = 1 les deux équations sont identiques (x + y = 1), d'où une infinité de solutions ; pour m = −1 elles sont incompatibles. Seul m = 1 convient.

Question 39Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Le polynôme P(x) = x⁴ + x³ − 7x² − x + 6 admet deux racines entières évidentes. Quelle est sa factorisation complète dans ℝ ?

  1. (x + 1)(x + 1)(x − 2)(x + 3)
  2. (x − 1)(x − 1)(x + 2)(x + 3)
  3. (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 3) Correct answer.
  4. (x − 1)(x + 1)(x + 2)(x − 3)

Explanation

On vérifie P(1) = 0 et P(−1) = 0 ; la division par (x² − 1) donne x² + x − 6, qui se factorise en (x − 2)(x + 3). Le produit des racines 1, −1, 2, −3 vaut bien le terme constant 6.

Question 40Algèbre (équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles)

Résoudre dans ℝ l'inéquation log₀,₅(x) ≥ −2, où 0,5 = 1/2.

  1. [4 ; +∞[
  2. ]0 ; 1/4]
  3. ]−∞ ; 4]
  4. ]0 ; 4] Correct answer.

Explanation

La fonction log de base 0,5 est strictement décroissante, l'inégalité change donc de sens en passant aux arguments : x ≤ (1/2)⁻² = 4. Le domaine x > 0 impose finalement S = ]0 ; 4].

Question 41Analyse (fonctions, limites, continuité, dérivées, intégrales, suites)

Quelle est la limite de f(x) = (3x² - 5x + 2)/(x² + 4) lorsque x tend vers +∞ ?

  1. +∞
  2. 0
  3. 1
  4. 3 Correct answer.

Explanation

Pour une fraction rationnelle, quand x tend vers l'infini, la limite est le rapport des coefficients des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur, ici 3x² et x². On obtient donc 3/1 = 3.

Question 42Analyse (fonctions, limites, continuité, dérivées, intégrales, suites)

La fonction f définie par f(x) = (x² - 9)/(x - 3) pour x ≠ 3 admet en x = 3 une limite égale à :

  1. Elle n'admet pas de limite finie
  2. 3
  3. 0
  4. 6 Correct answer.

Explanation

On factorise le numérateur : x² - 9 = (x - 3)(x + 3). Pour x ≠ 3, f(x) = x + 3, dont la limite en 3 vaut 6. Il s'agit d'une discontinuité apparente (trou) et non d'une asymptote.

Question 43Analyse (fonctions, limites, continuité, dérivées, intégrales, suites)

Quelle est la dérivée de f(x) = x³ · ln(x) sur ]0, +∞[ ?

  1. 3x² · ln(x)
  2. 3x² + 1/x
  3. x²(3 ln(x) - 1)
  4. x²(3 ln(x) + 1) Correct answer.

Explanation

On applique la règle du produit (uv)' = u'v + uv' avec u = x³ et v = ln(x). On obtient 3x²·ln(x) + x³·(1/x) = 3x²·ln(x) + x², soit x²(3 ln(x) + 1).

Question 44Analyse (fonctions, limites, continuité, dérivées, intégrales, suites)

La primitive F de f(x) = cos(2x) qui vérifie F(0) = 0 est :

  1. F(x) = sin(2x) + 1
  2. F(x) = 2 sin(2x)
  3. F(x) = -2 sin(2x)
  4. F(x) = (1/2) sin(2x) Correct answer.

Explanation

Une primitive de cos(ax) est (1/a) sin(ax), donc ici (1/2) sin(2x) + C. La condition F(0) = 0 donne C = 0 puisque sin(0) = 0, d'où F(x) = (1/2) sin(2x).

Question 45Analyse (fonctions, limites, continuité, dérivées, intégrales, suites)

Une suite (uₙ) est définie par uₙ = (2n + 1)/(n + 3). Quelle est sa limite quand n tend vers +∞ ?

  1. 2 Correct answer.
  2. 1/3
  3. 0
  4. +∞

Explanation

En divisant numérateur et dénominateur par n, on obtient uₙ = (2 + 1/n)/(1 + 3/n). Quand n tend vers l'infini, 1/n et 3/n tendent vers 0, donc la limite vaut 2/1 = 2.

Question 46Analyse (fonctions, limites, continuité, dérivées, intégrales, suites)

La fonction f(x) = (x - 1)/(x + 2) présente une asymptote verticale d'équation :

  1. y = -2
  2. x = -2 Correct answer.
  3. x = 1
  4. y = 1

Explanation

Une asymptote verticale apparaît là où le dénominateur s'annule sans que le numérateur s'annule. Ici x + 2 = 0 donne x = -2, et le numérateur y vaut -3 ≠ 0, donc la droite x = -2 est asymptote verticale.

Question 47Analyse (fonctions, limites, continuité, dérivées, intégrales, suites)

Soit f continue sur [0, 2] avec f(0) = -1 et f(2) = 3. Que peut-on affirmer d'après le théorème des valeurs intermédiaires ?

  1. L'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]0, 2[ Correct answer.
  2. f est dérivable sur ]0, 2[
  3. f(x) = 0 admet exactement une solution dans ]0, 2[
  4. f est strictement croissante sur [0, 2]

Explanation

La fonction est continue sur [0, 2] et la valeur 0 est comprise entre f(0) = -1 et f(2) = 3. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit alors l'existence d'au moins un réel c dans ]0, 2[ tel que f(c) = 0.

Question 48Analyse (fonctions, limites, continuité, dérivées, intégrales, suites)

La suite (uₙ) définie par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = uₙ + 4 est une suite :

  1. arithmétique de raison 1
  2. bornée et convergente
  3. arithmétique de raison 4 Correct answer.
  4. géométrique de raison 4

Explanation

La relation uₙ₊₁ = uₙ + 4 montre que chaque terme s'obtient en ajoutant la constante 4 au précédent. C'est la définition d'une suite arithmétique de raison 4, de terme général uₙ = 1 + 4n.

Question 49Analyse (fonctions, limites, continuité, dérivées, intégrales, suites)

La dérivée de f(x) = (2x + 1)/(x - 1) sur son domaine est :

  1. 3/(x - 1)²
  2. 2/(x - 1)²
  3. -3/(x - 1)² Correct answer.
  4. (2x - 1)/(x - 1)²

Explanation

On applique la règle du quotient (u/v)' = (u'v - uv')/v² avec u = 2x + 1 et v = x - 1. Le numérateur vaut 2(x - 1) - (2x + 1) = -3, d'où f'(x) = -3/(x - 1)².

Question 50Analyse (fonctions, limites, continuité, dérivées, intégrales, suites)

On pose I = ∫₀¹ x·e^(x²) dx. Quelle est la valeur de I ?

  1. e - 1
  2. (e - 1)/2 Correct answer.
  3. 2(e - 1)
  4. e/2

Explanation

On pose u = x², donc du = 2x dx et x dx = du/2. L'intégrale devient (1/2)∫₀¹ e^u du = (1/2)(e - 1), en ajustant les bornes qui restent 0 et 1.