Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Die Lineare Algebra und Analytische Geometrie im Berliner Grundkurs arbeitet im dreidimensionalen Raum: Vektoren, Geraden und Ebenen, ihre Lagebeziehungen, Winkel und Abstände. Typische Aufgaben verlangen Geraden- und Ebenengleichungen aus Sachdaten (Pyramiden, Dächer, Flugbahnen), die Untersuchung von Lagen, Schnittwinkel und Abstände – auch bei Ebenenscharen.
Darstellungen
- Gerade: g: x = a + t·u mit Stützvektor a und Richtungsvektor u.
- Ebene in Parameterform: E: x = a + s·u + t·v; Normalenform: n·(x−a)=0; Koordinatenform: n₁x₁+n₂x₂+n₃x₃=d.
- Normalenvektor: n steht senkrecht auf u und v, also n·u=0 und n·v=0; das LGS (oder das Kreuzprodukt) liefert ihn.
- Umrechnung: Aus der Koordinatenform liest man n direkt ab, d folgt durch Einsetzen eines Ebenenpunkts.
Lagebeziehungen
- Gerade–Gerade: gleichsetzen; genau eine Lösung (Schnitt), keine Lösung (parallel oder windschief – unterscheide über die Richtungsvektoren) oder unendlich viele (identisch).
- Gerade–Ebene: Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen; ein Lösungswert für t ergibt den Durchstoßpunkt, keine Lösung bedeutet parallel (oder in der Ebene liegend, wenn der Stützpunkt die Gleichung erfüllt).
- Ebene–Ebene: Schnittgerade über ein LGS oder über zwei Punkte, die beide Gleichungen erfüllen.
Winkel und Abstände
- Winkel zwischen Vektoren: cos α = |u·v|/(|u|·|v|).
- Winkel zwischen Gerade und Ebene: sin α = |u·n|/(|u|·|n|), weil gegen den Normalenvektor gemessen wird.
- Abstand Punkt–Ebene (Hessesche Normalenform): d = |n·(p−a)|/|n|.
- Abstand windschiefer Geraden: Hilfsebene durch g₁ mit der Richtung von g₂, dann Abstand eines Punkts von g₂ zu dieser Ebene.
Durchgerechnetes Beispiel
Ebene E: 2x₁−x₂+2x₃=6, Punkt P(1|1|1). Normalenvektor n=(2;−1;2), |n|=√(4+1+4)=3. Einsetzen: n·p=2−1+2=3, also |3−6|/3=1, der Abstand beträgt 1 LE. Kontrolle über den Fußpunkt: P′=P−((n·p−d)/|n|²)·n = (1;1;1)+(1/3)(2;−1;2) = (5/3;2/3;5/3); die Punktprobe ergibt 10/3−2/3+10/3=6. ✓
Typische Fehlerquellen
- Kreuzprodukt mit vertauschten Vektoren: alle Vorzeichen drehen sich um.
- Beim Winkel Gerade–Ebene cos statt sin verwenden.
- Betragsstriche im Skalarprodukt weglassen und einen stumpfen Winkel angeben.
- Bei „keine Lösung“ sofort windschief schreiben, ohne die Richtungsvektoren auf Vielfachheit zu prüfen.
- Abstand ohne Division durch |n| berechnen.
- Punktprobe mit dem Stützvektor der falschen Ebene durchführen.