Stochastik
Die Stochastik im Berliner Grundkurs verbindet Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Modellierung: Baumdiagramme und Vierfeldertafeln, bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit, die Binomialverteilung mit Erwartungswert und Standardabweichung sowie das Testen von Hypothesen mit beiden Fehlerarten. Die Kontexte (Qualitätskontrolle, Umfragen, Spamfilter) verlangen fast immer die Interpretation einer Zahl im Sachzusammenhang.
Grundlagen und Baumdiagramme
- Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfads multiplizieren, über verschiedene Pfade addieren.
- Bedingte Wahrscheinlichkeit: P_B(A) = P(A∩B)/P(B) mit P(B)>0.
- Unabhängigkeit: P(A∩B)=P(A)·P(B), äquivalent P_B(A)=P(A). In der Vierfeldertafel stehen Randwahrscheinlichkeiten am Rand, nicht in den Innenfeldern.
Binomialverteilung
- Voraussetzungen: feste Anzahl n unabhängiger Versuche, genau zwei Ergebnisse, konstantes p („mit Zurücklegen“).
- P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1−p)^{n−k}; kumuliert P(X≤k) über Summe, Tabelle oder GTR.
- μ=n·p, σ=√(n·p·(1−p)); die Sigma-Regeln liefern Näherungen: rund 68 % in [μ−σ; μ+σ], 95,4 % in [μ−2σ; μ+2σ].
Hypothesentest
- H₀ behauptet meist p≤p₀ (oder p≥p₀); der Ablehnungsbereich wird so gewählt, dass P(X im Ablehnungsbereich | H₀) ≤ α.
- Fehler 1. Art: H₀ wird verworfen, obwohl sie wahr ist – seine Wahrscheinlichkeit ist höchstens α.
- Fehler 2. Art: H₀ wird nicht verworfen, obwohl sie falsch ist; seine Wahrscheinlichkeit hängt vom tatsächlichen p ab und wird für ein konkretes alternatives p berechnet.
Durchgerechnetes Beispiel
Eine Urne enthält 10 % rote Kugeln; es wird 20-mal mit Zurücklegen gezogen. Gesucht ist P(X≤1). X ist B(20; 0,1). „Höchstens eine“ heißt null oder eine rote Kugel: P(X=0)=0,9²⁰≈0,1216; P(X=1)=20·0,1·0,9¹⁹≈0,2702. Summe: P(X≤1)≈0,3918, also rund 39,2 %. Gegenprobe mit binomcdf(20; 0.1; 1) bestätigt den Wert. Antwortsatz: Mit etwa 39 % Wahrscheinlichkeit enthält die Stichprobe höchstens eine rote Kugel.
Typische Fehlerquellen
- „Mindestens k“ als P(X=k) oder P(X≤k) statt als 1−P(X≤k−1) berechnen.
- Ziehen ohne Zurücklegen mit der Binomialformel behandeln.
- P(A|B) und P(B|A) verwechseln – die Vierfeldertafel klärt die Richtung.
- Beim Testen die Ablehnungsrichtung mit der Richtung der Alternative verwechseln.
- Den Fehler 2. Art als α bezeichnen.
- Standardabweichung und Varianz vertauschen (σ statt σ²).