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Berlin Abitur Math 3. PF (GK) practice questions

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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x. Welche Aussage über die Ableitung f′(x) ist korrekt?

  1. f′(x) = 3x² − 3, und die Extremstellen von f liegen bei x = 0 und x = 3.
  2. f′(x) = x² − 3, und die Extremstellen von f liegen bei x = ±√3.
  3. f′(x) = 3x², und f besitzt keine Extremstelle.
  4. f′(x) = 3x² − 3, und die Extremstellen von f liegen bei x = ±1. Correct answer.

Explanation

Die Potenzregel liefert f′(x) = 3x² − 3. Notwendig für Extremstellen ist f′(x) = 0, also 3x² = 3 und damit x = ±1. Da f′ an diesen Stellen das Vorzeichen wechselt, liegen dort tatsächlich lokale Extremstellen vor.

Question 2Analysis

Eine Funktion f ist auf ℝ definiert und es gilt f′(x) > 0 für alle x. Welche Schlussfolgerung über den Graphen von f ist zulässig?

  1. Der Graph von f hat genau eine Nullstelle.
  2. Der Graph von f ist streng monoton steigend. Correct answer.
  3. Der Graph von f ist eine Gerade mit positiver Steigung.
  4. Der Graph von f besitzt eine Wendestelle.

Explanation

Eine durchgehend positive Ableitung bedeutet, dass die Steigung an jeder Stelle positiv ist; daraus folgt die strenge Monotonie der Funktion auf ganz ℝ. Über die konkrete Gestalt des Graphen oder die Anzahl der Nullstellen sagt die Ableitung allein nichts aus.

Question 3Analysis

Berechne den Wert des bestimmten Integrals ∫₀² (2x + 1) dx.

  1. 6 Correct answer.
  2. 8
  3. 5
  4. 4

Explanation

Eine Stammfunktion von 2x + 1 ist x² + x. Einsetzen der Grenzen ergibt (2² + 2) − (0 + 0) = 4 + 2 = 6. Das Integral entspricht dem Flächeninhalt unter der Geraden zwischen x = 0 und x = 2.

Question 4Analysis

Die Funktion f hat an der Stelle x₀ eine Nullstelle. Welche Bedingung muss zusätzlich gelten, damit dort eine einfache (nicht doppelte) Nullstelle vorliegt?

  1. Es gilt f(x₀) = f′(x₀).
  2. Es gilt f′(x₀) = 0.
  3. Es gilt f′(x₀) ≠ 0. Correct answer.
  4. Es gilt f″(x₀) > 0.

Explanation

Bei einer einfachen Nullstelle wechselt der Graph die Seite der x-Achse, die Steigung ist dort also ungleich null. Verschwindet auch die erste Ableitung, liegt mindestens eine doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

Question 5Analysis

Für eine Funktion f gilt lim(x→3) f(x) = 5, aber f(3) = 2. Welche Aussage ist korrekt?

  1. f ist an der Stelle x = 3 differenzierbar.
  2. f ist an der Stelle x = 3 nicht stetig. Correct answer.
  3. f ist an der Stelle x = 3 stetig, weil der Grenzwert existiert.
  4. f hat an der Stelle x = 3 eine hebbare Definitionslücke.

Explanation

Stetigkeit an einer Stelle verlangt, dass Grenzwert und Funktionswert übereinstimmen. Hier gilt 5 ≠ 2, also ist f an dieser Stelle unstetig, obwohl der Grenzwert existiert.

Question 6Analysis

Welche Stammfunktion gehört zu f(x) = cos(x)?

  1. F(x) = −cos(x) + C
  2. F(x) = −sin(x) + C
  3. F(x) = tan(x) + C
  4. F(x) = sin(x) + C Correct answer.

Explanation

Die Ableitung von sin(x) ist cos(x), daher ist sin(x) + C die allgemeine Stammfunktion von cos(x). Die Integrationskonstante C ist beliebig und ändert die Ableitung nicht.

Question 7Analysis

Der Graph einer ganzrationalen Funktion f verläuft für x → +∞ nach unten und für x → −∞ nach oben. Welche Aussage über den Grad n und den Leitkoeffizienten aₙ ist zutreffend?

  1. n ist gerade und aₙ < 0.
  2. n ist ungerade und aₙ > 0.
  3. n ist ungerade und aₙ < 0. Correct answer.
  4. n ist gerade und aₙ > 0.

Explanation

Bei ungeradem Grad haben die beiden Äste entgegengesetztes Verhalten. Für x → +∞ geht f(x) gegen −∞, was bei ungeradem Grad einen negativen Leitkoeffizienten erzwingt.

Question 8Analysis

Die Funktion f mit f(x) = e^(2x) wird betrachtet. Welche Aussage über ihre Ableitung ist korrekt?

  1. f′(x) = e^(2x)
  2. f′(x) = 2·e^(2x) Correct answer.
  3. f′(x) = 2x·e^(2x)
  4. f′(x) = e^(2x)/2

Explanation

Nach der Kettenregel wird die äußere Funktion e^u abgeleitet und mit der inneren Ableitung u′ = 2 multipliziert. Damit ergibt sich f′(x) = 2·e^(2x).

Question 9Analysis

Gegeben ist f(x) = x³ − 6x² + 9x. An welcher Stelle liegt ein lokales Maximum vor?

  1. x = 2
  2. x = 0
  3. x = 3
  4. x = 1 Correct answer.

Explanation

Es gilt f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3), also kritische Stellen bei x = 1 und x = 3. Die zweite Ableitung f″(x) = 6x − 12 ist bei x = 1 negativ, dort liegt ein lokales Maximum vor.

Question 10Analysis

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f(x) = x² und die x-Achse zwischen x = 0 und x = 3 einschließen.

  1. 9 Correct answer.
  2. 6
  3. 3
  4. 27

Explanation

Das Integral ∫₀³ x² dx hat die Stammfunktion x³/3. Einsetzen ergibt 27/3 − 0 = 9. Da x² im Intervall nicht negativ ist, entspricht der Integralwert direkt dem Flächeninhalt.

Question 11Analysis

Die Funktion f(x) = (x² − 4)/(x − 2) ist für x ≠ 2 definiert. Welche Aussage über die Definitionslücke x = 2 ist korrekt?

  1. Es handelt sich um eine hebbare Lücke; der Grenzwert für x → 2 ist 0.
  2. Es handelt sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
  3. Es handelt sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.
  4. Es handelt sich um eine hebbare Lücke; der Grenzwert für x → 2 ist 4. Correct answer.

Explanation

Der Zähler lässt sich als (x − 2)(x + 2) faktorisieren, sodass f(x) = x + 2 für x ≠ 2 gilt. Der Grenzwert für x → 2 ist daher 4, und die Lücke ist hebbar.

Question 12Analysis

Eine Größe wächst exponentiell mit dem Startwert 200 und verdoppelt sich alle 5 Stunden. Welche Funktionsgleichung beschreibt den Bestand B(t) nach t Stunden?

  1. B(t) = 200·2^(5t)
  2. B(t) = 200·(1/2)^(t/5)
  3. B(t) = 200·2^(t/5) Correct answer.
  4. B(t) = 200·5^(t/2)

Explanation

Die Verdopplungszeit 5 bedeutet, dass der Faktor 2 pro 5 Stunden wirkt. Im Exponenten steht daher t/5, und der Startwert 200 tritt als Vorfaktor auf.

Question 13Analysis

Für eine Funktion f gilt f″(x) = 6x − 6. An welcher Stelle liegt eine Wendestelle von f?

  1. x = 6
  2. x = −1
  3. x = 0
  4. x = 1 Correct answer.

Explanation

Wendestellen erfordern f″(x) = 0. Aus 6x − 6 = 0 folgt x = 1. Da f″ dort das Vorzeichen wechselt, liegt tatsächlich eine Wendestelle vor.

Question 14Analysis

Gegeben ist die Funktion f(x) = x·e^x. Welche Ableitung ist korrekt?

  1. f′(x) = (x + 1)·e^x Correct answer.
  2. f′(x) = e^x
  3. f′(x) = x·e^x
  4. f′(x) = (x − 1)·e^x

Explanation

Nach der Produktregel gilt f′(x) = 1·e^x + x·e^x = (x + 1)·e^x. Die Ableitung von x ist 1, die von e^x bleibt e^x.

Question 15Analysis

Die Funktion f ist auf [0, 4] definiert und stetig, mit f(0) = −2 und f(4) = 3. Welche Aussage folgt aus dem Zwischenwertsatz?

  1. f hat auf [0, 4] ein lokales Maximum bei x = 4.
  2. Es gibt mindestens eine Stelle x₀ in (0, 4) mit f(x₀) = 0. Correct answer.
  3. Es gibt genau eine Stelle x₀ in (0, 4) mit f(x₀) = 0.
  4. f ist auf [0, 4] differenzierbar.

Explanation

Da f stetig ist und die Werte −2 und 3 annimmt, wird nach dem Zwischenwertsatz jeder Wert dazwischen, insbesondere 0, mindestens einmal angenommen. Die Existenz einer Nullstelle ist damit gesichert.

Question 16Analysis

Berechne ∫₁^e (1/x) dx.

  1. 1/e
  2. 1 Correct answer.
  3. e
  4. e − 1

Explanation

Eine Stammfunktion von 1/x ist ln(x). Damit ergibt sich ln(e) − ln(1) = 1 − 0 = 1. Der Wert des Integrals ist unabhängig von der Basis, da ln die natürliche Logarithmusfunktion ist.

Question 17Analysis

Eine Funktion f erfüllt f′(x) = f(x) für alle x und f(0) = 3. Welche Funktion ist f?

  1. f(x) = 3·e^x Correct answer.
  2. f(x) = e^(3x)
  3. f(x) = x + 3
  4. f(x) = 3·e^(3x)

Explanation

Die einzigen Funktionen mit f′ = f sind Vielfache von e^x. Der Anfangswert f(0) = c·e⁰ = c bestimmt den Faktor c = 3, also f(x) = 3·e^x.

Question 18Analysis

Der Graph von f(x) = x³ − 3x² + 3x hat an der Stelle x = 1 eine waagerechte Tangente. Welche Aussage über das Krümmungsverhalten dort ist korrekt?

  1. Der Graph hat bei x = 1 einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente (Sattelpunkt). Correct answer.
  2. Der Graph hat bei x = 1 ein lokales Minimum.
  3. Der Graph hat bei x = 1 einen Pol.
  4. Der Graph hat bei x = 1 ein lokales Maximum.

Explanation

Es gilt f′(x) = 3x² − 6x + 3 = 3(x − 1)² und f″(x) = 6x − 6, also f″(1) = 0. Da f′ an der Stelle 1 das Vorzeichen nicht wechselt, liegt kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt vor.

Question 19Analysis

Die Funktion f(x) = x² − 4x + 7 soll auf Scheitelpunktform gebracht werden. Welche Darstellung ist korrekt?

  1. f(x) = (x − 4)² + 7
  2. f(x) = (x − 2)² − 3
  3. f(x) = (x + 2)² + 3
  4. f(x) = (x − 2)² + 3 Correct answer.

Explanation

Quadratische Ergänzung liefert f(x) = (x² − 4x + 4) + 3 = (x − 2)² + 3. Der Scheitelpunkt liegt damit bei (2 | 3).

Question 20Analysis

Gegeben ist f(x) = ln(x) für x > 0. Welche Aussage über die Ableitung ist korrekt?

  1. f′(x) = x für alle x > 0
  2. f′(x) = e^x
  3. f′(x) = 1/x für alle x > 0 Correct answer.
  4. f′(x) = ln(x)/x

Explanation

Die natürliche Logarithmusfunktion hat die Ableitung 1/x. Da der Definitionsbereich x > 0 ist, ist der Nenner stets positiv und die Ableitung wohldefiniert.

Question 21Analysis

Eine Funktion f hat die Ableitung f′(x) = x²·(x − 2). An welcher Stelle wechselt f′ das Vorzeichen?

  1. An keiner Stelle
  2. Nur bei x = 0
  3. Bei x = 0 und x = 2
  4. Nur bei x = 2 Correct answer.

Explanation

Der Faktor x² ist stets nicht negativ und wechselt bei x = 0 das Vorzeichen nicht. Der Faktor (x − 2) wechselt bei x = 2 von negativ nach positiv, sodass nur dort ein Vorzeichenwechsel von f′ stattfindet.

Question 22Analysis

Die Funktion f(x) = x⁴ − 4x² hat kritische Stellen bei x = 0 und x = ±√2. Welche Art von Extremstelle liegt bei x = 0 vor?

  1. Ein lokales Maximum Correct answer.
  2. Ein Sattelpunkt
  3. Ein lokales Minimum
  4. Eine Polstelle

Explanation

Es gilt f″(x) = 12x² − 8, also f″(0) = −8 < 0. Die negative zweite Ableitung kennzeichnet bei x = 0 ein lokales Maximum; der Funktionswert ist dort 0.

Question 23Analysis

Berechne ∫₀^π sin(x) dx.

  1. 2 Correct answer.
  2. π
  3. 0
  4. 1

Explanation

Die Stammfunktion von sin(x) ist −cos(x). Einsetzen ergibt −cos(π) − (−cos(0)) = 1 + 1 = 2. Der Wert 2 entspricht der Fläche der positiven Halbwelle des Sinus.

Question 24Analysis

Die Funktion f(x) = x·e^(−x) ist für x ≥ 0 definiert. Wie verhält sich f für x → +∞?

  1. f(x) → 0, und zwar von positiver Seite. Correct answer.
  2. f(x) → 1.
  3. f(x) → −∞.
  4. f(x) → +∞.

Explanation

Für große x wächst e^(−x) schneller gegen 0, als x wächst, sodass das Produkt gegen 0 strebt. Da beide Faktoren für x > 0 positiv sind, nähert sich f der x-Achse von oben.

Question 25Analysis

Die Graphen von f(x) = x² und g(x) = 4 schließen eine Fläche ein. Berechne deren Inhalt.

  1. 16/3
  2. 32/3 Correct answer.
  3. 8
  4. 64/3

Explanation

Die Schnittstellen sind x = ±2, da x² = 4 dort gilt. Die Fläche berechnet sich als ∫₋₂² (4 − x²) dx mit Stammfunktion 4x − x³/3. Einsetzen ergibt (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 32/3.

Question 26Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x − 1)² + 3. Welche Koordinaten hat der Scheitelpunkt des Graphen von f?

  1. S(−1 | 3)
  2. S(1 | −3)
  3. S(3 | 1)
  4. S(1 | 3) Correct answer.

Explanation

In der Scheitelpunktform f(x) = a·(x − d)² + e liest man den Scheitelpunkt direkt als S(d | e) ab. Hier ist d = 1 und e = 3, also liegt der Scheitel bei S(1 | 3).

Question 27Analysis

Welchen Wert hat der Grenzwert lim(x→0) (sin(x))/x?

  1. Der Grenzwert existiert nicht.
  2. 0
  3. 1 Correct answer.
  4. ∞

Explanation

Für kleine x gilt sin(x) ≈ x, sodass der Quotient gegen 1 strebt. Dieser Standardgrenzwert folgt auch aus der Ableitung des Sinus an der Stelle 0, denn sin′(0) = cos(0) = 1.

Question 28Analysis

Die Funktion f hat die Ableitung f′(x) = (x − 2)²·(x + 1). An welcher Stelle besitzt der Graph von f eine Extremstelle?

  1. Bei keiner der genannten Stellen
  2. Bei x = −1 Correct answer.
  3. Bei x = 2
  4. Bei x = −1 und x = 2

Explanation

Extremstellen von f liegen dort, wo f′ das Vorzeichen wechselt. Der Faktor (x − 2)² ist stets nichtnegativ und bewirkt keinen Vorzeichenwechsel, der Faktor (x + 1) wechselt bei x = −1 das Vorzeichen.

Question 29Analysis

Welche Stammfunktion F gehört zu f(x) = 3x² + 2x?

  1. F(x) = 3x³ + x² + C
  2. F(x) = x³ + x² + C Correct answer.
  3. F(x) = x³ + 2x² + C
  4. F(x) = 6x + 2 + C

Explanation

Beim Integrieren erhöht sich der Exponent um eins und der alte Exponent wird zum Divisor: ∫3x² dx = x³ und ∫2x dx = x². Die Integrationskonstante C muss stets ergänzt werden.

Question 30Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 2·e^(−x) + 1. Wie verhält sich f(x) für x → +∞?

  1. f(x) → 1 Correct answer.
  2. f(x) → −∞
  3. f(x) → 3
  4. f(x) → 0

Explanation

Der Term e^(−x) strebt für x → +∞ gegen 0, also verschwindet 2·e^(−x) und es bleibt der Summand 1 als Grenzwert. Der Graph nähert sich der waagerechten Asymptote y = 1.

Question 31Analysis

Eine Funktion f ist auf ganz ℝ definiert und es gilt f′(x) > 0 für alle x. Welche Aussage über f ist dann zwingend richtig?

  1. Der Graph von f ist eine Gerade.
  2. f besitzt mindestens eine Extremstelle.
  3. f ist streng monoton wachsend. Correct answer.
  4. f ist streng monoton fallend.

Explanation

Eine durchgehend positive Ableitung bedeutet, dass die Steigung überall positiv ist; daraus folgt die strenge Monotonie der Funktion. Über die konkrete Gestalt des Graphen sagt das Vorzeichen der Ableitung allein nichts aus.

Question 32Analysis

Berechne den Wert des bestimmten Integrals ∫₀² (3x²) dx.

  1. 6
  2. 8 Correct answer.
  3. 4
  4. 12

Explanation

Eine Stammfunktion von 3x² ist x³. Damit gilt ∫₀² 3x² dx = [x³]₀² = 2³ − 0³ = 8.

Question 33Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x hat die Ableitung f′(x) = 3x² − 3. Welche Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P(1 | −2) ist korrekt?

  1. y = 3x − 5
  2. y = −2 Correct answer.
  3. y = −3x + 1
  4. y = x − 3

Explanation

Es gilt f′(1) = 3 − 3 = 0, die Tangente ist also waagerecht. Da sie durch P(1 | −2) verläuft, lautet ihre Gleichung y = −2.

Question 34Analysis

Für eine Funktion f gilt: f(2) = 0, f(5) = 0 und f(x) > 0 für alle x zwischen 2 und 5. Welche Aussage über die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [2, 5] ist korrekt?

  1. Ihr Inhalt ist ∫₂⁵ f(x) dx. Correct answer.
  2. Ihr Inhalt ist null, weil f an beiden Rändern verschwindet.
  3. Ihr Inhalt ist ∫₂⁵ |f(x)| dx, was hier kleiner als ∫₂⁵ f(x) dx ist.
  4. Ihr Inhalt ist ∫₀⁵ f(x) dx − ∫₀² f(x) dx, was hier negativ ist.

Explanation

Da f im gesamten Intervall positiv ist, stimmt der Flächeninhalt mit dem Integral überein; Betragsstriche ändern hier nichts. Dass f an den Rändern null ist, macht die Fläche keineswegs zu null.

Question 35Analysis

Gegeben ist f(x) = (x + 3)/(x − 1). Welche Gleichung beschreibt die senkrechte Asymptote des Graphen von f?

  1. y = 1
  2. x = 1 Correct answer.
  3. y = −3
  4. x = −3

Explanation

Eine senkrechte Asymptote entsteht dort, wo der Nenner null wird und der Zähler nicht zugleich null ist. Der Nenner x − 1 verschwindet bei x = 1, der Zähler ist dort 4 ≠ 0.

Question 36Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x⁴ − 2x² besitzt die zweite Ableitung f″(x) = 12x² − 4. An welchen Stellen liegen Wendestellen von f?

  1. Bei x = 0
  2. Bei x = ±1
  3. Bei x = ±1/√3 Correct answer.
  4. Bei x = ±√2

Explanation

Wendestellen erfordern f″(x) = 0 mit Vorzeichenwechsel. Aus 12x² − 4 = 0 folgt x² = 1/3, also x = ±1/√3; dort wechselt f″ tatsächlich das Vorzeichen.

Question 37Analysis

Welche Ableitung gehört zur Funktion f(x) = ln(3x) für x > 0?

  1. f′(x) = 3/x
  2. f′(x) = ln(3) + 1/x
  3. f′(x) = 1/x Correct answer.
  4. f′(x) = 1/(3x)

Explanation

Mit der Kettenregel gilt f′(x) = 1/(3x) · 3 = 1/x. Anschaulich ist ln(3x) = ln(3) + ln(x), und die Konstante ln(3) fällt beim Ableiten weg.

Question 38Analysis

Eine Bakterienkultur wächst exponentiell. Zu Beginn sind es 500 Bakterien, nach 4 Stunden bereits 2000. Welche Funktionsgleichung beschreibt die Anzahl N(t) nach t Stunden?

  1. N(t) = 500·2^(t/4) Correct answer.
  2. N(t) = 2000·2^(t/4)
  3. N(t) = 500·2^(4t)
  4. N(t) = 500·4^t

Explanation

Der Startwert 500 ist der Faktor vor der Potenz. In 4 Stunden vervierfacht sich der Bestand, also verdoppelt er sich alle 2 Stunden; die Verdopplungszeit 2 ergibt den Exponenten t/4 bei Basis 2, denn 2^(4/4) = 2 und 500·2² = 2000.

Question 39Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x·e^x besitzt die Ableitung f′(x) = (x + 1)·e^x. An welcher Stelle hat der Graph von f eine waagerechte Tangente?

  1. Bei x = −1 Correct answer.
  2. Bei x = −1 und x = 0
  3. Bei x = 1
  4. Bei x = 0

Explanation

Eine waagerechte Tangente liegt vor, wenn f′(x) = 0 gilt. Da e^x nie null wird, muss x + 1 = 0 sein, also x = −1.

Question 40Analysis

Der Graph einer Funktion f verläuft durch den Punkt P(2 | 5) und hat dort die Steigung −3. Welchen Wert hat die Ableitung der Umkehrfunktion f⁻¹ an der Stelle 5?

  1. 3
  2. 1/3
  3. −3
  4. −1/3 Correct answer.

Explanation

Für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt (f⁻¹)′(y₀) = 1/f′(x₀) mit y₀ = f(x₀). Mit f′(2) = −3 folgt (f⁻¹)′(5) = 1/(−3) = −1/3.

Question 41Analysis

Welche Aussage über die Funktion f mit f(x) = cos(x) an der Stelle x = 0 ist korrekt?

  1. f hat dort einen Wendepunkt, weil f″(0) = 0 gilt.
  2. f hat dort keine kritische Stelle, weil f′(0) = 1 gilt.
  3. f hat dort ein lokales Minimum, weil f′(0) = 0 und f″(0) = 1 gilt.
  4. f hat dort ein lokales Maximum, weil f′(0) = 0 und f″(0) = −1 gilt. Correct answer.

Explanation

Es gilt f′(x) = −sin(x), also f′(0) = 0, und f″(x) = −cos(x), also f″(0) = −1 < 0. Eine negative zweite Ableitung an einer kritischen Stelle kennzeichnet ein lokales Maximum.

Question 42Analysis

Berechne ∫₁⁴ (2x + 1) dx.

  1. 15
  2. 12
  3. 21
  4. 18 Correct answer.

Explanation

Eine Stammfunktion ist x² + x. Damit ergibt sich [x² + x]₁⁴ = (16 + 4) − (1 + 1) = 20 − 2 = 18.

Question 43Analysis

Eine Funktion f ist auf ℝ definiert und es gilt f(−x) = −f(x) für alle x. Welche Symmetrie besitzt der Graph von f?

  1. Keine Symmetrie
  2. Punktsymmetrie zum Ursprung Correct answer.
  3. Achsensymmetrie zur y-Achse
  4. Achsensymmetrie zur Geraden x = 1

Explanation

Die Bedingung f(−x) = −f(x) bedeutet, dass zu jedem Punkt (x | y) auch (−x | −y) auf dem Graphen liegt. Genau das ist die Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.

Question 44Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x² − 4x + 1 soll auf dem Intervall [0, 5] untersucht werden. Wo liegt das globale Minimum von f auf diesem Intervall?

  1. Bei x = 4
  2. Bei x = 0
  3. Bei x = 2 Correct answer.
  4. Bei x = 5

Explanation

Der Scheitel liegt bei x = 2, und dieser Wert liegt im Intervall [0, 5]. Wegen f(2) = −3, f(0) = 1 und f(5) = 6 ist −3 der kleinste Funktionswert auf dem Intervall.

Question 45Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ + ax. Für welchen Wert von a hat der Graph von f an der Stelle x = 2 eine waagerechte Tangente?

  1. a = −12 Correct answer.
  2. a = −4
  3. a = 12
  4. a = 4

Explanation

Es gilt f′(x) = 3x² + a. Die Bedingung f′(2) = 0 liefert 12 + a = 0, also a = −12.

Question 46Analysis

Die Funktion f mit f(x) = e^(x²) wird betrachtet. Welche Ableitung ist korrekt?

  1. f′(x) = e^(x²)
  2. f′(x) = 2x·e^(x²) Correct answer.
  3. f′(x) = x²·e^(x²)
  4. f′(x) = 2x·e^(2x)

Explanation

Die Kettenregel verlangt, die äußere Ableitung e^(x²) mit der inneren Ableitung 2x zu multiplizieren. Damit ergibt sich f′(x) = 2x·e^(x²).

Question 47Analysis

Der Graph von f(x) = x² schließt mit der Geraden y = 2x eine Fläche ein. Wie groß ist deren Inhalt?

  1. 8/3
  2. 2/3
  3. 4/3 Correct answer.
  4. 2

Explanation

Die Schnittstellen ergeben sich aus x² = 2x, also x = 0 und x = 2. Damit ist der Inhalt ∫₀² (2x − x²) dx = [x² − x³/3]₀² = 4 − 8/3 = 4/3.

Question 48Analysis

Eine Funktion f erfüllt die Differentialgleichung f′(x) = 2·f(x) mit der Anfangsbedingung f(0) = 5. Welche Funktion ist f?

  1. f(x) = 2·e^(5x)
  2. f(x) = 5·e^(2x) Correct answer.
  3. f(x) = 5 + 2x
  4. f(x) = 5·e^(x/2)

Explanation

Lösungen von f′ = k·f haben die Form f(x) = C·e^(kx) mit k = 2. Die Anfangsbedingung f(0) = C = 5 legt C fest, also f(x) = 5·e^(2x).

Question 49Analysis

Welche der folgenden Funktionen hat an der Stelle x = 0 eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel?

  1. k(x) = x⁴
  2. m(x) = (x − 1)²
  3. g(x) = x³ Correct answer.
  4. h(x) = x²

Explanation

Bei g(x) = x³ ist g(0) = 0, und für x < 0 ist g negativ, für x > 0 positiv; die Funktion wechselt also das Vorzeichen. Bei geraden Potenzen berührt der Graph die x-Achse nur.

Question 50Analysis

Die Funktion f mit f(x) = 1/x ist für x > 0 definiert. Welche Aussage über die Stammfunktion F mit F(x) = ln(x) ist korrekt?

  1. F ist keine Stammfunktion, weil ln(0) nicht definiert ist.
  2. F′(x) = 1/x für alle x > 0. Correct answer.
  3. F′(x) = −1/x² für alle x > 0.
  4. F′(x) = 1/x nur für x > 1.

Explanation

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist 1/x, und zwar für jedes x > 0. Damit ist ln(x) auf dem gesamten Definitionsbereich eine Stammfunktion von 1/x.