Berlin Abitur Math 3. PF (GK) cheat sheet

Ableitungsregeln: Potenz (x^n)' = n·x^(n-1); Produkt (u·v)' = u'v + uv'; Quotient (u/v)' = (u'v − uv')/v²; Kette f(g(x))' = f'(g(x))·g'(x).

e-Funktion: (e^x)' = e^x; (e^(kx))' = k·e^(kx). ln: (ln x)' = 1/x für x > 0; (ln(g(x)))' = g'(x)/g(x).

Notwendige Bedingung für Extremstelle: f'(x) = 0. Hinreichend: f''(x) < 0 → Hochpunkt, f''(x) > 0 → Tiefpunkt; bei f''(x) = 0 Vorzeichenwechsel von f' prüfen.

Wendepunkt: f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0. Krümmungsverhalten: f''(x) > 0 linksgekrümmt (konvex), f''(x) < 0 rechtsgekrümmt (konkav).

Hauptsatz: ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) mit F' = f. Fläche zwischen Graph und x-Achse: Beträge der Teilintegrale über Nullstellen addieren.

Fläche zwischen zwei Graphen: ∫_a^b (f(x) − g(x)) dx über die Schnittstellen als Grenzen; obere minus untere Funktion im jeweiligen Intervall.

Substitution: ∫ f(g(x))·g'(x) dx = F(g(x)); Grenzen mitsubstituieren. Partiell: ∫ u'v = uv − ∫ uv'.

Tangentengleichung in x₀: y = f'(x₀)·(x − x₀) + f(x₀). Normale: Steigung −1/f'(x₀), falls f'(x₀) ≠ 0.

Grenzwerte/Asymptoten: Verhalten für x → ±∞ über höchste Potenzen bzw. e-Funktion; senkrechte Asymptote bei Polstelle des Nenners ohne Kürzung.

Skalarprodukt: a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Orthogonal ⇔ a⃗·b⃗ = 0. Betrag |a⃗| = √(a⃗·a⃗).

Winkel zwischen Vektoren: cos φ = (a⃗·b⃗)/(|a⃗|·|b⃗|). Schnittwinkel zweier Geraden über ihre Richtungsvektoren.

Kreuzprodukt a⃗×b⃗ liefert Normalenvektor; |a⃗×b⃗| = Fläche des aufgespannten Parallelogramms. Spatprodukt (a⃗×b⃗)·c⃗ = Volumen.

Gerade: g: x⃗ = a⃗ + t·u⃗. Ebene in Parameterform x⃗ = a⃗ + s·u⃗ + t·v⃗; in Normalenform n⃗·(x⃗ − a⃗) = 0; Koordinatenform n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d.

Lage Gerade–Ebene: u⃗·n⃗ ≠ 0 → genau ein Schnittpunkt; u⃗·n⃗ = 0 und a⃗ in Ebene → Gerade liegt in E; sonst parallel ohne Schnitt.

Abstand Punkt–Ebene (Normalenform): d = |n⃗·(p⃗ − a⃗)|/|n⃗|. In Koordinatenform: d = |n₁p₁ + n₂p₂ + n₃p₃ − d₀|/|n⃗|.

Abstand windschiefer Geraden: d = |(a₂⃗ − a₁⃗)·(u⃗×v⃗)|/|u⃗×v⃗|; Lotfußpunkt über gemeinsame Senkrechte bestimmen.

Lineare Gleichungssysteme: Gauss-Verfahren auf erweiterter Matrix; Lösbarkeit an Rang ablesen (eindeutig, unendlich viele, keine Lösung).

Matrix als Abbildung: A·x⃗; Bildvektoren sind Spalten von A. Inverse A⁻¹ existiert ⇔ det A ≠ 0; det A = 0 bedeutet lineare Abhängigkeit der Spalten.

Laplace: P(A) = |A|/|Ω|. Gegenereignis: P(Ā) = 1 − P(A). Additionssatz: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).

Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A∩B)/P(B). Unabhängigkeit ⇔ P(A∩B) = P(A)·P(B).

Satz von Bayes: P(A|B) = P(B|A)·P(A)/P(B); P(B) über totale Wahrscheinlichkeit mit den Fällen von A berechnen.

Bernoulli-Kette: P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k). Erwartungswert μ = n·p, Varianz σ² = n·p·(1−p), σ = √(n·p·(1−p)).

Mindestens-Aufgaben: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1−p)^n. Kumulierte Werte aus Tabelle oder Summe einzelner Wahrscheinlichkeiten.

Sigma-Regeln (Näherung): P(μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 68,3 %, P(μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 95,4 %, P(μ − 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) ≈ 99,7 %.

Einseitiger Signifikanztest rechts: H₀: p ≤ p₀, H₁: p > p₀; kritischer Bereich {X ≥ k} mit P(X ≥ k) ≤ α unter p₀; Fehler 1. Art = α.

Fehler 2. Art: H₀ wird nicht verworfen, obwohl H₁ gilt; Wahrscheinlichkeit mit dem wahren p aus H₁ berechnen.

Vierfeldertafel: Randwahrscheinlichkeiten und gemeinsame Wahrscheinlichkeiten eintragen; Zeilen-/Spaltensummen liefern bedingte Wahrscheinlichkeiten direkt.