Catalonia PAU Mathematics II (Matemàtiques II - CIC 2026) key terms

Taula rectangular de nombres ordenats en files i columnes que s'usa per representar dades o aplicacions lineals. La seva mida s'escriu files × columnes.

Nombre associat a una matriu quadrada que indica si és invertible: és diferent de zero exactament quan la matriu té inversa. També dona el volum orientat dels vectors de les seves files.

Matriu que multiplicada per l'original dona la identitat. Només existeix si el determinant és no nul, i es calcula amb la matriu adjunta dividida pel determinant.

Matriu quadrada amb uns a la diagonal principal i zeros a la resta. És l'element neutre del producte de matrius.

Matriu obtinguda canviant files per columnes. Es denota amb una t al superíndex i compleix que (AB)^t = B^t A^t.

Matriu quadrada que coincideix amb la seva transposada, de manera que els elements situats en posicions simètriques respecte de la diagonal principal són iguals.

Nombre màxim de files o columnes linealment independents. Coincideix amb l'ordre del major menor no nul i determina la compatibilitat dels sistemes d'equacions.

Determinant d'una submatriu quadrada formada triant k files i k columnes d'una matriu donada. Serveix per calcular el rang buscant el major menor no nul.

Criteri que classifica un sistema d'equacions lineals comparant el rang de la matriu de coeficients amb el de la matriu ampliada: iguals i al nombre d'incògnites dona solució única, iguals i menors dona infinites solucions, i diferents dona sistema incompatible.

Sistema d'equacions lineals que té exactament una solució. Segons Rouché-Frobenius, els rangs de la matriu i de l'ampliada coincideixen i igualen el nombre d'incògnites.

Sistema d'equacions lineals sense cap solució. Passa quan el rang de la matriu de coeficients és estrictament menor que el de la matriu ampliada.

Mètode per resoldre sistemes compatibles determinats expressant cada incògnita com un quocient de determinants: al numerador es substitueix la columna corresponent pel terme independent.

Segment orientat definit per les seves components, que determina mòdul, direcció i sentit. Permet representar desplaçaments i direccions en l'espai tridimensional.

Operació entre dos vectors que dona un nombre igual al producte dels mòduls pel cosinus de l'angle que formen. És nul quan els vectors són perpendiculars.

Operació entre dos vectors de l'espai que dona un tercer vector perpendicular a tots dos, amb mòdul igual a l'àrea del paral·lelogram que determinen.

Combinació del producte escalar i el vectorial de tres vectors. El seu valor absolut és el volum del paral·lelepípede que formen, i és nul si són coplanaris.

Tres o més vectors que es poden situar en un mateix pla. Es caracteritzen perquè el seu producte mixt és zero, és a dir, són linealment dependents.

Conjunt de punts de l'espai que compleixen una equació lineal en tres variables. Queda determinat per un punt i dos vectors directors no paral·lels, o per un punt i un vector normal.

Vector perpendicular a un pla que apareix com a coeficients de les variables en la seva equació general. També serveix per mesurar distàncies i angles respecte del pla.

Expressió de la forma ax + by + cz + d = 0 on (a, b, c) és un vector normal al pla. Si d és zero, el pla passa per l'origen de coordenades.

Conjunt de punts que es poden descriure com un punt fix més un múltiple d'un vector director. Les seves equacions paramètriques expressen cada coordenada en funció d'un paràmetre.

Classificació de com es tallen, coincideixen, són paral·lels o es creuen dos elements geomètrics a l'espai. Es determina comparant rangs i resolent el sistema format per les seves equacions.

Mesura de l'obertura entre dues rectes o entre una recta i un pla, calculada amb el producte escalar dels vectors directors o normals. En el cas recta-pla s'usa el sinus.

Longitud del segment perpendicular des d'un punt fins a un pla. Es calcula substituint el punt en l'equació general del pla i dividint pel mòdul del vector normal.

Valor al qual s'aproximen les imatges d'una funció quan la variable s'acosta a un punt. Pot ser finit o infinit i és la base per definir la continuïtat i la derivada.

Propietat d'una funció en un punt quan el límit hi existeix, la funció hi està definida i tots dos valors coincideixen. La continuïtat permet aplicar teoremes com el de Bolzano.

Taxa de variació instantània d'una funció respecte de la variable, interpretada com el pendent de la recta tangent. S'usa per estudiar creixement, màxims i mínims.

Valor de la variable on la derivada és zero o no existeix. Candidat a màxim, mínim o punt d'inflexió, que es classifica estudiant el signe de la derivada primera o segona.

Procés de trobar el valor màxim o mínim d'una funció que modela una situació, sovint amb restriccions. Es planteja la funció objectiu, es deriva i s'anul·la la derivada.

Recta que toca una corba en un punt amb el mateix pendent que la derivada en aquell punt. La seva equació és y = f(a) + f'(a)(x − a).

Recta a la qual s'aproxima indefinidament la gràfica d'una funció. Pot ser vertical, horitzontal o obliqua segons el comportament del límit.

Afirma que una funció contínua en un interval tancat que pren signes oposats als extrems té almenys una arrel dins l'interval. Serveix per demostrar l'existència de solucions.

Garanteix que una funció contínua en un interval tancat i fitat assoleix un màxim i un mínim absoluts. És la base per resoldre problemes d'optimització en intervals tancats.

Funció la derivada de la qual és la funció donada. N'hi ha infinites, que difereixen en una constant, i es denoten amb la integral indefinida.

Nombre que representa l'àrea signada entre la gràfica d'una funció i l'eix horitzontal en un interval. Es calcula amb la regla de Barrow a partir d'una primitiva.

Fórmula que calcula la integral definida restant els valors d'una primitiva als extrems de l'interval. Connecta el càlcul de primitives amb l'àrea sota la corba.

Superfície compresa entre dues funcions en un interval, calculada integrant el valor absolut de la seva diferència. Cal trobar els punts de tall per fixar els límits d'integració.

Volum del sòlid generat en girar una regió plana al voltant d'un eix. Es calcula amb la integral del producte de π pel quadrat de la funció o del radi.

Probabilitat que esdevingui un succés A sabent que ja ha passat un altre succés B. Es calcula dividint la probabilitat de la intersecció per la probabilitat de B.

Dos successos són independents quan la probabilitat de la intersecció és el producte de les probabilitats individuals, de manera que saber-ne un no modifica la probabilitat de l'altre.

Permet calcular la probabilitat d'una causa sabent el resultat observat, invertint el condicionament. Es basa en la probabilitat total i en la fórmula de la probabilitat condicionada.

Probabilitat d'un succés obtinguda sumant les contribucions de tots els camins possibles d'un sistema complet de successos incompatibles, ponderant cada camí per la seva probabilitat.

Funció que assigna un valor numèric a cada resultat d'un experiment aleatori. Pot ser discreta o contínua segons el conjunt de valors que pren.

Model per al nombre d'èxits en n assajos independents amb la mateixa probabilitat d'èxit p. La seva mitjana és np i la variància np(1−p).

Distribució contínua simètrica en forma de campana definida per la mitjana i la desviació típica. Moltes variables reals s'hi aproximen i permeten calcular probabilitats amb taules tipificades.

Transformació d'una variable normal en una de mitjana zero i desviació u, restant la mitjana i dividint per la desviació. Permet usar les taules de la normal estàndard.

Afirma que la distribució de la mitjana de mostres grans s'aproxima a una normal amb la mateixa mitjana poblacional i desviació típica dividida per l'arrel de la mida mostral.

Rang de valors, calculat a partir d'una mostra, que conté el paràmetre poblacional amb una probabilitat determinada anomenada nivell de confiança. La seva amplada depèn de la mida mostral.

Semiamplada d'un interval de confiança, que indica la precisió de l'estimació. Depèn del nivell de confiança, de la desviació típica i de la mida de la mostra.

Nombre d'individus observats en un estudi. Determina la precisió de les estimacions: com més gran és, més estret és l'interval de confiança obtingut.