Gewinnfunktion mit Lagerkapazität: Randmaximum statt Ableitungsnullstelle
Ein mittelständischer Betrieb stellt Pflanzkästen aus recyceltem Kunststoff her. Die Gewinnfunktion G mit G(x) = −x³ + 18x² − 60x − 40 beschreibt den Gewinn in Tausend Euro in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x in Hundert Kästen. Wegen begrenzter Lagerfläche können höchstens 800 Kästen pro Woche gefertigt werden; außerdem gilt x ≥ 0. Der Vertrieb hat ausgerechnet, dass G′(2) = 0 und G′(10) = 0 gilt, und schlägt vor, sofort die Menge x = 10 anzusteuern. Der Geschäftsführer ist unsicher, weil diese Menge gar nicht produziert werden kann. In der Betriebsversammlung wird zusätzlich behauptet, eine Erweiterung der Lagerfläche auf 1000 Kästen würde den Gewinn auf 160 Tausend Euro steigern. Die Geschäftsleitung rechnet mit Kosten von 45 Tausend Euro für den Umbau und möchte eine belastbare Entscheidungsgrundlage, nicht nur eine Zahl.
1. Bestimme die gewinnmaximale Produktionsmenge im zulässigen Bereich 0 ≤ x ≤ 8. Erkläre dabei, warum die Nullstelle x = 10 der Ableitung für die Antwort nicht verwendbar ist.
Read the worked answer
G′(x) = −3x² + 36x − 60 = −3·(x² − 12x + 20) = −3·(x − 2)·(x − 10). Vorzeichen auf [0;8]: Für 0 ≤ x < 2 sind beide Klammern negativ, das Produkt positiv, wegen des Faktors −3 ist G′ negativ. Für 2 < x ≤ 8 ist (x − 2) > 0 und (x − 10) < 0, also G′ positiv. Also fällt G auf [0;2] und steigt auf [2;8]. Damit ist x = 2 ein lokales Minimum (G(2) = −96) und das Maximum liegt am Rand: G(0) = −40 und G(8) = −512 + 1152 − 480 − 40 = 120. Gewinnmaximum im zulässigen Bereich: x = 8, also 800 Kästen, mit 120 Tausend Euro Gewinn. x = 10 ist zwar eine Nullstelle von G′ (dort liegt mit G(10) = 160 das globale Maximum der Funktion), liegt aber außerhalb des Definitionsbereichs. Ein Hochpunkt, den man nicht produzieren darf, ist keine zulässige Lösung; die Ableitung allein beantwortet die Frage nicht – erst der Randvergleich von G(0) und G(8) liefert das Ergebnis.
2. Interpretiere G′(8) = 36 im Sachkontext und beurteile damit die geplante Lagererweiterung.
Read the worked answer
G′(8) = −3·64 + 36·8 − 60 = −192 + 288 − 60 = 36. Interpretation: Bei einer Produktion von 800 Kästen steigt der Gewinn um etwa 36 Tausend Euro, wenn man die Menge um eine Einheit von x, also um 100 Kästen, erhöht. Pro Kasten sind das rund 360 € Grenzgewinn. Der Gewinn ist an der Kapazitätsgrenze also noch steigend – das Maximum liegt nicht bei 800, sondern wäre erst bei 1000 erreicht. Beurteilung des Umbaus: Der Zugewinn von x = 8 zu x = 10 beträgt G(10) − G(8) = 160 − 120 = 40 Tausend Euro. Er ist damit kleiner als die Umbaukosten von 45 Tausend Euro; die Erweiterung lohnt sich unter den genannten Annahmen nicht. Wichtig für die Argumentation: Aus G′(8) = 36 folgt nicht, dass 200 zusätzliche Kästen 72 Tausend Euro bringen. Die Ableitung beschreibt nur die lokale Änderungsrate; weil G′ ab x = 8 sinkt und bei x = 10 null wird, ist der tatsächliche Zuwachs deutlich kleiner als die lineare Fortschreibung. Wer hier mit der Tangentensteigung hochrechnet, überschätzt den Nutzen des Umbaus.
3. Erkläre, was die Stelle x = 2 mit G(2) = −96 ökonomisch bedeutet, und begründe, warum sie trotz G′(2) = 0 nicht als Gewinnmaximum infrage kommt.
Read the worked answer
G(2) = −8 + 72 − 120 − 40 = −96, das heißt: Bei einer Produktion von 200 Kästen entsteht ein Verlust von 96 Tausend Euro. Überprüfung der Art des Extremums: G″(x) = −6x + 36, also G″(2) = 24 > 0. Es handelt sich um ein lokales Minimum – die Gewinnkurve geht hier von fallend auf steigend über. Ökonomische Deutung: Bei kleiner Stückzahl drücken die Fixkosten (in G(0) = −40 sichtbar) und die anfangs hohen Stückkosten den Gewinn; erst ab einer gewissen Auslastung verdient der Betrieb. x = 2 markiert das Betriebsminimum, also die Stelle des größten Verlusts innerhalb des unteren Bereichs – wer dort produziert, macht denkbar schlechte Geschäfte. Warum kein Gewinnmaximum: Ein Maximum verlangt einen Vorzeichenwechsel von G′ von + nach −, hier liegt der umgekehrte Wechsel vor. Zudem ist G(2) = −96 negativ; selbst wenn man nur den Betrag betrachtet, wäre ein Verlust kein Gewinnmaximum. Der Fehlschluss entsteht, wenn man „Ableitung null“ mit „Maximum“ gleichsetzt, ohne das Vorzeichen von G′ oder G″ zu prüfen.