Números y operaciones: conjuntos, proporcionalidad y porcentajes
La sección de Números y operaciones evalúa el manejo seguro de los conjuntos numéricos, la jerarquía de las operaciones, el cálculo con fracciones y potencias, y la traducción de situaciones cotidianas a proporciones y porcentajes. Los ítems suelen pedir decidir qué conjunto contiene un número, simplificar una expresión o comparar precios tras varios descuentos.
Conjuntos numéricos y operaciones
- Naturales (ℕ), enteros (ℤ), racionales (ℚ: fracciones y decimales finitos o periódicos), irracionales (√2, π) y reales (ℝ = ℚ ∪ irracionales).
- Jerarquía: paréntesis → potencias y raíces → multiplicación y división de izquierda a derecha → suma y resta.
- Potencia negativa: a^(−n) = 1/a^n. Cuidado: (−2)² = 4, pero −2² = −4.
- Dividir por una fracción es multiplicar por su inversa: (3/4) ÷ (2/5) = (3/4)·(5/2) = 15/8.
Proporcionalidad y porcentajes
- Proporción directa: al aumentar una magnitud, la otra aumenta en la misma razón; se resuelve con producto cruzado a/b = c/d.
- Proporción inversa: el producto es constante (a·b = c·d); si una se duplica, la otra se reduce a la mitad.
- Porcentaje: parte = (tasa/100) × total. Aumento del p%: multiplicar por (1 + p/100); descuento: por (1 − p/100).
- Los cambios sucesivos se multiplican, nunca se suman.
Ejemplo resuelto
Un artículo cuesta 25 000 y recibe un descuento del 20%; luego se aplica otro 10% sobre el precio ya rebajado. Precio final = 25 000 × 0,80 × 0,90 = 18 000. El descuento total es 7 000, es decir, 7 000/25 000 = 0,28 = 28%, no 30%. Si después se aplicara un aumento del 20%, el precio sería 18 000 × 1,20 = 21 600, todavía por debajo del inicial: un 86,4% de él.
Errores que cuestan puntos
- Sumar porcentajes sucesivos (20% + 10% = 30%) en lugar de multiplicar factores.
- Creer que un aumento del 20% seguido de una caída del 20% devuelve al precio original (queda en 96%).
- Confundir puntos porcentuales con porcentaje relativo: pasar del 20% al 25% es 5 puntos porcentuales, pero un aumento relativo del 25%.
- Invertir la razón en una proporción inversa o aplicar producto cruzado a magnitudes que no son proporcionales.
- Operar fracciones sumando numeradores y denominadores sin común denominador.