El huerto escolar: cercar con pared, área y presupuesto
En el huerto escolar se quiere cercar un terreno rectangular aprovechando una pared larga como uno de los lados, de modo que solo se necesita malla en los otros tres lados. El grupo dispone de 28 m de malla y de un presupuesto de ₡52 000; la malla cuesta ₡1 850 el metro y solo se vende por metros completos. La pared disponible tiene 14 m de largo, así que el lado paralelo a la pared no puede exceder esa medida. El profesor de matemáticas pide modelar el área del huerto en función del ancho x (los dos lados perpendiculares a la pared) y elegir dimensiones que cumplan tres condiciones: que el área sea de al menos 80 m², que el lado paralelo a la pared no pase de 14 m y que no se compre malla de más. Además, el comité ambiental quiere que el área sea la mayor posible dentro de esas restricciones.
1. Escriba el área del huerto en función del ancho x y determine las dimensiones que dan el área máxima. Explique qué significa el vértice en este contexto.
Read the worked answer
Con malla en tres lados: 2x + y = 28, donde y es el lado paralelo a la pared. Entonces y = 28 − 2x y el área es A(x) = x(28 − 2x) = −2x² + 28x, con 0 < x < 14 para que y sea positiva.
El vértice está en x = −b/(2a) = −28/(2·(−2)) = 7 m. Allí A(7) = −2(49) + 196 = 98 m² y y = 28 − 14 = 14 m.
Interpretación: el vértice es el máximo de la parábola, es decir, la mayor área cercable con 28 m de malla contra la pared: 98 m². El rectángulo óptimo mide 7 m × 14 m.
Verificación de restricciones: el lado paralelo mide exactamente 14 m, justo el límite de la pared, así que la solución es factible. Si la pared midiera 12 m, este óptimo no serviría y habría que moverse al borde del intervalo permitido.
2. Resuelva la inecuación A(x) ≥ 80 e intégrela con la restricción de la pared. Indique el intervalo de anchos válidos y muestre con un ejemplo por qué un ancho que cumple el área puede ser inválido.
Read the worked answer
A(x) ≥ 80 → −2x² + 28x − 80 ≥ 0. Multiplicando por −1 y ordenando: 2x² − 28x + 80 ≤ 0, o sea x² − 14x + 40 ≤ 0. Factorizando: (x − 4)(x − 10) ≤ 0, que se cumple para 4 ≤ x ≤ 10.
Restricción de la pared: y = 28 − 2x ≤ 14 → −2x ≤ −14 → x ≥ 7.
Intersección: 7 ≤ x ≤ 10, con y entre 14 m (cuando x = 7) y 8 m (cuando x = 10).
Ejemplo de descarte: x = 5 da A = 5(18) = 90 m², que sí supera 80, pero y = 18 m excede los 14 m de pared disponibles: es una solución aritmética del área y no una solución del problema.
Conclusión: cualquier ancho entre 7 m y 10 m cumple las tres condiciones, pero el mayor aprovechamiento se logra en x = 7, con 98 m²; en el otro extremo se obtienen 80 m² con 10 m × 8 m.
3. Compruebe si el presupuesto alcanza para la solución de área máxima y evalúe la propuesta de comprar 30 m de malla para ampliar el huerto.
Read the worked answer
Solución óptima (7 m × 14 m): requiere 2(7) + 14 = 28 m de malla, que es justo la cantidad disponible. Costo: 28 × 1 850 = ₡51 800, menor que ₡52 000, con ₡200 de sobrante.
Propuesta de 30 m: 30 × 1 850 = ₡55 500, que excede el presupuesto en ₡3 500. No es viable sin reducir otro rubro o conseguir un aporte. Además, comprar «metros de más» no sirve si no se puede pagar: la malla se vende por metros completos, no por fracciones.
Con 29 m: 29 × 1 850 = ₡53 650, también fuera del presupuesto.
Decisión: el presupuesto fija el perímetro máximo en 28 m (52 000 ÷ 1 850 = 28,1 m). Con 28 m la solución de área máxima ya es óptima y factible, así que no hay margen para ampliar salvo que baje el precio unitario de la malla o que la pared permita otro trazado. Conviene comprar exactamente 28 m y verificar en obra que la pared tenga los 14 m completos.