Berlin Abitur Math 3. PF (GK) key terms

Funktion, die an jeder Stelle die Steigung der Tangente an den Graphen angibt; entsteht als Grenzwert des Differenzenquotienten (h-Methode).

Quotient aus Funktionswertdifferenz und Argumentdifferenz zweier Punkte; beschreibt die mittlere Änderungsrate und die Sekantensteigung im Intervall.

Zuordnung, die jedem x des Definitionsbereichs die Ableitung f'(x) zuweist; entsteht durch Ableiten von f nach den Ableitungsregeln.

Regel für verkettete Funktionen: äußere Ableitung an der inneren Funktion mal innere Ableitung, also (f∘g)'(x) = f'(g(x))·g'(x).

Ableitungsregel für ein Produkt zweier Funktionen: (u·v)' = u'·v + u·v'. Wird bei Faktoren wie x·e^x benötigt.

Wert f'(x₀); gibt die lokale Änderungsrate im Punkt x₀ an und legt zusammen mit dem Berührpunkt die Gleichung der Tangente fest.

Gerade, die den Graphen in einem Punkt berührt und dort dieselbe Steigung wie der Graph hat; Gleichung y = f'(x₀)·(x − x₀) + f(x₀).

Gerade durch den Berührpunkt, die senkrecht auf der Tangente steht; ihre Steigung ist der negative Kehrwert der Tangentensteigung.

x-Wert eines Hoch- oder Tiefpunkts; notwendige Bedingung ist f'(x) = 0, hinreichend ein Vorzeichenwechsel von f' bzw. f''(x) ≠ 0.

Punkt des Graphen mit lokal größtem Funktionswert in seiner Umgebung; dort wechselt f' von positiv zu negativ.

Punkt des Graphen mit lokal kleinstem Funktionswert in seiner Umgebung; dort wechselt f' von negativ zu positiv.

Stelle, an der der Graph sein Krümmungsverhalten ändert; notwendig ist f''(x) = 0, hinreichend ein Vorzeichenwechsel von f''.

Angabe darüber, ob der Graph linksgekrümmt (f'' > 0) oder rechtsgekrümmt (f'' < 0) verläuft; ablesbar aus dem Vorzeichen der zweiten Ableitung.

Funktion F, deren Ableitung die gegebene Funktion f ist (F' = f). Zu jeder stetigen Funktion existieren unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um eine Konstante unterscheiden.

Menge aller Stammfunktionen von f, geschrieben ∫f(x)dx = F(x) + C mit Integrationskonstante C.

Zahl ∫ₐᵇ f(x)dx, die den orientierten Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse von a bis b angibt; unter der Achse negativ gezählt.

Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a), wobei F eine beliebige Stammfunktion von f ist.

Inhalt der Fläche zwischen zwei Kurven über einem Intervall; berechnet über das Integral des Betrags der Differenzfunktion.

Exponentialfunktion f(x) = e^x mit der Basis e ≈ 2,718; sie ist ihre eigene Ableitung und dient als Grundmodell für Wachstum und Zerfall.

Umkehrfunktion von e^x, geschrieben ln; definiert nur für x > 0 und hilft beim Lösen von Gleichungen mit e-Termen.

Gleichung, in der die Unbekannte im Exponenten steht; wird meist durch Logarithmieren oder Substitution gelöst.

Lösungsverfahren, bei dem ein Term durch eine neue Variable ersetzt wird, um eine einfachere Gleichung zu erhalten; anschließend wird zurückersetzt.

Menge aller x-Werte, für die ein Funktionsterm definiert ist; bei Bruchtermen müssen Nennernullstellen ausgeschlossen werden.

Definitionslücke, bei der die Funktionswerte gegen +∞ oder −∞ streben; typisch bei Nullstellen des Nenners, die nicht zugleich Nullstellen des Zählers sind.

Gerade oder Kurve, der sich der Graph für große x-Werte oder nahe einer Definitionslücke annähert, ohne sie zu erreichen.

Wert, dem eine Folge oder Funktion beliebig nahe kommt; Schreibweise lim. Grundlage für Ableitung, Stetigkeit und asymptotisches Verhalten.

Geordnetes Zahlentripel, das eine Verschiebung im Raum beschreibt; dargestellt als Pfeil mit Richtung und Länge.

Vektor vom Koordinatenursprung zu einem Punkt; seine Koordinaten stimmen mit den Punktkoordinaten überein.

Länge des zugehörigen Pfeils, berechnet als Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten.

Verknüpfung zweier Vektoren zu einer Zahl: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Ist das Ergebnis null, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander.

Eigenschaft zweier Vektoren oder Geraden, senkrecht zueinander zu stehen; nachweisbar über das Skalarprodukt null bzw. über das Produkt der Steigungen −1.

Verknüpfung zweier Vektoren, die einen zu beiden senkrechten Vektor liefert; nützlich zur Bestimmung eines Normalenvektors einer Ebene.

Darstellung einer Geraden in Parameterform g: x = a + t·u, wobei a ein Stützvektor und u ein Richtungsvektor ist.

Vektor, der die Richtung einer Geraden angibt; jedes Vielfache ungleich null beschreibt dieselbe Richtung.

Darstellung von Gerade oder Ebene mit Stützvektor und einem bzw. zwei Spannvektoren, die mit Parametern multipliziert werden.

Vektor, der senkrecht auf einer Ebene oder Geraden steht; seine Koordinaten bilden die Koeffizienten in der Koordinaten- bzw. Normalenform.

Ebenendarstellung der Form (x − a)·n = 0 mit Stützvektor a und Normalenvektor n; äquivalent zur Koordinatenform.

Ebenengleichung der Form ax + by + cz = d; die Koeffizienten a, b, c sind ein Normalenvektor der Ebene.

Beschreibung, wie Geraden und Ebenen zueinander liegen, etwa identisch, parallel, schneidend oder windschief; geprüft über lineare Gleichungssysteme.

Winkel zwischen zwei Geraden oder Ebenen; berechnet über den Kosinus aus dem Skalarprodukt der Richtungs- bzw. Normalenvektoren.

Kürzeste Entfernung eines Punktes von einer Ebene; ergibt sich über die Hessesche Normalenform oder durch Projektion längs des Normalenvektors.

Graphische Darstellung mehrstufiger Zufallsexperimente; an den Ästen stehen Wahrscheinlichkeiten, entlang eines Pfades wird multipliziert.

Regel für Baumdiagramme: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist das Produkt der Astwahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.

Regel für Baumdiagramme: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller zugehörigen Pfade.

Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B bereits eingetreten ist; geschrieben P(A|B) = P(A∩B)/P(B) für P(B) > 0.

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn P(A∩B) = P(A)·P(B) gilt; dann ändert das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht.

Tabelle mit zwei Merkmalen und je zwei Ausprägungen; sie ordnet absolute oder relative Häufigkeiten zu und erleichtert das Berechnen bedingter Wahrscheinlichkeiten.

Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen (Treffer oder Niete), das unter gleichen Bedingungen wiederholt werden kann.

Verteilung der Trefferzahl X bei n unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit p; es gilt P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k).

Konstante Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer in einem einzelnen Bernoulli-Versuch; Parameter der Binomialverteilung.

Mittelwert der Zufallsgröße bei häufiger Wiederholung; bei der Binomialverteilung gilt μ = n·p.

Maß für die Streuung der Werte um den Erwartungswert; bei der Binomialverteilung gilt σ = √(n·p·(1−p)).

Teilmenge der Ergebnismenge eines Zufallsexperiments; tritt ein, wenn das Ergebnis in dieser Teilmenge liegt.

Komplement eines Ereignisses: alle Ergebnisse, die nicht zu A gehören. Es gilt P(Ā) = 1 − P(A).

Verfahren, bei dem eine Vermutung über p anhand von Stichprobendaten geprüft wird; Entscheidung über Annahme oder Ablehnung der Nullhypothese im Ablehnungsbereich.

Vorgegebene Höchstwahrscheinlichkeit α dafür, die Nullhypothese fälschlich abzulehnen; sie begrenzt den Ablehnungsbereich.

Irrtum, die Nullhypothese abzulehnen, obwohl sie wahr ist; seine Wahrscheinlichkeit ist höchstens das Signifikanzniveau α.

Irrtum, die Nullhypothese beizubehalten, obwohl sie falsch ist; seine Wahrscheinlichkeit hängt vom tatsächlichen Parameterwert ab.