Berlin Abitur Math 3. PF (GK) common mistakes
Berlin Abitur Math 3. PF (GK) · Understand the traps and how to avoid them.
Beim Ableiten einer Funktion mit Parameter a (z. B. f_a(x) = (x − a)·e^x) wird a wie eine Variable behandelt und nach x mitproduziert, sodass Terme wie a·e^x oder −a·x entstehen, die nicht zur Ableitung gehören.
Der Parameter steht in derselben Zeile wie das x; Kandidaten kopieren die Produkt- oder Kettenregel schematisch, ohne vorher zu markieren, welche Größe die Variable der Ableitung ist. Die Schreibweise f_a macht nicht automatisch klar, dass a eine Konstante ist.
What to do instead
Vor jeder Ableitung eine Zeile schreiben: 'Variable = x, Parameter = a (Konstante)'. Dann die Funktion in eine parameterfreie Form umschreiben (z. B. f_a(x) = x·e^x − a·e^x) und gliedweise ableiten; die Ableitung anschließend durch Einsetzen von a = 0 gegen die Ableitung von x·e^x prüfen.
Bei der Bestimmung von Extrem- und Wendestellen wird nur f′(x) = 0 bzw. f″(x) = 0 gelöst und das Ergebnis sofort als Hoch-, Tief- oder Wendepunkt notiert, ohne Vorzeichenwechsel oder f″-Wert zu prüfen und ohne den y-Wert zu berechnen.
Der Rechenweg 'Ableitung null setzen' ist eingeübt und liefert schnell ein Ergebnis; die Nachweisbedingung wirkt wie ein Formalitätsschritt und wird unter Zeitdruck weggelassen. Zudem ist die Aufgabenstellung oft indirekt ('Wo hat der Graph eine waagerechte Tangente?').
What to do instead
Ein festes Drei-Schritte-Schema einüben: (1) notwendige Bedingung lösen, (2) hinreichende Bedingung mit Vorzeichenwechseltabelle oder f″-Wert dokumentieren, (3) Punkt vollständig als Paar (x | y) angeben. Bei jeder Lösung von f′(x) = 0 automatisch den Funktionswert nachrechnen, bevor der Satz beendet wird.
Bei Sachaufgaben mit exponentiellem Wachstum oder Zerfall wird der Parameter im Ansatz f(t) = c·e^(k·t) falsch interpretiert: c wird als Wachstumsrate gelesen, k als Anfangswert, oder ein Zerfall wird mit positivem k angesetzt, sodass das Modell monoton wächst statt abnimmt.
Die beiden Parameter sehen symmetrisch aus, und die Bedeutung von k als Änderungsrate pro Zeiteinheit (nicht als Prozentwert) ist begrifflich nicht gesichert. Ohne Einheitenkontrolle fällt der Vorzeichenfehler nicht auf.
What to do instead
Immer zuerst den Anfangswert einsetzen (t = 0) und prüfen, ob f(0) = c den Sachkontext trifft. Danach das Vorzeichen von k aus der Aufgabenformulierung ableiten ('nimmt ab' ⇒ k < 0) und eine Probe mit einem großen t durchführen: das Ergebnis muss plausibel größer bzw. kleiner als der Anfangswert sein. Prozentangaben erst in e^(k·t) umrechnen, wenn k aus zwei Messpunkten bestimmt wurde.
Beim Aufstellen oder Lösen eines Gleichungssystems aus einer Textaufgabe (z. B. Mischung, Bewegung, Kosten) werden Variablen ohne Einheit und ohne Bedeutung definiert, Gleichungen vertauscht oder nach dem Additionsverfahren ein Zwischenergebnis als Endlösung ausgegeben.
Der Sprung von der Textbeschreibung zum Gleichungssystem wird nicht schriftlich festgehalten; Variablen bleiben namenlos, und die Kontrolle, ob die Lösung die Ausgangssituation erfüllt, entfällt. Das Gauß-Verfahren wird mechanisch angewandt, ohne die Lösung zurückzuübersetzen.
What to do instead
Vor dem ersten Gleichheitszeichen eine Definitionszeile schreiben ('x = Anzahl der Liter der 20%-Lösung in l'). Nach dem Lösen jede Variable in den Aufgabentext zurücksetzen und die Probe mit den Originalgleichungen durchführen; ein negatives oder unplausibel großes Ergebnis als Signal für einen Ansatzfehler behandeln.
Beim Rechnen mit Vektoren werden Skalarprodukt und Vektorprodukt verwechselt, oder das Skalarprodukt wird benutzt, um einen Vektor zu erhalten, obwohl das Ergebnis eine Zahl ist; beim Kreuzprodukt wird die Reihenfolge der Komponenten vertauscht und damit das Vorzeichen des Normalenvektors falsch.
Beide Operationen werden im Zusammenhang mit Winkeln und Normalenvektoren gelernt und ähneln sich in der Schreibweise. Die Dimension des Ergebnisses (Zahl vs. Vektor) wird nicht mitgedacht, und das Kreuzprodukt wird selten mit einer Probe kontrolliert.
What to do instead
Vor der Rechnung notieren, was gesucht ist: Zahl (Winkel, Fläche, Projektion) ⇒ Skalarprodukt; Vektor senkrecht zu zwei Vektoren ⇒ Kreuzprodukt. Das Kreuzprodukt stets durch Skalarprodukt mit beiden Ausgangsvektoren prüfen (Ergebnis muss 0 sein) und die Orientierung an einem einfachen Beispiel (e₁ × e₂ = e₃) kontrollieren.
Bei Abstands- und Lageaufgaben (Punkt–Gerade, Gerade–Ebene, windschiefe Geraden) wird der Abstand als Länge des Verbindungsvektors zweier beliebiger, oft gegebener Punkte berechnet, statt den Lotfußpunkt zu bestimmen oder die Hessesche Normalenform zu verwenden.
Der Begriff 'Abstand' wird mit 'Länge eines Vektors' gleichgesetzt; der Unterschied zwischen dem kürzesten Abstand und dem Abstand zweier ausgezeichneter Punkte ist nicht präsent. Die HNF wirkt wie ein Sonderverfahren, das nur bei Ebenen in Normalenform anwendbar ist.
What to do instead
Für jede Abstandsaufgabe zuerst die geometrische Definition notieren: kürzeste Verbindung steht senkrecht auf der Geraden bzw. Ebene. Bei Ebenen die HNF mit normiertem Normalenvektor verwenden und den Betrag des Einsatzes bilden; bei Geraden den Lotfußpunkt über die Orthogonalitätsbedingung (Skalarprodukt = 0) ansetzen und den Abstand erst am Ende als Vektorlänge berechnen.
Bei der Untersuchung der Lage zweier Geraden wird aus 'das Gleichungssystem hat keine Lösung' direkt 'windschief' geschlossen, ohne zu prüfen, ob die Richtungsvektoren linear abhängig (also parallel) sind.
Die Fallunterscheidung identisch / parallel / schneidend / windschief hat vier Fälle, wird aber oft als zweistufig erinnert ('lösbar oder nicht'). Die Kollinearitätsprüfung der Richtungsvektoren wird als überflüssig empfunden, weil sie nicht Teil des Gleichungssystems ist.
What to do instead
Ein Entscheidungsdiagramm einprägen: erst Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit prüfen (Vielfaches?), dann erst das Gleichungssystem lösen. Bei parallelen Geraden zusätzlich einen Punkt der einen Geraden in die andere einsetzen, um 'identisch' von 'echt parallel' zu trennen. Jeden Fall mit einem Einzeiler begründen.
Bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten aus einem Baumdiagramm werden Pfadregeln vertauscht: Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades werden addiert und Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade multipliziert, oder es wird vergessen, dass ein Ereignis mehrere Pfade umfassen kann.
Die Regel 'entlang multiplizieren, entlang der Äste addieren' wird als Merksatz gelernt, aber nicht mit der Bedeutung von 'und' bzw. 'oder' verknüpft. Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten ohne Zurücklegen wird zudem die Änderung der Nenner nicht mitgeführt.
What to do instead
Jeden Pfad als Kette von 'und'-Bedingungen laut formulieren und multiplizieren; mehrere Pfade als 'oder'-Fälle addieren. Beim Ziehen ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten Stufe explizit mit verändertem Nenner anschreiben und die Summe aller Endwahrscheinlichkeiten als Probe auf 1 prüfen.
Bei Aufgaben zu Binomialverteilung wird 'mindestens k' mit P(X = k) oder mit P(X ≤ k) berechnet, oder es wird nicht geprüft, ob die Voraussetzungen (feste Trefferwahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit, feste Anzahl der Versuche) überhaupt erfüllt sind.
Die Begriffe 'mindestens', 'höchstens' und 'genau' werden beim Lesen nicht in ein Ungleichungssymbol übersetzt; die Gegenwahrscheinlichkeit 1 − P(X ≤ k − 1) ist fehleranfällig und wird unter Zeitdruck abgekürzt. Das Modell wird gewählt, weil binomialverteilte Aufgaben erwartet werden.
What to do instead
Vor dem Rechnen die Aufgabe in eine Zeile übersetzen: 'mindestens 3' ⇒ P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2); 'höchstens 3' ⇒ P(X ≤ 3). Die Modellwahl mit einer kurzen Begründung versehen (n fest, p konstant, unabhängige Versuche) und bei 'ohne Zurücklegen' aus einer kleinen Grundgesamtheit die hypergeometrische Verteilung prüfen.
Bei Hypothesentests werden die Null- und Alternativhypothese so formuliert, dass die behauptete Wirkung in H₀ steht, oder der Fehler 1. und 2. Art wird mit dem jeweiligen Signifikanzniveau gleichgesetzt, sodass die Interpretation des Ergebnisses ('die Nullhypothese ist bewiesen') falsch wird.
Die Richtung der Hypothesen wird aus dem Aufgabentext übernommen, ohne die Logik des Widerspruchsbeweises zu beachten. Der Testentscheid wird als Beweis gelesen, weil das Ablehnen von H₀ sprachlich wie eine Bestätigung klingt.
What to do instead
H₀ immer als das Gegenteil der behaupteten Abweichung formulieren und das Signifikanzniveau als maximale Irrtumswahrscheinlichkeit für das Verwerfen von H₀ deuten. Im Antwortsatz zwischen 'H₀ verworfen' und 'H₀ nicht verworfen' unterscheiden und ausdrücklich festhalten, dass ein Nicht-Verwerfen kein Beweis für H₀ ist; Fehler 1. und 2. Art getrennt mit ihren Bedingungen notieren.