Tres formats de bossa i un paràmetre de disseny
La cooperativa Agrobotiga del Priorat envasà fruits secs en tres formats: Clàssic (C), Selecció (S) i Premium (P). Cada lot de 10 bosses consumeix, en quilograms, 2 d'ametlles, 1 d'avellanes i 1 de nous si és Clàssic; 1, 2 i 1 si és Selecció; i 1, 1 i k si és Premium, on k és la quantitat de nous per lot que el Consell Rector ha de fixar per a la campanya vinent. El magatzem té 11 kg d'ametlles, 12 kg d'avellanes i 13 kg de nous, i la cooperativa vol esgotar-los exactament amb la producció d'un mes. Anomenem (x, y, z) el nombre de lots de C, S i P, respectivament. L'any passat es va treballar amb k = 2 i tot va quadrar, però enguany el Consell vol estudiar altres valors de k abans de decidir-se, i no acceptarà cap pla de producció que obligui a fabricar un nombre negatiu de lots de cap format. Un excés de nous a la bossa Premium abaratiria la presentació, però pot comprometre la viabilitat del pla.
1. Planteja el sistema d'equacions, calcula'n el determinant en funció de k i discuteix la compatibilitat segons els valors de k.
Read the worked answer
Sistema. Les incògnites són els lots de cada format:
2x + y + z = 11 x + 2y + z = 12 x + y + kz = 13
La matriu de coeficients és A = [[2, 1, 1], [1, 2, 1], [1, 1, k]].
Determinant. Desenvolupant per la primera fila: det(A) = 2(2k − 1) − 1(k − 1) + 1(1 − 2) = 4k − 2 − k + 1 − 1 = 3k − 2.
Discussió.
- Si k ≠ 2/3, aleshores det(A) ≠ 0 i, per tant, rang(A) = rang(A*) = 3 = nombre d'incògnites: sistema compatible determinat, amb solució única.
- Si k = 2/3, det(A) = 0. El menor format per les files 1 i 2 i les columnes 1 i 2 val 4 − 1 = 3 ≠ 0, així que rang(A) = 2. Per saber si el sistema és compatible cal mirar la matriu ampliada: la tercera fila de coeficients és (1, 1, 2/3) = (1/3)·[(2, 1, 1) + (1, 2, 1)]. Si el sistema fos compatible, el terme independent de la tercera equació hauria de ser (1/3)(11 + 12) = 23/3, però val 13. Com que 13 ≠ 23/3, rang(A*) = 3 ≠ rang(A) = 2: sistema incompatible.
Conclusió: hi ha solució única per a tot k ≠ 2/3, i per a k = 2/3 el sistema no té solució. No apareix mai el cas de solucions infinites.
2. Resol el sistema per a k = 2 i interpreta el resultat en termes de bosses produïdes i d'aprofitament del magatzem.
Read the worked answer
Amb k = 2, det(A) = 3·2 − 2 = 4 ≠ 0. Apliquem Cramer.
det(A) = 4.
x = det([[11, 1, 1], [12, 2, 1], [13, 1, 2]]) / 4. Aquest determinant val 11(4 − 1) − 1(24 − 13) + 1(12 − 26) = 33 − 11 − 14 = 8, així que x = 8/4 = 2.
y = det([[2, 11, 1], [1, 12, 1], [1, 13, 2]]) / 4. Val 2(24 − 13) − 11(2 − 1) + 1(13 − 12) = 22 − 11 + 1 = 12, així que y = 12/4 = 3.
z = det([[2, 1, 11], [1, 2, 12], [1, 1, 13]]) / 4. Val 2(26 − 12) − 1(13 − 12) + 11(1 − 2) = 28 − 1 − 11 = 16, així que z = 16/4 = 4.
Comprovació: ametlles 2·2 + 3 + 4 = 11; avellanes 2 + 2·3 + 4 = 12; nous 2 + 3 + 2·4 = 13. Es gasten exactament els tres estocs.
Interpretació. Cal preparar 2 lots (20 bosses) de Clàssic, 3 lots (30 bosses) de Selecció i 4 lots (40 bosses) de Premium, és a dir, 90 bosses en total, amb un 44 % de la producció en el format més car.
3. Determina per a quins valors de k la solució del sistema és comercialment acceptable (tots els lots estrictament positius) i explica què passa a la frontera.
Read the worked answer
Resolem el sistema general per Cramer, amb det(A) = 3k − 2:
det_x = 11(2k − 1) − 1(12k − 13) + 1(12 − 26) = 22k − 11 − 12k + 13 − 14 = 10k − 12, per tant x = (10k − 12)/(3k − 2).
det_y = 2(12k − 13) − 11(k − 1) + 1(13 − 12) = 24k − 26 − 11k + 11 + 1 = 13k − 14, per tant y = (13k − 14)/(3k − 2).
det_z = 2(26 − 12) − 1(13 − 12) + 11(1 − 2) = 28 − 1 − 11 = 16, per tant z = 16/(3k − 2).
Com que k és una quantitat de nous, k > 0.
- Si 0 < k < 2/3, el denominador és negatiu i z < 0: inviable.
- Si k > 2/3, cal imposar x > 0 i y > 0 a més de z > 0 (que ja es compleix): x > 0 ⇔ 10k − 12 > 0 ⇔ k > 6/5 = 1,2, y > 0 ⇔ 13k − 14 > 0 ⇔ k > 14/13 ≈ 1,077.
El conjunt factible és, doncs, k > 6/5.
Frontera. Si k = 6/5, aleshores x = 0: el format Clàssic desapareix del pla de producció i tot l'estoc es reparteix entre Selecció i Premium. Per a valors lleugerament superiors, el Clàssic torna a ser positiu però en quantitats molt petites (per exemple, k = 1,25 dóna x = 0,5 lots), cosa que obliga a arrodonir i a perdre l'exactitud de l'aprofitament del magatzem. Si k < 2/3, la solució existeix formalment però no és produïble.