Wirkstoffkonzentration: Drei Aussagen für das Zulassungsdokument prüfen
Ein Pharmaunternehmen testet ein neues Schmerzmittel. Die Konzentration des Wirkstoffs im Blut einer Testperson wird in den ersten zwölf Stunden nach der Einnahme durch die Funktion c mit c(t) = 20·t·e^(−0,5·t) beschrieben; dabei ist t die Zeit in Stunden seit der Einnahme und c(t) die Konzentration in mg/l. Eine Praktikantin soll für das Zulassungsdokument drei Aussagen prüfen: (1) Der Wirkstoffspiegel steigt zunächst an und fällt danach wieder. (2) Nach dem Höhepunkt sinkt die Konzentration immer schneller. (3) Das Modell beschreibt den langfristigen Abbau korrekt. Der Betreuer weist darauf hin, dass c′ die momentane Änderungsrate in mg/(l·h) angibt und dass für Aussagen über das Änderungsverhalten die zweite Ableitung nötig ist. Außerdem liegt eine Blutprobe vor, die vier Stunden nach der Einnahme eine Konzentration von 8,2 mg/l zeigt. Die Praktikantin soll nicht nur rechnen, sondern entscheiden, welche der drei Aussagen sie in das Zulassungsdokument übernehmen kann und welche sie mit Begründung streichen muss.
1. Bestimme den Zeitpunkt der höchsten Konzentration und den Maximalwert. Begründe anschließend, warum das Maximum im Inneren des betrachteten Zeitintervalls [0;12] liegt und nicht am Rand.
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Ableitung mit Produkt- und Kettenregel: c′(t) = 20·e^(−0,5t) − 10·t·e^(−0,5t) = 20·e^(−0,5t)·(1 − 0,5t). Der Faktor e^(−0,5t) ist immer positiv, also ist c′(t) = 0 genau dann, wenn 1 − 0,5t = 0, d. h. t = 2. Für t < 2 ist (1 − 0,5t) > 0, für t > 2 negativ: Vorzeichenwechsel von + nach −, also ein lokales Maximum. c(2) = 40·e^(−1) ≈ 14,72 mg/l. Randvergleich: c(0) = 0 und c(12) = 240·e^(−6) ≈ 0,59. Beide Randwerte sind deutlich kleiner als 14,72, das globale Maximum auf [0;12] liegt also bei t = 2. Begründung für das Innere: Bei t = 0 startet das Modell mit der Konzentration 0 (die Tablette ist gerade erst geschluckt), und für große t dominiert der Exponentialfaktor, sodass c(t) gegen 0 strebt. Da die Funktion an beiden Rändern gegen kleine Werte läuft, muss der Hochpunkt dazwischen liegen. Aussage (1) ist damit bestätigt und kann ins Dokument übernommen werden.
2. Prüfe Aussage (2) mithilfe der zweiten Ableitung und interpretiere das Ergebnis am Graphen.
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c″(t) = 20·e^(−0,5t)·(0,25t − 1). Nullstelle: 0,25t − 1 = 0, also t = 4. Für t < 4 ist c″ < 0 (Rechtskrümmung), für t > 4 ist c″ > 0 (Linkskrümmung). Bei t = 4 liegt also ein Wendepunkt mit c(4) = 80·e^(−2) ≈ 10,83 mg/l. Bedeutung: c″ beschreibt die Änderung der Änderungsrate. Zwischen t = 2 und t = 4 wird c′ immer stärker negativ, die Konzentration fällt also tatsächlich zunehmend schnell – das ist der steilste Abstieg. Nach t = 4 wird c′ wieder größer (nähert sich 0), der Abfall wird also langsamer. Damit ist Aussage (2) in der vorliegenden Form falsch: Sie gilt nur auf dem Intervall von 2 bis 4 Stunden. Wer sie ungeprüft übernimmt, behauptet einen dauerhaft beschleunigten Abbau, den das Modell gerade nicht zeigt. Für das Dokument müsste es heißen: „Die Konzentration sinkt zunächst zunehmend schneller, ab vier Stunden nach Einnahme verlangsamt sich der Abbau wieder.“
3. Beurteile Aussage (3) und vergleiche den Modellwert bei t = 4 mit der gemessenen Konzentration von 8,2 mg/l. Welche Konsequenz hat das für die Verwendung des Modells?
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Für t → ∞ gilt c(t) → 0, weil die Exponentialfunktion stärker fällt als der lineare Faktor wächst. Das Modell sagt also einen Abbau bis nahe null voraus, was qualitativ plausibel ist. Zwei Punkte sprechen aber gegen eine ungeprüfte Übernahme: (1) Der Grenzwert 0 wird nie erreicht, das Modell liefert für jede noch so späte Zeit eine positive Restkonzentration. Real wird ein Wirkstoff unter die Nachweisgrenze abgebaut und ausgeschieden. (2) c(0) = 0 bedeutet, dass zum Einnahmezeitpunkt noch kein Wirkstoff im Blut ist; der sofortige Anstieg unterstellt eine unendlich schnelle Aufnahme, die es nicht gibt. Der Gültigkeitsbereich beginnt also erst kurz nach der Einnahme. Zahlenvergleich bei t = 4: Modell 10,83 mg/l, Messung 8,2 mg/l. Das Modell überschätzt um 2,63 mg/l, also um (2,63/8,2) ≈ 32 %. Konsequenz: Aussage (3) ist in der Tendenz richtig, aber nicht belegt. Wegen der 32-prozentigen Abweichung sollte das Modell nicht für Dosierungsaussagen verwendet werden, ohne die Parameter anzupassen oder ein anderes Modell zu prüfen; für die Beschreibung des qualitativen Verlaufs (Anstieg, Hochpunkt, Abfall) bleibt es brauchbar.