Analyse : fonctions, limites, continuité, dérivées, intégrales et suites
L'analyse porte sur l'étude complète d'une fonction : domaine, limites, continuité, dérivée et tableau de variation, calcul intégral et suites numériques. À l'EXETAT, on attend autant le calcul que l'interprétation : une limite justifiée, un extremum localisé, une aire évaluée par une intégrale définie.
Règles et méthodes
- Formes indéterminées 0/0 ou ∞/∞ : factoriser par le terme dominant, multiplier par l'expression conjuguée, ou reconnaître un taux d'accroissement. Exemple : lim (sin x)/x = 1 quand x → 0.
- Continuité en a : lim f(x) = f(a) à gauche et à droite. Le théorème des valeurs intermédiaires exige la continuité sur un intervalle fermé : il prouve l'existence d'une racine, pas sa valeur.
- Dérivées : (u^n)′ = n u′ u^(n−1), (√u)′ = u′/(2√u), (u/v)′ = (u′v − uv′)/v², (e^u)′ = u′ e^u, (ln u)′ = u′/u. Extremum : f′(x) = 0 avec changement de signe.
- Intégrale définie : ∫ de a à b de f = F(b) − F(a). Substitution : changer aussi les bornes.
- Suites : arithmétique u_n = u₀ + nr ; géométrique u_n = u₀ q^n, convergente si |q| < 1. Suite convergente ⟹ bornée (la réciproque est fausse).
Exemple rédigé
Calculer I = ∫₀¹ x e^{x²} dx. Poser u = x², du = 2x dx, donc x dx = du/2. Bornes : x = 0 → u = 0 ; x = 1 → u = 1. I = (1/2)∫₀¹ e^u du = (1/2)[e^u]₀¹ = (e − 1)/2 ≈ 0,859.
Pièges qui coûtent des marks
Oublier la constante d'intégration dans une primitive ; ne pas convertir les bornes lors d'une substitution ; écrire f′(x) = 0 comme condition suffisante d'extremum sans étudier le signe ; confondre dérivée et primitive ; affirmer qu'une suite croissante converge sans majorant ; oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.