Probabilités et statistiques : dénombrement, probabilités, variables aléatoires et séries
Ce domaine évalue le dénombrement (combinaisons, arrangements, permutations), le calcul de probabilités simples et conditionnelles, l'espérance et la variance d'une variable aléatoire, ainsi que les indicateurs statistiques d'une série (moyenne, médiane, mode, écart-type). Les énoncés sont souvent contextualisés : urne, jeu de cartes, contrôle de qualité, tableau d'effectifs.
Règles et méthodes
- Dénombrement : nombre de combinaisons de p objets parmi n : C(n,p) = n!/[p!(n − p)!] (tirage simultané, ordre indifférent) ; arrangements A(n,p) = n!/(n − p)! (ordre important, sans remise) ; avec remise et ordre, n^p possibilités.
- Probabilité : P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles (équiprobabilité). P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). P(Ā) = 1 − P(A).
- Conditionnelle : P(A|B) = P(A∩B)/P(B). Deux événements sont indépendants si et seulement si P(A∩B) = P(A)·P(B).
- Variable aléatoire : E(X) = Σ x_i p_i ; V(X) = Σ x_i² p_i − [E(X)]² ; σ = √V(X).
- Statistique : moyenne pondérée par les effectifs ; médiane = valeur qui partage la série ordonnée en deux ; l'écart-type se calcule à partir de la variance des effectifs, en divisant par l'effectif total (ou n − 1 pour un échantillon, selon la convention donnée).
Exemple rédigé
Une urne contient 3 boules rouges et 5 boules noires. On tire simultanément 2 boules. Quelle est la probabilité d'obtenir deux rouges ? Cas possibles : C(8,2) = 28. Cas favorables : C(3,2) = 3. P = 3/28 ≈ 0,107. Remarque : si le tirage était successif avec remise, on aurait P = (3/8)² = 9/64, résultat différent.
Pièges qui coûtent des marks
Confondre tirage simultané (combinaisons) et tirage successif avec ordre (arrangements) ; utiliser P(A∩B) = P(A)P(B) sans vérifier l'indépendance ; oublier de retirer la boule tirée dans un tirage sans remise ; calculer une moyenne simple sur des effectifs inégaux ; oublier de convertir les effectifs en fréquences avant de comparer deux séries ; donner une probabilité supérieure à 1 par oubli de l'intersection dans P(A∪B).