Zwei Drohnenbahnen: Schnittpunkt ist keine Kollision
Zwei Lieferdrohnen fliegen in einem Testgebiet auf geradlinigen Bahnen. Die Position von Drohne A zum Zeitpunkt t wird durch a(t) = (2|0|1) + t·(1|2|1) beschrieben, die von Drohne B durch b(t) = (1|6|10) + t·(2|0|−3). Beide Gleichungen verwenden dieselbe Zeit t in Minuten seit dem Start; die Koordinaten sind in Einheiten von 10 m angegeben, wobei die z-Koordinate die Flughöhe ist. Beobachtet wird der Zeitraum 0 ≤ t ≤ 5. Die Flugaufsicht prüft zwei Dinge: ob sich die Flugbahnen kreuzen und ob der vorgeschriebene Mindestabstand von 30 m jederzeit eingehalten wird. Ein Techniker hat bereits den gemeinsamen Punkt P(5|6|4) der beiden Bahnen berechnet und daraus geschlossen, dass eine Kollision nur durch eine Änderung der Flugpläne verhindert werden kann. Die Aufsicht möchte diese Schlussfolgerung überprüft haben, bevor sie den Testbetrieb freigibt.
1. Zeige, dass sich die beiden Bahnen im Punkt P(5|6|4) schneiden, und prüfe, ob es dort zu einer Kollision kommt.
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Für Drohne A: 2 + t = 5, 0 + 2t = 6, 1 + t = 4. Alle drei Gleichungen liefern t = 3, also ist P ein Punkt der Bahn von A, erreicht nach 3 Minuten. Für Drohne B: 1 + 2t = 5, 6 = 6, 10 − 3t = 4. Die erste und die dritte Gleichung liefern t = 2, die zweite ist für jedes t erfüllt. Also liegt P auch auf der Bahn von B, wird aber nach 2 Minuten erreicht. Die Richtungsvektoren (1|2|1) und (2|0|−3) sind nicht Vielfache voneinander (die y-Komponente müsste sonst 2 = 0·k erfüllen), die Bahnen sind also nicht parallel und schneiden sich in genau einem Punkt, nämlich P. Kollisionsprüfung: Eine Kollision verlangt, dass beide Drohnen zur gleichen Zeit am gleichen Ort sind. Bei t = 3 ist A in P, B dagegen bei (7|6|1); bei t = 2 ist B in P, A dagegen bei (4|4|3). Die Drohnen passieren P also mit einer Minute Zeitversatz. Ergebnis: Die Bahnen kreuzen sich, es kommt aber nicht zur Kollision. Die Schlussfolgerung des Technikers ist falsch, weil er den Schnittpunkt der Bahnen mit einem gemeinsamen Zeitpunkt verwechselt hat – ein typischer Fehler, wenn der Parameter als reine Streckenkoordinate statt als Zeit gelesen wird.
2. Bestimme den Zeitpunkt, zu dem sich die beiden Drohnen am nächsten kommen, und entscheide, ob der Mindestabstand von 30 m unterschritten wird.
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Abstandsvektor: a(t) − b(t) = (2 + t − (1 + 2t) | 2t − 6 | 1 + t − (10 − 3t)) = (1 − t | 2t − 6 | 4t − 9). Quadrat des Abstands: d²(t) = (1 − t)² + (2t − 6)² + (4t − 9)² = (1 − 2t + t²) + (4t² − 24t + 36) + (16t² − 72t + 81) = 21t² − 98t + 118. Das ist eine nach oben geöffnete Parabel; ihr Minimum liegt im Scheitelpunkt bei t = 98/(2·21) = 7/3 ≈ 2,33 Minuten. Einsetzen: d²(7/3) = 21·(49/9) − 98·(7/3) + 118 = 114,33 − 228,67 + 118 = 3,67, also d ≈ 1,91 Einheiten. Eine Einheit entspricht 10 m, der geringste Abstand beträgt also rund 19 m und liegt damit deutlich unter den vorgeschriebenen 30 m. Entscheidung: Der Mindestabstand wird unterschritten, obwohl es keine Kollision gibt. Für die Freigabe reicht der Nachweis fehlender Schnittpunkte nicht aus; der Flugplan muss geändert werden (z. B. Startzeit oder Höhe von B anpassen). Das Ergebnis zeigt, dass „keine Kollision“ und „sicher“ zwei verschiedene Aussagen sind.
3. Die Aufsicht verlangt, dass Drohne B bei gleicher Flugrichtung den Punkt P gleichzeitig mit Drohne A erreicht. Bestimme den dafür nötigen Richtungsvektor und beurteile, ob diese Lösung praktisch sinnvoll ist.
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Drohne A ist bei t = 3 in P. B startet bei (1|6|10) und muss P(5|6|4) in 3 Minuten erreichen. Verschiebung: (5|6|4) − (1|6|10) = (4|0|−6). Der neue Richtungsvektor pro Minute ist also (4/3|0|−2). Probe: (1|6|10) + 3·(4/3|0|−2) = (1 + 4|6|10 − 6) = (5|6|4) ✓. Geschwindigkeitsvergleich: Der alte Richtungsvektor (2|0|−3) hat den Betrag √13 ≈ 3,61 Einheiten pro Minute, der neue (4/3|0|−2) hat den Betrag √(16/9 + 4) = √(52/9) ≈ 2,40 Einheiten pro Minute. Beurteilung: B müsste auf etwa zwei Drittel seiner Geschwindigkeit abbremsen, um gleichzeitig mit A in P zu sein. Das ist technisch möglich, aber keine gute Lösung, denn eine Kollision in P wäre die Folge – der gemeinsame Punkt ist ja gerade der Treffpunkt. Sinnvoller wäre, den Zeitversatz zu vergrößern oder B auf eine andere Höhe zu legen. Die Rechnung zeigt außerdem, dass „gleiche Richtung, andere Geschwindigkeit“ zwar den Schnittpunkt erhält, aber das Sicherheitsproblem verschärft statt löst.