Relaciones y álgebra: patrones, ecuaciones, inecuaciones y funciones
La sección Relaciones y álgebra examina la capacidad de reconocer patrones, traducir enunciados a ecuaciones e inecuaciones, resolverlas y leer propiedades de funciones lineales y cuadráticas. Es frecuente que un mismo problema pida interpretar la pendiente, hallar el vértice o decidir si una sucesión es aritmética o geométrica.
Patrones y sucesiones
- Si las diferencias entre términos consecutivos son constantes, la sucesión es aritmética: a_n = a_1 + (n − 1)d.
- Si el cociente entre términos consecutivos es constante, es geométrica: a_n = a_1·r^(n−1).
- Comprobar la regla con al menos dos pasos y ajustar el primer término; no basta con mirar dos valores.
Ecuaciones e inecuaciones
- Resolver una ecuación es aplicar operaciones inversas manteniendo el equilibrio; siempre se verifica sustituyendo la solución.
- En una inecuación, al multiplicar o dividir por un número negativo se invierte el sentido de la desigualdad.
- La solución se expresa como intervalo: x ≥ −5 equivale a [−5, ∞).
Funciones lineal y cuadrática
- Lineal f(x) = mx + b: m es la pendiente (cambio de y por cada unidad de x) y b el intercepto con el eje y. Rectas paralelas tienen igual pendiente; perpendiculares cumplen m1·m2 = −1.
- Cuadrática f(x) = ax² + bx + c: el discriminante Δ = b² − 4ac indica dos raíces reales (Δ > 0), una doble (Δ = 0) o ninguna real (Δ < 0).
- Raíces: x = [−b ± √Δ]/(2a). Vértice en x = −b/(2a); si a > 0 abre hacia arriba y el vértice es un mínimo.
Ejemplo resuelto
Para f(x) = x² − 6x + 5: Δ = 36 − 20 = 16, entonces x = (6 ± 4)/2, es decir, x = 1 y x = 5. El vértice está en x = −(−6)/(2·1) = 3, y f(3) = 9 − 18 + 5 = −4. La parábola corta el eje x en 1 y 5, tiene mínimo en (3, −4) y abre hacia arriba porque a = 1 > 0.
Errores que cuestan puntos
- No distribuir el signo: −3(x − 2) = −3x + 6, no −3x − 6.
- Olvidar invertir la desigualdad al dividir por un negativo: 5 − x > 2 conduce a x < 3.
- Confundir la abscisa del vértice (−b/2a) con el valor mínimo o máximo de la función.
- Invertir la pendiente calculando Δx/Δy en lugar de Δy/Δx.
- Dar por buena una regla de sucesión sin comprobar el término siguiente.