Algèbre : équations, inéquations, systèmes, polynômes, logarithmes et exponentielles
L'algèbre à l'EXETAT évalue la résolution exacte et la justification : équations du premier et du second degré, inéquations résolues par tableau de signes, systèmes linéaires, factorisation et racines de polynômes, équations et inéquations logarithmiques ou exponentielles. Le correcteur attend une démarche écrite et l'élimination explicite des solutions étrangères, pas seulement la valeur finale.
Règles et méthodes
- Second degré : Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, deux racines (−b ± √Δ)/2a ; si Δ = 0, racine double −b/2a ; si Δ < 0, aucune racine réelle. Vérification utile : somme des racines = −b/a, produit = c/a.
- Inéquation : ne jamais multiplier ou diviser par une expression de signe inconnu. On ramène tout à « … ≤ 0 », on factorise, puis on dresse le tableau de signes en plaçant valeurs d'annulation et valeurs interdites.
- Systèmes : substitution ou combinaison linéaire. Un système 2×2 de déterminant ab′ − a′b ≠ 0 admet un couple solution unique.
- Polynômes : si P(a) = 0, alors (x − a) est facteur ; on abaisse le degré par division euclidienne ou identification.
- Logarithme : ln A n'existe que si A > 0. ln a = ln b équivaut à a = b dans le domaine. ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[, donc ln A ≤ ln B conserve le sens de l'inégalité. L'exponentielle est toujours strictement positive : e^A = e^B ⟺ A = B.
Exemple rédigé
Résoudre log₂(x) + log₂(x − 3) = 2. Conditions d'existence : x > 0 et x − 3 > 0, donc x > 3. On regroupe : log₂[x(x − 3)] = 2, soit x(x − 3) = 2² = 4. D'où x² − 3x − 4 = 0, Δ = 9 + 16 = 25, racines x = (3 ± 5)/2, soit x = 4 ou x = −1. La condition x > 3 élimine −1 : S = {4}.
Pièges qui coûtent des marks
Oublier le domaine avant de résoudre une équation logarithmique ou une racine carrée ; élever au carré sans vérifier les solutions ; simplifier par x sans traiter le cas x = 0 ; confondre coefficient a et constante c dans le discriminant ; oublier que pour une base comprise entre 0 et 1 le sens de l'inégalité s'inverse ; donner une valeur arrondie là où l'énoncé attend une valeur exacte (fractions, radicaux, ln).