Pintura del tanque cilíndrico y maqueta a escala 1:20
El colegio debe pintar el tanque de agua que abastece el comedor. El tanque es un cilindro de 1,20 m de diámetro y 1,80 m de altura, coronado por un cono de 0,40 m de altura cuyo radio coincide con el del cilindro. Se pintarán la superficie lateral del cilindro y la superficie lateral del cono; no se pinta la base inferior ni la tapa superior del cilindro, que queda cubierta por el cono. Se aplicarán dos manos de pintura. El bote de 1 L rinde 6 m² por mano y cuesta ₡8 500; el bote de 4 L cuesta ₡30 000 y también rinde 6 m² por litro. El maestro de obras advierte que, por la rugosidad del tanque viejo, el rendimiento real puede bajar a 5 m² por litro. Para la feria científica, un estudiante construye una maqueta a escala 1:20 del tanque completo y quiere saber cuánta agua cabría en la maqueta si se llenara hasta el borde.
1. Calcule la superficie a pintar con dos manos y decida cuántos botes comprar y de qué presentación, con el rendimiento nominal de 6 m² por litro.
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Radio: r = 1,20 ÷ 2 = 0,60 m; altura del cilindro h = 1,80 m; altura del cono 0,40 m.
Lateral del cilindro: 2πrh = 2π(0,60)(1,80) = 2,16π ≈ 6,79 m².
Lateral del cono: hace falta la generatriz, no la altura: g = √(0,60² + 0,40²) = √0,52 ≈ 0,721 m. Área = πrg = π(0,60)(0,721) ≈ 1,36 m². (Usar 0,40 m como si fuera la generatriz subestimaría la superficie.)
Una mano: 6,79 + 1,36 = 8,15 m². Dos manos: 16,29 m².
Pintura: 16,29 ÷ 6 = 2,72 L. Hay que redondear hacia arriba porque no se vende fracción: 3 L. Tres botes de 1 L cuestan 3 × 8 500 = ₡25 500, frente a ₡30 000 del bote de 4 L. Conviene la presentación de 1 L, con unos 0,28 L de sobrante.
2. Repita el cálculo con el rendimiento real de 5 m² por litro y determine si cambia la decisión de compra. Cuantifique la diferencia.
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Con 5 m²/L: 16,29 ÷ 5 = 3,26 L, que se redondea a 4 L.
Comparación de costos: cuatro botes de 1 L = 4 × 8 500 = ₡34 000; un bote de 4 L = ₡30 000. La decisión se invierte: ahora conviene el bote grande, con ₡4 000 de ahorro y 0,74 L de sobrante para retoques.
Lección del caso: la elección no depende solo del precio del envase sino del volumen realmente necesario. Con 2,72 L la presentación pequeña gana; con 3,26 L el envase grande se vuelve más barato por litro. Comprar «el más barato por litro» sin calcular primero lleva a gastar ₡4 000 de más.
Recomendación: comprar el bote de 4 L asumiendo el rendimiento pesimista; si el maestro confirma que la superficie es lisa, el de 1 L sigue siendo la opción económica, pero el riesgo de quedarse corto a mitad de la segunda mano es alto y obligaría a una compra urgente.
3. Calcule el volumen real del tanque y el de la maqueta a escala 1:20 expresado en mililitros. Explique por qué no basta con dividir el volumen entre 20.
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Volumen del cilindro: πr²h = π(0,60²)(1,80) = 0,648π ≈ 2,036 m³.
Volumen del cono: (1/3)πr²h = (1/3)π(0,36)(0,40) = 0,048π ≈ 0,151 m³.
Total: 2,036 + 0,151 ≈ 2,187 m³, es decir unos 2 187 L.
Maqueta: en una escala 1:20 cada longitud se divide entre 20. El volumen es tridimensional: se divide entre 20³ = 8 000. Entonces 2,187 ÷ 8 000 = 0,000273 m³ = 0,273 L ≈ 273 mL.
Por qué no dividir entre 20: eso daría 109 L, un absurdo para una maqueta de unos 11 cm de alto. Dividir entre 20 solo sería correcto para longitudes o para áreas (entre 400). El volumen escala con el cubo del factor de escala; conviene verificar la coherencia del resultado: 273 mL es aproximadamente un vaso, tamaño creíble para la maqueta.