Ausschussquote nach Maschinenumbau: Signifikanz richtig lesen
Ein Zulieferer produziert Ventilkappen. Bisher liegt die Ausschussquote bei 4 %. Nach dem Einbau einer neuen Spritzgussmaschine entnimmt die Qualitätssicherung aus einer Tagesproduktion von 2400 Teilen eine Stichprobe von 200 Teilen und findet 14 fehlerhafte Teile. Geprüft werden soll, ob sich die Ausschussquote erhöht hat, mit dem Signifikanzniveau 5 %; die Hypothesen lauten H0: p ≤ 0,04 und H1: p > 0,04. Eine Mitarbeiterin will mit der Normalapproximation arbeiten, weil die vorliegenden Tabellen nur bis n = 100 reichen; unter H0 gilt ein Erwartungswert von 8 und eine Standardabweichung von etwa 2,77. Ein Kollege entgegnet, 14 sei fast doppelt so viel wie 8 und das Ergebnis deshalb „auf jeden Fall signifikant“. Der Werksleiter möchte außerdem wissen, ob er die neue Maschine stilllegen muss, und ob die Stichprobe überhaupt als binomialverteilt angesehen werden darf.
1. Führe den Test mit der Normalapproximation durch und formuliere die Entscheidung im Sachkontext.
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Unter H0: μ = 200·0,04 = 8 und σ = √(200·0,04·0,96) = √7,68 ≈ 2,77. Kritischer Bereich bei α = 5 % (einseitig): Ablehnung, wenn X ≥ μ + 1,64·σ = 8 + 4,54 = 12,54, also ab 13 fehlerhaften Teilen (mit Stetigkeitskorrektur vergleicht man 13,5 mit 12,54 – die Entscheidung bleibt gleich). Beobachtet: 14 > 12,54, also wird H0 verworfen. Zum Vergleich der p-Wert: z = (13,5 − 8)/2,77 ≈ 1,99, das ergibt eine Überschreitungswahrscheinlichkeit von etwa 2,3 % < 5 %. Sachkontext: Auf dem 5-%-Niveau gibt es signifikante Hinweise darauf, dass die Ausschussquote nach dem Umbau über 4 % liegt. Die Entscheidung ist aber eine statistische, keine technische: Das Ergebnis schließt eine Quote von 4 % nicht sicher aus, sondern zeigt, dass die Beobachtung unter H0 ziemlich unwahrscheinlich wäre. Für eine Stilllegung reicht das nicht; sinnvoll wären eine größere Stichprobe oder eine zweite Messreihe an einem anderen Tag.
2. Beurteile die Aussage des Kollegen und erläutere, was die Entscheidung über die tatsächliche Ausschussquote aussagt.
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Die Aussage „fast doppelt so viel wie 8, also auf jeden Fall signifikant“ ist kein zulässiges Kriterium. Maßgeblich ist nicht der absolute Abstand zum Erwartungswert, sondern der Abstand in Einheiten der Standardabweichung – bei größerem n wäre derselbe Abstand viel bedeutsamer, bei kleinerem n gar nicht. Hier liegt z ≈ 1,99 und damit nur knapp über der 5-%-Schwelle von 1,64. Bei α = 1 % wäre der kritische Wert 8 + 2,33·2,77 ≈ 14,45, die Beobachtung 14 läge darunter und H0 würde nicht verworfen. Das Ergebnis ist also schwellennah und nicht „auf jeden Fall“ signifikant; die Wortwahl verwechselt Signifikanz mit Deutlichkeit. Zur tatsächlichen Quote: 14/200 = 7 % ist nur eine Punktschätzung mit erheblicher Unsicherheit (die Standardabweichung des Schätzers beträgt bei p = 0,07 etwa 1,8 Prozentpunkte). Der Test zeigt lediglich, dass Werte von p deutlich über 4 % mit den Daten vereinbar sind, er liefert keinen Beweis für einen bestimmten Wert. Außerdem: Wird H0 verworfen, obwohl sie richtig ist, liegt ein Fehler 1. Art vor – dafür ist eine Wahrscheinlichkeit von bis zu 5 % zugelassen. Die Formulierung „damit ist bewiesen, dass die Maschine schlechter ist“ ist deshalb unzulässig.
3. Beurteile, ob das Binomialmodell hier angemessen ist, und erläutere die Folge für die Testentscheidung.
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Das Binomialmodell unterstellt (a) konstantes p für jedes Teil, (b) Unabhängigkeit der Teile und (c) eine feste Anzahl von Versuchen. Punkt (b) ist verletzt: Die 200 Teile werden ohne Zurücklegen aus 2400 Teilen entnommen, die richtige Verteilung ist die hypergeometrische. Da der Auswahlanteil 200/2400 ≈ 8,3 % beträgt und damit über der üblichen Faustregel von 5 % liegt, ist die Binomialverteilung nur eine Näherung. Folge: Die hypergeometrische Verteilung hat eine kleinere Varianz. Der Korrekturfaktor ist √((2400 − 200)/(2400 − 1)) ≈ 0,957, die Standardabweichung sinkt also von 2,77 auf etwa 2,65. Der kritische Wert wird damit etwas kleiner (8 + 1,64·2,65 ≈ 12,3), die Ablehnung bei 14 bleibt bestehen – die Entscheidung ändert sich qualitativ nicht, der p-Wert verschiebt sich aber leicht. Schwerer wiegt Punkt (a): Teile aus derselben Schicht und derselben Maschine können systematisch fehlerhaft sein (Werkzeugverschleiß, Temperaturschwankungen). Dann sind die Fehler positiver korreliert, die wirksame Stichprobengröße ist kleiner als 200 und die ausgewiesene Signifikanz wird überschätzt. Die Entscheidung sollte daher als vorläufig gelten.