Berlin Abitur Math 3. PF (GK) flashcards

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Ableitung von e^(kx)

Die Ableitung lautet k·e^(kx). Der Faktor k entsteht durch die Kettenregel, da die innere Funktion kx die Ableitung k besitzt.

Notwendige Bedingung Extremstelle

An einer Extremstelle gilt f'(x) = 0, sofern f dort differenzierbar ist. Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend, da auch Sattelstellen sie erfüllen.

Hinreichendes Kriterium Hochpunkt

Ist f'(x₀) = 0 und f''(x₀) < 0, liegt an x₀ ein lokaler Hochpunkt vor. Der Graph ist dort rechtsgekrümmt, die Steigung wechselt von positiv zu negativ.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Für eine Stammfunktion F von f gilt ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). Damit lässt sich der orientierte Flächeninhalt unter dem Graphen berechnen.

Fläche zwischen zwei Graphen

Man berechnet ∫_a^b (f(x) − g(x)) dx, wobei a und b die Schnittstellen sind. Im jeweiligen Intervall muss die oben liegende Funktion zuerst stehen.

Tangentengleichung in x₀

Die Tangente lautet y = f'(x₀)·(x − x₀) + f(x₀). Sie berührt den Graphen im Punkt (x₀|f(x₀)) und hat dort dieselbe Steigung wie der Graph.

Kettenregel

Für die verkettete Funktion f(g(x)) gilt die Ableitung f'(g(x))·g'(x). Man leitet also die äußere Funktion ab und multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion.

Wendepunkt hinreichend prüfen

Ein Wendepunkt liegt vor, wenn f''(x₀) = 0 und f'''(x₀) ≠ 0 gilt. Dort wechselt das Krümmungsverhalten des Graphen von links- zu rechtsgekrümmt oder umgekehrt.

Substitutionsregel beim Integrieren

Man setzt u = g(x) und du = g'(x) dx, sodass ∫ f(g(x))·g'(x) dx = F(g(x)) + C. Bei bestimmten Integralen müssen auch die Grenzen angepasst werden.

Grenzwert für x gegen unendlich

Bei rationalen Funktionen entscheidet der Quotient der höchsten Potenzen von Zähler und Nenner über den Grenzwert. Bei e-Funktionen dominiert e^x gegenüber jeder Potenz.

Skalarprodukt und Orthogonalität

Es gilt a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Das Skalarprodukt ist genau dann null, wenn die Vektoren orthogonal zueinander stehen, sofern keiner der Nullvektor ist.

Betrag eines Vektors

Der Betrag ist |a⃗| = √(a₁² + a₂² + a₃²), also die Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. Er entspricht der Länge des zugehörigen Pfeils.

Winkel zwischen zwei Vektoren

Mit cos φ = (a⃗·b⃗)/(|a⃗|·|b⃗|) erhält man den eingeschlossenen Winkel. Der Winkel liegt zwischen 0° und 180°, unabhängig von der Orientierung der Pfeile.

Kreuzprodukt als Normalenvektor

Das Kreuzprodukt a⃗×b⃗ steht senkrecht auf beiden Vektoren und eignet sich als Normalenvektor einer Ebene. Sein Betrag entspricht der Fläche des aufgespannten Parallelogramms.

Normalenform einer Ebene

Eine Ebene lässt sich schreiben als n⃗·(x⃗ − a⃗) = 0, wobei n⃗ ein Normalenvektor und a⃗ ein Punkt der Ebene ist. Ausmultipliziert ergibt sich die Koordinatenform.

Abstand Punkt zu Ebene

Für die Koordinatenform n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d gilt d(P,E) = |n₁p₁ + n₂p₂ + n₃p₃ − d|/|n⃗|. Der Zähler ist ein Betrag, der Abstand nie negativ.

Lage Gerade und Ebene

Ist u⃗·n⃗ ≠ 0, schneidet die Gerade die Ebene in genau einem Punkt. Ist u⃗·n⃗ = 0, verläuft sie parallel oder liegt ganz in der Ebene.

Abstand windschiefer Geraden

Man berechnet d = |(a₂⃗ − a₁⃗)·(u⃗×v⃗)|/|u⃗×v⃗|. Der Zähler ist das Spatprodukt aus Verbindungsvektor und beiden Richtungsvektoren.

Spatprodukt und Volumen

Das Spatprodukt (a⃗×b⃗)·c⃗ liefert das Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Spats. Sein Betrag ist null, wenn die Vektoren linear abhängig sind.

Determinante und Inverse

Eine quadratische Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn det A ≠ 0 gilt. Bei det A = 0 sind die Spalten linear abhängig und die zugehörige Abbildung ist nicht umkehrbar.

Gauß-Verfahren und Lösbarkeit

Durch Zeilenumformungen bringt man die erweiterte Matrix auf Stufenform. Ein Widerspruch bedeutet keine Lösung, freie Variablen bedeuten unendlich viele Lösungen.

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Bei endlich vielen gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = |A|/|Ω|. Die Anzahl günstiger Ergebnisse wird durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse geteilt.

Gegenereignis

Für jedes Ereignis A gilt P(Ā) = 1 − P(A). Diese Regel ist besonders nützlich bei mindestens-Aufgaben, weil das Gegenereignis oft leichter zu berechnen ist.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

P(A|B) = P(A∩B)/P(B) für P(B) > 0 beschreibt die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B bereits eingetreten ist. Die Ereignisse können dabei abhängig sein.

Unabhängigkeit zweier Ereignisse

Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn P(A∩B) = P(A)·P(B) gilt. Äquivalent dazu ist P(A|B) = P(A), sofern P(B) > 0 ist.

Satz von Bayes

Es gilt P(A|B) = P(B|A)·P(A)/P(B). Der Nenner wird über die totale Wahrscheinlichkeit aus den Fällen von A berechnet, oft mit einem Baumdiagramm.

Binomialverteilung Formel

P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k) gilt bei n unabhängigen Versuchen mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit p. C(n,k) zählt die Anordnungen der k Treffer.

Erwartungswert und Standardabweichung

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße gilt μ = n·p und σ = √(n·p·(1−p)). Der Erwartungswert gibt die mittlere Trefferzahl bei vielen Wiederholungen an.

Sigma-Regeln

Bei ausreichend großem σ liegen rund 68,3 % der Werte im Intervall μ ± σ, etwa 95,4 % in μ ± 2σ und etwa 99,7 % in μ ± 3σ.

Fehler 1. Art

Der Fehler 1. Art bedeutet, H₀ zu verwerfen, obwohl sie wahr ist. Seine Wahrscheinlichkeit ist höchstens das vorgegebene Signifikanzniveau α.

Fehler 2. Art

Der Fehler 2. Art tritt auf, wenn H₀ nicht verworfen wird, obwohl H₁ gilt. Seine Wahrscheinlichkeit hängt vom tatsächlichen Parameterwert aus H₁ ab und wird mit diesem berechnet.

Kritischer Bereich beim Signifikanztest

Der kritische Bereich umfasst die Werte der Testgröße, bei denen H₀ verworfen wird. Beim rechtsseitigen Test ist es {X ≥ k}, wobei k aus P(X ≥ k) ≤ α folgt.