Analysis (Grundkurs)
Die Analysis ist im Berliner Grundkurs der inhaltsreichste Block: Sie prüft Kurvendiskussionen (ganzrationale Funktionen, e-Funktionen, Funktionenscharen), Ableitungsregeln, Tangenten, Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung sowie Integralrechnung bis zur Flächenberechnung. Im hilfsmittelfreien Teil sind Rechentechniken und Grundvorstellungen ohne GTR/CAS gefragt, im Hilfsmittelteil Modellierung und Interpretation im Sachkontext.
Ableitung und Kurvendiskussion
- Notwendig für eine Extremstelle ist f′(x)=0; hinreichend ist ein Vorzeichenwechsel von f′ oder f″(x)≠0 (f″>0: Minimum, f″<0: Maximum).
- Wendepunkt: f″(x)=0 und f‴(x)≠0; die Wendetangente nutzt die Steigung f′(x_W).
- Kettenregel: (e^{kx})′ = k·e^{kx}; bei x·e^{−x} hilft die Produktregel, der Faktor e^{…} bleibt erhalten.
- Definitionsbereich, Symmetrie und Grenzverhalten (x→±∞) gehören zur Untersuchung, nicht nur der Graph.
Integral und Fläche
- Hauptsatz: ∫_a^b f(x) dx = F(b)−F(a) mit F′=f.
- Fläche zwischen Graph und x-Achse: Nullstellen bestimmen, abschnittsweise integrieren, Beträge der Teilintegrale addieren.
- Fläche zwischen zwei Graphen: ∫(f_oben−f_unten) dx; die Schnittstellen begrenzen das Intervall.
Parameter richtig behandeln
Bei f_a(x)=… ist a eine Konstante: Beim Ableiten nach x bleibt a stehen, beim Lösen von f_a′(x)=0 wird a mitgeschleppt. Typische Zusatzfragen sind die Ortskurve der Extrempunkte oder der Nachweis eines gemeinsamen Punkts aller Schar-Graphen (zwei Parameterwerte gleichsetzen).
Durchgerechnetes Beispiel
Gesucht ist die Fläche, die der Graph von f(x)=−x²+4 mit der x-Achse einschließt. Nullstellen: −x²+4=0 ⇒ x=±2. Stammfunktion F(x)=−x³/3+4x. Damit gilt ∫_{−2}^{2} f dx = F(2)−F(−2) = (−8/3+8) − (8/3−8) = 16/3+16/3 = 32/3 ≈ 10,67. Begründung: f ist auf [−2;2] positiv, das Integral ist also bereits der Flächeninhalt; ein Betrag wäre hier nicht nötig, schadet aber nicht.
Typische Fehlerquellen
- Über eine Nullstelle hinweg integrieren und das Ergebnis „Fläche“ nennen: Ohne Beträge heben sich Anteile auf.
- f″(x)=0 als Wendestelle ausgeben, ohne Vorzeichenwechsel zu prüfen.
- Innere Ableitung beim Aufleiten vergessen: ∫e^{2x} dx = ½e^{2x}+C.
- Parameter a wie eine Variable ableiten oder beim Einsetzen in die Ableitung verwechseln.
- GTR-Werte ungeprüft übernehmen und den Antwortsatz mit Einheit weglassen.