Géométrie plane et dans l'espace : trigonométrie, vecteurs, coniques et solides
La géométrie de l'EXETAT combine trigonométrie, calcul vectoriel, reconnaissance et réduction des coniques, et calcul de longueurs, aires et volumes de solides. Les questions demandent souvent une mise en équation (produit scalaire, alignement, équation d'un cercle) suivie d'un calcul exact.
Règles et méthodes
- Trigonométrie : sin²x + cos²x = 1 ; tan x = sin x / cos x. L'équation sin x = a (|a| ≤ 1) a deux familles : x = α + 2kπ et x = π − α + 2kπ. Pour cos x = a : x = ±α + 2kπ. Travailler en radians sauf mention contraire.
- Triangles : loi des cosinus a² = b² + c² − 2bc·cos  ; loi des sinus a/sin  = b/sin B̂ = 2R.
- Vecteurs : produit scalaire u·v = xx′ + yy′ = ‖u‖‖v‖cos θ ; orthogonalité ⟺ u·v = 0 ; colinéarité ⟺ déterminant xy′ − yx′ = 0.
- Coniques : un cercle d'équation x² + y² + Dx + Ey + F = 0 se ramène à (x + D/2)² + (y + E/2)² = (D² + E²)/4 − F, de rayon r = √[(D² + E²)/4 − F] lorsque cette quantité est positive.
- Solides : volume du cylindre πr²h, du cône πr²h/3, de la sphère 4πr³/3 ; aire de la sphère 4πr² ; théorème de Pythagore dans l'espace pour la diagonale du pavé : d² = L² + l² + h².
Exemple rédigé
Déterminer le centre et le rayon du cercle x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0. On complète les carrés : x² − 4x = (x − 2)² − 4, y² + 6y = (y + 3)² − 9. D'où (x − 2)² + (y + 3)² = 12 + 4 + 9 = 25. Centre C(2 ; −3), rayon r = 5.
Pièges qui coûtent des marks
Utiliser des degrés avec une calculatrice réglée en radians ; oublier la seconde famille de solutions d'une équation trigonométrique ; écrire r = 25 au lieu de r = 5 ; oublier d'ajouter les mêmes constantes des deux côtés lors de la complétion du carré ; confondre aire et volume d'un solide ; appliquer le théorème de Pythagore plan à un problème dans l'espace.