Catalonia PAU Mathematics II (Matemàtiques II - CIC 2026) cheat sheet

Una matriu A és invertible si i només si det(A) ≠ 0; llavors A⁻¹ = adj(A)ᵀ / det(A), on adj(A) té els cofactors transposats.

Propietats del determinant: det(AB) = det(A)·det(B); det(Aᵀ) = det(A); det(kA) = kⁿ·det(A) per a A d'ordre n; intercanviar dues files canvia el signe.

Rang per Gauss: el rang és el nombre de files no nul·les de la forma esglaonada; rang(A) = rang(A|b) és condició de compatibilitat del sistema.

Rouché–Capelli: si rang(A) = rang(A|b) = n, sistema compatible determinat; si rang(A) = rang(A|b) < n, compatible indeterminat amb n − rang paràmetres lliures; si rang(A) < rang(A|b), incompatible.

Regla de Cramer: per a A quadrada invertible, xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), on Aᵢ substitueix la columna i pel vector de termes independents.

Un sistema homogeni Ax = 0 sempre és compatible; té solucions no trivials si i només si det(A) = 0 (o rang(A) < n si no és quadrada).

Equació matricial AX = B es resol X = A⁻¹B si A és invertible; si és XA = B, llavors X = BA⁻¹ (l'ordre importa).

(A + B)² ≠ A² + 2AB + B² en general, perquè AB ≠ BA; només és cert si A i B commuten.

(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ i (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, sempre que A i B siguin invertibles del mateix ordre.

Producte escalar: u·v = |u||v|cos θ = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃; u ⊥ v ⇔ u·v = 0. Producte vectorial: |u×v| = |u||v|sin θ i u×v és perpendicular a tots dos.

Àrea del paral·lelogram definit per u i v: |u×v|; àrea del triangle: ½|u×v|. Volum del paral·lelepípede: |det(u, v, w)| = |(u×v)·w|; volum del tetraedre: 1/6 d'aquest valor.

Recta: forma vectorial (x,y,z) = P + t·v; forma contínua (x−p₁)/v₁ = (y−p₂)/v₂ = (z−p₃)/v₃. Pla: Ax + By + Cz + D = 0 amb normal n = (A,B,C).

Pla per tres punts P, Q, R: n = (Q−P)×(R−P) i D = −n·P. Pla paral·lel a dos vectors directors u, v: n = u×v.

Distància punt-pla: d(P, π) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Distància punt-recta: d = |v×(P−P₀)| / |v|.

Distància entre rectes que es creuen: d = |(P₂−P₁)·(v₁×v₂)| / |v₁×v₂|; si el numerador és 0, les rectes són coplanàries (es tallen o són paral·leles).

Angle entre plans: cos θ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|). Angle entre recta i pla: sin θ = |v·n| / (|v||n|). Angle entre rectes: cos θ = |v₁·v₂| / (|v₁||v₂|).

Posicions relatives pla-recta: substituir la recta paramètrica al pla; una solució → tall, cap → paral·lels, infinites → recta continguda. Plans: comparar normals i termes independents per a paral·lelisme, coincidència o tall en una recta.

Punt simètric de P respecte d'un pla π: projectar P sobre π per la recta P + t·n, trobar el peu H i calcular P' = 2H − P.

Continuïtat en x = a: existeix f(a), existeix lim_{x→a} f(x) i coincideixen. Els punts de discontinuïtat de funcions definides a trossos es comproven als punts de canvi de fórmula.

Regla de L'Hôpital: per a indeterminacions 0/0 o ∞/∞, lim f/g = lim f'/g' si aquest límit existeix. També s'aplica a ∞−∞, 0·∞, 1^∞ passant per logaritmes.

Derivada com a límit: f'(a) = lim_{h→0} [f(a+h) − f(a)]/h; la derivabilitat implica continuïtat, però no al revés (exemple: |x| en 0).

Criteri de la primera derivada: f' > 0 → creixent; f' < 0 → decreixent; canvi de signe de f' dona extrems relatius (màxim si passa de + a −).

Criteri de la segona derivada: f'(a) = 0 i f''(a) > 0 → mínim relatiu; f''(a) < 0 → màxim relatiu; f''(a) = 0 no decideix.

Concavitat i convexitat: f'' > 0 → convexa (còncava cap amunt); f'' < 0 → còncava. Els punts d'inflexió requereixen canvi de signe de f''.

Asímptotes: vertical on el denominador s'anul·la i el límit és infinit; horitzontal si lim_{x→±∞} f(x) = L; obliqua y = mx + n amb m = lim f(x)/x i n = lim [f(x) − mx].

Optimització: expressar la funció objectiu en una sola variable amb la restricció, derivar, igualar a zero, classificar amb la segona derivada i comprovar els extrems de l'interval.

Teorema de Bolzano: si f és contínua en [a,b] i f(a)·f(b) < 0, existeix almenys un c amb f(c) = 0 a (a,b). Teorema del valor mitjà: existeix c amb f'(c) = [f(b) − f(a)]/(b−a).

Taula bàsica: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C; ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C.

Integració per parts: ∫u dv = uv − ∫v du; triar u per la regla ILATE (inverses, logaritmes, algebraiques, trigonomètriques, exponencials).

Canvi de variable: ∫f(g(x))g'(x) dx = ∫f(u) du amb u = g(x); en integral definida cal canviar els límits o desfer el canvi.

Barrow: si F és una primitiva de f contínua en [a,b], ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Si es canvia l'ordre dels límits, el signe canvia.

Àrea entre corbes: ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx; cal localitzar els punts de tall f(x) = g(x) i separar intervals si canvia el signe de la diferència.

Àrea sota corba amb signe: les regions per sota de l'eix OX compten negativament en la integral definida; per a àrea geomètrica cal prendre valors absoluts.

Volum de revolució al voltant de l'eix OX: V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx. Al voltant de l'eix OY amb discs horitzontals: V = π∫ [g(y)]² dy.

Integral impròpia: ∫₁^∞ 1/xᵖ dx convergeix si p > 1 i divergeix si p ≤ 1; es calcula com a límit del límit superior.

Regla de Simpson o trapezoidal (si s'aplica): per a dades tabulades, l'àrea s'aproxima numèricament; no substitueix el càlcul exacte quan la funció és coneguda.

Permutacions de n elements: n!. Variacions sense repetició: V(n,k) = n!/(n−k)!. Combinacions: C(n,k) = n!/[k!(n−k)!]. Amb repetició: VR(n,k) = nᵏ i CR(n,k) = C(n+k−1,k).

Probabilitat condicionada: P(A|B) = P(A∩B)/P(B), amb P(B) > 0. Regla del producte: P(A∩B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A).

Independència: A i B són independents si P(A∩B) = P(A)·P(B), equivalent a P(A|B) = P(A). No confondre amb incompatibilitat (A∩B = ∅).

Probabilitat total: si {B₁,...,Bₙ} és una partició de l'espai mostral, P(A) = Σ P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ).

Teorema de Bayes: P(Bᵢ|A) = P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ) / Σⱼ P(Bⱼ)·P(A|Bⱼ); útil per invertir condicionals en problemes de diagnosis o urnes.

Successos contraris: P(Ā) = 1 − P(A). Unió: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B); si són incompatibles, P(A∪B) = P(A) + P(B).

Diagrama d'arbre: multiplicar probabilitats al llarg del camí i sumar camins alternatius; cada branca ha de complir que les probabilitats sortints sumin 1.

Comptatge amb restriccions: 'almenys un' es calcula sovint com 1 − P(cap); ordenacions amb elements repetits: n!/(n₁!·n₂!···).

Mostra sense reposició: la segona extracció depèn de la primera, de manera que les probabilitats condicionades canvien respecte de la primera extracció.

Variable aleatòria discreta: E(X) = Σ xᵢ·pᵢ; Var(X) = Σ xᵢ²·pᵢ − [E(X)]²; σ = √Var(X). Per a constants: E(aX + b) = aE(X) + b i Var(aX + b) = a²Var(X).

Binomial B(n, p): P(X = k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ; E(X) = np; Var(X) = np(1−p). Condicions: n assajos independents, dos resultats i p constant.

Normal N(μ, σ): tipificar Z = (X − μ)/σ i usar taules de N(0,1). P(X ≤ a) = P(Z ≤ (a−μ)/σ); P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ).

Simetria normal: Φ(−z) = 1 − Φ(z); P(Z ≥ z) = 1 − Φ(z). Valors habituals: P(|Z| ≤ 1) ≈ 0,683; P(|Z| ≤ 2) ≈ 0,954; P(|Z| ≤ 1,96) ≈ 0,95.

Aproximació binomial per normal: si np ≥ 5 i n(1−p) ≥ 5, B(n,p) ≈ N(np, √(np(1−p))); aplicar correcció de continuïtat ±0,5 en passar de discret a continu.

Distribució de la mitjana mostral: si X ~ N(μ, σ), aleshores X̄ ~ N(μ, σ/√n); l'error estàndard és σ/√n i disminueix amb √n.

Interval de confiança per a la mitjana amb σ coneguda: x̄ ± z_{α/2}·σ/√n; per a un 95% de confiança, z = 1,96; per a un 99%, z = 2,576.

Amplada de l'interval: E = z_{α/2}·σ/√n; per reduir l'amplada a la meitat cal quadruplicar la mida de la mostra. n = (z_{α/2}·σ/E)².

Interpretació freqüentista: un interval del 95% conté el paràmetre en aproximadament el 95% de les mostres; no és una probabilitat sobre μ un cop calculat l'interval.

Una matriu A és invertible si i només si det(A) ≠ 0; llavors A⁻¹ = adj(A)ᵀ / det(A), on adj(A) té els cofactors transposats.

Propietats del determinant: det(AB) = det(A)·det(B); det(Aᵀ) = det(A); det(kA) = kⁿ·det(A) per a A d'ordre n; intercanviar dues files canvia el signe.

Rang per Gauss: el rang és el nombre de files no nul·les de la forma esglaonada; rang(A) = rang(A|b) és condició de compatibilitat del sistema.

Rouché–Capelli: si rang(A) = rang(A|b) = n, sistema compatible determinat; si rang(A) = rang(A|b) < n, compatible indeterminat amb n − rang paràmetres lliures; si rang(A) < rang(A|b), incompatible.

Regla de Cramer: per a A quadrada invertible, xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), on Aᵢ substitueix la columna i pel vector de termes independents.

Un sistema homogeni Ax = 0 sempre és compatible; té solucions no trivials si i només si det(A) = 0 (o rang(A) < n si no és quadrada).

Equació matricial AX = B es resol X = A⁻¹B si A és invertible; si és XA = B, llavors X = BA⁻¹ (l'ordre importa).

(A + B)² ≠ A² + 2AB + B² en general, perquè AB ≠ BA; només és cert si A i B commuten.

(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ i (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, sempre que A i B siguin invertibles del mateix ordre.

Producte escalar: u·v = |u||v|cos θ = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃; u ⊥ v ⇔ u·v = 0. Producte vectorial: |u×v| = |u||v|sin θ i u×v és perpendicular a tots dos.

Àrea del paral·lelogram definit per u i v: |u×v|; àrea del triangle: ½|u×v|. Volum del paral·lelepípede: |det(u, v, w)| = |(u×v)·w|; volum del tetraedre: 1/6 d'aquest valor.

Recta: forma vectorial (x,y,z) = P + t·v; forma contínua (x−p₁)/v₁ = (y−p₂)/v₂ = (z−p₃)/v₃. Pla: Ax + By + Cz + D = 0 amb normal n = (A,B,C).

Pla per tres punts P, Q, R: n = (Q−P)×(R−P) i D = −n·P. Pla paral·lel a dos vectors directors u, v: n = u×v.

Distància punt-pla: d(P, π) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Distància punt-recta: d = |v×(P−P₀)| / |v|.

Distància entre rectes que es creuen: d = |(P₂−P₁)·(v₁×v₂)| / |v₁×v₂|; si el numerador és 0, les rectes són coplanàries (es tallen o són paral·leles).

Angle entre plans: cos θ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|). Angle entre recta i pla: sin θ = |v·n| / (|v||n|). Angle entre rectes: cos θ = |v₁·v₂| / (|v₁||v₂|).

Posicions relatives pla-recta: substituir la recta paramètrica al pla; una solució → tall, cap → paral·lels, infinites → recta continguda. Plans: comparar normals i termes independents per a paral·lelisme, coincidència o tall en una recta.

Punt simètric de P respecte d'un pla π: projectar P sobre π per la recta P + t·n, trobar el peu H i calcular P' = 2H − P.

Continuïtat en x = a: existeix f(a), existeix lim_{x→a} f(x) i coincideixen. Els punts de discontinuïtat de funcions definides a trossos es comproven als punts de canvi de fórmula.

Regla de L'Hôpital: per a indeterminacions 0/0 o ∞/∞, lim f/g = lim f'/g' si aquest límit existeix. També s'aplica a ∞−∞, 0·∞, 1^∞ passant per logaritmes.

Derivada com a límit: f'(a) = lim_{h→0} [f(a+h) − f(a)]/h; la derivabilitat implica continuïtat, però no al revés (exemple: |x| en 0).

Criteri de la primera derivada: f' > 0 → creixent; f' < 0 → decreixent; canvi de signe de f' dona extrems relatius (màxim si passa de + a −).

Criteri de la segona derivada: f'(a) = 0 i f''(a) > 0 → mínim relatiu; f''(a) < 0 → màxim relatiu; f''(a) = 0 no decideix.

Concavitat i convexitat: f'' > 0 → convexa (còncava cap amunt); f'' < 0 → còncava. Els punts d'inflexió requereixen canvi de signe de f''.

Asímptotes: vertical on el denominador s'anul·la i el límit és infinit; horitzontal si lim_{x→±∞} f(x) = L; obliqua y = mx + n amb m = lim f(x)/x i n = lim [f(x) − mx].

Optimització: expressar la funció objectiu en una sola variable amb la restricció, derivar, igualar a zero, classificar amb la segona derivada i comprovar els extrems de l'interval.

Teorema de Bolzano: si f és contínua en [a,b] i f(a)·f(b) < 0, existeix almenys un c amb f(c) = 0 a (a,b). Teorema del valor mitjà: existeix c amb f'(c) = [f(b) − f(a)]/(b−a).

Taula bàsica: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C; ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C.

Integració per parts: ∫u dv = uv − ∫v du; triar u per la regla ILATE (inverses, logaritmes, algebraiques, trigonomètriques, exponencials).

Canvi de variable: ∫f(g(x))g'(x) dx = ∫f(u) du amb u = g(x); en integral definida cal canviar els límits o desfer el canvi.

Barrow: si F és una primitiva de f contínua en [a,b], ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Si es canvia l'ordre dels límits, el signe canvia.

Àrea entre corbes: ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx; cal localitzar els punts de tall f(x) = g(x) i separar intervals si canvia el signe de la diferència.

Àrea sota corba amb signe: les regions per sota de l'eix OX compten negativament en la integral definida; per a àrea geomètrica cal prendre valors absoluts.

Volum de revolució al voltant de l'eix OX: V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx. Al voltant de l'eix OY amb discs horitzontals: V = π∫ [g(y)]² dy.

Integral impròpia: ∫₁^∞ 1/xᵖ dx convergeix si p > 1 i divergeix si p ≤ 1; es calcula com a límit del límit superior.

Regla de Simpson o trapezoidal (si s'aplica): per a dades tabulades, l'àrea s'aproxima numèricament; no substitueix el càlcul exacte quan la funció és coneguda.

Permutacions de n elements: n!. Variacions sense repetició: V(n,k) = n!/(n−k)!. Combinacions: C(n,k) = n!/[k!(n−k)!]. Amb repetició: VR(n,k) = nᵏ i CR(n,k) = C(n+k−1,k).

Probabilitat condicionada: P(A|B) = P(A∩B)/P(B), amb P(B) > 0. Regla del producte: P(A∩B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A).

Independència: A i B són independents si P(A∩B) = P(A)·P(B), equivalent a P(A|B) = P(A). No confondre amb incompatibilitat (A∩B = ∅).

Probabilitat total: si {B₁,...,Bₙ} és una partició de l'espai mostral, P(A) = Σ P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ).

Teorema de Bayes: P(Bᵢ|A) = P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ) / Σⱼ P(Bⱼ)·P(A|Bⱼ); útil per invertir condicionals en problemes de diagnosis o urnes.

Successos contraris: P(Ā) = 1 − P(A). Unió: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B); si són incompatibles, P(A∪B) = P(A) + P(B).

Diagrama d'arbre: multiplicar probabilitats al llarg del camí i sumar camins alternatius; cada branca ha de complir que les probabilitats sortints sumin 1.

Comptatge amb restriccions: 'almenys un' es calcula sovint com 1 − P(cap); ordenacions amb elements repetits: n!/(n₁!·n₂!···).

Mostra sense reposició: la segona extracció depèn de la primera, de manera que les probabilitats condicionades canvien respecte de la primera extracció.

Variable aleatòria discreta: E(X) = Σ xᵢ·pᵢ; Var(X) = Σ xᵢ²·pᵢ − [E(X)]²; σ = √Var(X). Per a constants: E(aX + b) = aE(X) + b i Var(aX + b) = a²Var(X).

Binomial B(n, p): P(X = k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ; E(X) = np; Var(X) = np(1−p). Condicions: n assajos independents, dos resultats i p constant.

Normal N(μ, σ): tipificar Z = (X − μ)/σ i usar taules de N(0,1). P(X ≤ a) = P(Z ≤ (a−μ)/σ); P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ).

Simetria normal: Φ(−z) = 1 − Φ(z); P(Z ≥ z) = 1 − Φ(z). Valors habituals: P(|Z| ≤ 1) ≈ 0,683; P(|Z| ≤ 2) ≈ 0,954; P(|Z| ≤ 1,96) ≈ 0,95.

Aproximació binomial per normal: si np ≥ 5 i n(1−p) ≥ 5, B(n,p) ≈ N(np, √(np(1−p))); aplicar correcció de continuïtat ±0,5 en passar de discret a continu.

Distribució de la mitjana mostral: si X ~ N(μ, σ), aleshores X̄ ~ N(μ, σ/√n); l'error estàndard és σ/√n i disminueix amb √n.

Interval de confiança per a la mitjana amb σ coneguda: x̄ ± z_{α/2}·σ/√n; per a un 95% de confiança, z = 1,96; per a un 99%, z = 2,576.

Amplada de l'interval: E = z_{α/2}·σ/√n; per reduir l'amplada a la meitat cal quadruplicar la mida de la mostra. n = (z_{α/2}·σ/E)².

Interpretació freqüentista: un interval del 95% conté el paràmetre en aproximadament el 95% de les mostres; no és una probabilitat sobre μ un cop calculat l'interval.

Una matriu A és invertible si i només si det(A) ≠ 0; llavors A⁻¹ = adj(A)ᵀ / det(A), on adj(A) té els cofactors transposats.

Propietats del determinant: det(AB) = det(A)·det(B); det(Aᵀ) = det(A); det(kA) = kⁿ·det(A) per a A d'ordre n; intercanviar dues files canvia el signe.

Rang per Gauss: el rang és el nombre de files no nul·les de la forma esglaonada; rang(A) = rang(A|b) és condició de compatibilitat del sistema.

Rouché–Capelli: si rang(A) = rang(A|b) = n, sistema compatible determinat; si rang(A) = rang(A|b) < n, compatible indeterminat amb n − rang paràmetres lliures; si rang(A) < rang(A|b), incompatible.

Regla de Cramer: per a A quadrada invertible, xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), on Aᵢ substitueix la columna i pel vector de termes independents.

Un sistema homogeni Ax = 0 sempre és compatible; té solucions no trivials si i només si det(A) = 0 (o rang(A) < n si no és quadrada).

Equació matricial AX = B es resol X = A⁻¹B si A és invertible; si és XA = B, llavors X = BA⁻¹ (l'ordre importa).

(A + B)² ≠ A² + 2AB + B² en general, perquè AB ≠ BA; només és cert si A i B commuten.

(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ i (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, sempre que A i B siguin invertibles del mateix ordre.

Producte escalar: u·v = |u||v|cos θ = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃; u ⊥ v ⇔ u·v = 0. Producte vectorial: |u×v| = |u||v|sin θ i u×v és perpendicular a tots dos.

Àrea del paral·lelogram definit per u i v: |u×v|; àrea del triangle: ½|u×v|. Volum del paral·lelepípede: |det(u, v, w)| = |(u×v)·w|; volum del tetraedre: 1/6 d'aquest valor.

Recta: forma vectorial (x,y,z) = P + t·v; forma contínua (x−p₁)/v₁ = (y−p₂)/v₂ = (z−p₃)/v₃. Pla: Ax + By + Cz + D = 0 amb normal n = (A,B,C).

Pla per tres punts P, Q, R: n = (Q−P)×(R−P) i D = −n·P. Pla paral·lel a dos vectors directors u, v: n = u×v.

Distància punt-pla: d(P, π) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Distància punt-recta: d = |v×(P−P₀)| / |v|.

Distància entre rectes que es creuen: d = |(P₂−P₁)·(v₁×v₂)| / |v₁×v₂|; si el numerador és 0, les rectes són coplanàries (es tallen o són paral·leles).

Angle entre plans: cos θ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|). Angle entre recta i pla: sin θ = |v·n| / (|v||n|). Angle entre rectes: cos θ = |v₁·v₂| / (|v₁||v₂|).

Posicions relatives pla-recta: substituir la recta paramètrica al pla; una solució → tall, cap → paral·lels, infinites → recta continguda. Plans: comparar normals i termes independents per a paral·lelisme, coincidència o tall en una recta.

Punt simètric de P respecte d'un pla π: projectar P sobre π per la recta P + t·n, trobar el peu H i calcular P' = 2H − P.

Continuïtat en x = a: existeix f(a), existeix lim_{x→a} f(x) i coincideixen. Els punts de discontinuïtat de funcions definides a trossos es comproven als punts de canvi de fórmula.

Regla de L'Hôpital: per a indeterminacions 0/0 o ∞/∞, lim f/g = lim f'/g' si aquest límit existeix. També s'aplica a ∞−∞, 0·∞, 1^∞ passant per logaritmes.

Derivada com a límit: f'(a) = lim_{h→0} [f(a+h) − f(a)]/h; la derivabilitat implica continuïtat, però no al revés (exemple: |x| en 0).

Criteri de la primera derivada: f' > 0 → creixent; f' < 0 → decreixent; canvi de signe de f' dona extrems relatius (màxim si passa de + a −).

Criteri de la segona derivada: f'(a) = 0 i f''(a) > 0 → mínim relatiu; f''(a) < 0 → màxim relatiu; f''(a) = 0 no decideix.

Concavitat i convexitat: f'' > 0 → convexa (còncava cap amunt); f'' < 0 → còncava. Els punts d'inflexió requereixen canvi de signe de f''.

Asímptotes: vertical on el denominador s'anul·la i el límit és infinit; horitzontal si lim_{x→±∞} f(x) = L; obliqua y = mx + n amb m = lim f(x)/x i n = lim [f(x) − mx].

Optimització: expressar la funció objectiu en una sola variable amb la restricció, derivar, igualar a zero, classificar amb la segona derivada i comprovar els extrems de l'interval.

Teorema de Bolzano: si f és contínua en [a,b] i f(a)·f(b) < 0, existeix almenys un c amb f(c) = 0 a (a,b). Teorema del valor mitjà: existeix c amb f'(c) = [f(b) − f(a)]/(b−a).

Taula bàsica: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C; ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C.

Integració per parts: ∫u dv = uv − ∫v du; triar u per la regla ILATE (inverses, logaritmes, algebraiques, trigonomètriques, exponencials).

Canvi de variable: ∫f(g(x))g'(x) dx = ∫f(u) du amb u = g(x); en integral definida cal canviar els límits o desfer el canvi.

Barrow: si F és una primitiva de f contínua en [a,b], ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Si es canvia l'ordre dels límits, el signe canvia.

Àrea entre corbes: ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx; cal localitzar els punts de tall f(x) = g(x) i separar intervals si canvia el signe de la diferència.

Àrea sota corba amb signe: les regions per sota de l'eix OX compten negativament en la integral definida; per a àrea geomètrica cal prendre valors absoluts.

Volum de revolució al voltant de l'eix OX: V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx. Al voltant de l'eix OY amb discs horitzontals: V = π∫ [g(y)]² dy.

Integral impròpia: ∫₁^∞ 1/xᵖ dx convergeix si p > 1 i divergeix si p ≤ 1; es calcula com a límit del límit superior.

Regla de Simpson o trapezoidal (si s'aplica): per a dades tabulades, l'àrea s'aproxima numèricament; no substitueix el càlcul exacte quan la funció és coneguda.

Permutacions de n elements: n!. Variacions sense repetició: V(n,k) = n!/(n−k)!. Combinacions: C(n,k) = n!/[k!(n−k)!]. Amb repetició: VR(n,k) = nᵏ i CR(n,k) = C(n+k−1,k).

Probabilitat condicionada: P(A|B) = P(A∩B)/P(B), amb P(B) > 0. Regla del producte: P(A∩B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A).

Independència: A i B són independents si P(A∩B) = P(A)·P(B), equivalent a P(A|B) = P(A). No confondre amb incompatibilitat (A∩B = ∅).

Probabilitat total: si {B₁,...,Bₙ} és una partició de l'espai mostral, P(A) = Σ P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ).

Teorema de Bayes: P(Bᵢ|A) = P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ) / Σⱼ P(Bⱼ)·P(A|Bⱼ); útil per invertir condicionals en problemes de diagnosis o urnes.

Successos contraris: P(Ā) = 1 − P(A). Unió: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B); si són incompatibles, P(A∪B) = P(A) + P(B).

Diagrama d'arbre: multiplicar probabilitats al llarg del camí i sumar camins alternatius; cada branca ha de complir que les probabilitats sortints sumin 1.

Comptatge amb restriccions: 'almenys un' es calcula sovint com 1 − P(cap); ordenacions amb elements repetits: n!/(n₁!·n₂!···).

Mostra sense reposició: la segona extracció depèn de la primera, de manera que les probabilitats condicionades canvien respecte de la primera extracció.

Variable aleatòria discreta: E(X) = Σ xᵢ·pᵢ; Var(X) = Σ xᵢ²·pᵢ − [E(X)]²; σ = √Var(X). Per a constants: E(aX + b) = aE(X) + b i Var(aX + b) = a²Var(X).

Binomial B(n, p): P(X = k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ; E(X) = np; Var(X) = np(1−p). Condicions: n assajos independents, dos resultats i p constant.

Normal N(μ, σ): tipificar Z = (X − μ)/σ i usar taules de N(0,1). P(X ≤ a) = P(Z ≤ (a−μ)/σ); P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ).

Simetria normal: Φ(−z) = 1 − Φ(z); P(Z ≥ z) = 1 − Φ(z). Valors habituals: P(|Z| ≤ 1) ≈ 0,683; P(|Z| ≤ 2) ≈ 0,954; P(|Z| ≤ 1,96) ≈ 0,95.

Aproximació binomial per normal: si np ≥ 5 i n(1−p) ≥ 5, B(n,p) ≈ N(np, √(np(1−p))); aplicar correcció de continuïtat ±0,5 en passar de discret a continu.

Distribució de la mitjana mostral: si X ~ N(μ, σ), aleshores X̄ ~ N(μ, σ/√n); l'error estàndard és σ/√n i disminueix amb √n.

Interval de confiança per a la mitjana amb σ coneguda: x̄ ± z_{α/2}·σ/√n; per a un 95% de confiança, z = 1,96; per a un 99%, z = 2,576.

Amplada de l'interval: E = z_{α/2}·σ/√n; per reduir l'amplada a la meitat cal quadruplicar la mida de la mostra. n = (z_{α/2}·σ/E)².

Interpretació freqüentista: un interval del 95% conté el paràmetre en aproximadament el 95% de les mostres; no és una probabilitat sobre μ un cop calculat l'interval.

Una matriu A és invertible si i només si det(A) ≠ 0; llavors A⁻¹ = adj(A)ᵀ / det(A), on adj(A) té els cofactors transposats.

Propietats del determinant: det(AB) = det(A)·det(B); det(Aᵀ) = det(A); det(kA) = kⁿ·det(A) per a A d'ordre n; intercanviar dues files canvia el signe.

Rang per Gauss: el rang és el nombre de files no nul·les de la forma esglaonada; rang(A) = rang(A|b) és condició de compatibilitat del sistema.

Rouché–Capelli: si rang(A) = rang(A|b) = n, sistema compatible determinat; si rang(A) = rang(A|b) < n, compatible indeterminat amb n − rang paràmetres lliures; si rang(A) < rang(A|b), incompatible.

Regla de Cramer: per a A quadrada invertible, xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), on Aᵢ substitueix la columna i pel vector de termes independents.

Un sistema homogeni Ax = 0 sempre és compatible; té solucions no trivials si i només si det(A) = 0 (o rang(A) < n si no és quadrada).

Equació matricial AX = B es resol X = A⁻¹B si A és invertible; si és XA = B, llavors X = BA⁻¹ (l'ordre importa).

(A + B)² ≠ A² + 2AB + B² en general, perquè AB ≠ BA; només és cert si A i B commuten.

(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ i (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, sempre que A i B siguin invertibles del mateix ordre.

Producte escalar: u·v = |u||v|cos θ = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃; u ⊥ v ⇔ u·v = 0. Producte vectorial: |u×v| = |u||v|sin θ i u×v és perpendicular a tots dos.

Àrea del paral·lelogram definit per u i v: |u×v|; àrea del triangle: ½|u×v|. Volum del paral·lelepípede: |det(u, v, w)| = |(u×v)·w|; volum del tetraedre: 1/6 d'aquest valor.

Recta: forma vectorial (x,y,z) = P + t·v; forma contínua (x−p₁)/v₁ = (y−p₂)/v₂ = (z−p₃)/v₃. Pla: Ax + By + Cz + D = 0 amb normal n = (A,B,C).

Pla per tres punts P, Q, R: n = (Q−P)×(R−P) i D = −n·P. Pla paral·lel a dos vectors directors u, v: n = u×v.

Distància punt-pla: d(P, π) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Distància punt-recta: d = |v×(P−P₀)| / |v|.

Distància entre rectes que es creuen: d = |(P₂−P₁)·(v₁×v₂)| / |v₁×v₂|; si el numerador és 0, les rectes són coplanàries (es tallen o són paral·leles).

Angle entre plans: cos θ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|). Angle entre recta i pla: sin θ = |v·n| / (|v||n|). Angle entre rectes: cos θ = |v₁·v₂| / (|v₁||v₂|).

Posicions relatives pla-recta: substituir la recta paramètrica al pla; una solució → tall, cap → paral·lels, infinites → recta continguda. Plans: comparar normals i termes independents per a paral·lelisme, coincidència o tall en una recta.

Punt simètric de P respecte d'un pla π: projectar P sobre π per la recta P + t·n, trobar el peu H i calcular P' = 2H − P.

Continuïtat en x = a: existeix f(a), existeix lim_{x→a} f(x) i coincideixen. Els punts de discontinuïtat de funcions definides a trossos es comproven als punts de canvi de fórmula.

Regla de L'Hôpital: per a indeterminacions 0/0 o ∞/∞, lim f/g = lim f'/g' si aquest límit existeix. També s'aplica a ∞−∞, 0·∞, 1^∞ passant per logaritmes.

Derivada com a límit: f'(a) = lim_{h→0} [f(a+h) − f(a)]/h; la derivabilitat implica continuïtat, però no al revés (exemple: |x| en 0).

Criteri de la primera derivada: f' > 0 → creixent; f' < 0 → decreixent; canvi de signe de f' dona extrems relatius (màxim si passa de + a −).

Criteri de la segona derivada: f'(a) = 0 i f''(a) > 0 → mínim relatiu; f''(a) < 0 → màxim relatiu; f''(a) = 0 no decideix.

Concavitat i convexitat: f'' > 0 → convexa (còncava cap amunt); f'' < 0 → còncava. Els punts d'inflexió requereixen canvi de signe de f''.

Asímptotes: vertical on el denominador s'anul·la i el límit és infinit; horitzontal si lim_{x→±∞} f(x) = L; obliqua y = mx + n amb m = lim f(x)/x i n = lim [f(x) − mx].

Optimització: expressar la funció objectiu en una sola variable amb la restricció, derivar, igualar a zero, classificar amb la segona derivada i comprovar els extrems de l'interval.

Teorema de Bolzano: si f és contínua en [a,b] i f(a)·f(b) < 0, existeix almenys un c amb f(c) = 0 a (a,b). Teorema del valor mitjà: existeix c amb f'(c) = [f(b) − f(a)]/(b−a).

Taula bàsica: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C; ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C.

Integració per parts: ∫u dv = uv − ∫v du; triar u per la regla ILATE (inverses, logaritmes, algebraiques, trigonomètriques, exponencials).

Canvi de variable: ∫f(g(x))g'(x) dx = ∫f(u) du amb u = g(x); en integral definida cal canviar els límits o desfer el canvi.

Barrow: si F és una primitiva de f contínua en [a,b], ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Si es canvia l'ordre dels límits, el signe canvia.

Àrea entre corbes: ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx; cal localitzar els punts de tall f(x) = g(x) i separar intervals si canvia el signe de la diferència.

Àrea sota corba amb signe: les regions per sota de l'eix OX compten negativament en la integral definida; per a àrea geomètrica cal prendre valors absoluts.

Volum de revolució al voltant de l'eix OX: V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx. Al voltant de l'eix OY amb discs horitzontals: V = π∫ [g(y)]² dy.

Integral impròpia: ∫₁^∞ 1/xᵖ dx convergeix si p > 1 i divergeix si p ≤ 1; es calcula com a límit del límit superior.

Regla de Simpson o trapezoidal (si s'aplica): per a dades tabulades, l'àrea s'aproxima numèricament; no substitueix el càlcul exacte quan la funció és coneguda.

Permutacions de n elements: n!. Variacions sense repetició: V(n,k) = n!/(n−k)!. Combinacions: C(n,k) = n!/[k!(n−k)!]. Amb repetició: VR(n,k) = nᵏ i CR(n,k) = C(n+k−1,k).

Probabilitat condicionada: P(A|B) = P(A∩B)/P(B), amb P(B) > 0. Regla del producte: P(A∩B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A).

Independència: A i B són independents si P(A∩B) = P(A)·P(B), equivalent a P(A|B) = P(A). No confondre amb incompatibilitat (A∩B = ∅).

Probabilitat total: si {B₁,...,Bₙ} és una partició de l'espai mostral, P(A) = Σ P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ).

Teorema de Bayes: P(Bᵢ|A) = P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ) / Σⱼ P(Bⱼ)·P(A|Bⱼ); útil per invertir condicionals en problemes de diagnosis o urnes.

Successos contraris: P(Ā) = 1 − P(A). Unió: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B); si són incompatibles, P(A∪B) = P(A) + P(B).

Diagrama d'arbre: multiplicar probabilitats al llarg del camí i sumar camins alternatius; cada branca ha de complir que les probabilitats sortints sumin 1.

Comptatge amb restriccions: 'almenys un' es calcula sovint com 1 − P(cap); ordenacions amb elements repetits: n!/(n₁!·n₂!···).

Mostra sense reposició: la segona extracció depèn de la primera, de manera que les probabilitats condicionades canvien respecte de la primera extracció.

Variable aleatòria discreta: E(X) = Σ xᵢ·pᵢ; Var(X) = Σ xᵢ²·pᵢ − [E(X)]²; σ = √Var(X). Per a constants: E(aX + b) = aE(X) + b i Var(aX + b) = a²Var(X).

Binomial B(n, p): P(X = k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ; E(X) = np; Var(X) = np(1−p). Condicions: n assajos independents, dos resultats i p constant.

Normal N(μ, σ): tipificar Z = (X − μ)/σ i usar taules de N(0,1). P(X ≤ a) = P(Z ≤ (a−μ)/σ); P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ).

Simetria normal: Φ(−z) = 1 − Φ(z); P(Z ≥ z) = 1 − Φ(z). Valors habituals: P(|Z| ≤ 1) ≈ 0,683; P(|Z| ≤ 2) ≈ 0,954; P(|Z| ≤ 1,96) ≈ 0,95.

Aproximació binomial per normal: si np ≥ 5 i n(1−p) ≥ 5, B(n,p) ≈ N(np, √(np(1−p))); aplicar correcció de continuïtat ±0,5 en passar de discret a continu.

Distribució de la mitjana mostral: si X ~ N(μ, σ), aleshores X̄ ~ N(μ, σ/√n); l'error estàndard és σ/√n i disminueix amb √n.

Interval de confiança per a la mitjana amb σ coneguda: x̄ ± z_{α/2}·σ/√n; per a un 95% de confiança, z = 1,96; per a un 99%, z = 2,576.

Amplada de l'interval: E = z_{α/2}·σ/√n; per reduir l'amplada a la meitat cal quadruplicar la mida de la mostra. n = (z_{α/2}·σ/E)².

Interpretació freqüentista: un interval del 95% conté el paràmetre en aproximadament el 95% de les mostres; no és una probabilitat sobre μ un cop calculat l'interval.

Una matriu A és invertible si i només si det(A) ≠ 0; llavors A⁻¹ = adj(A)ᵀ / det(A), on adj(A) té els cofactors transposats.

Propietats del determinant: det(AB) = det(A)·det(B); det(Aᵀ) = det(A); det(kA) = kⁿ·det(A) per a A d'ordre n; intercanviar dues files canvia el signe.

Rang per Gauss: el rang és el nombre de files no nul·les de la forma esglaonada; rang(A) = rang(A|b) és condició de compatibilitat del sistema.

Rouché–Capelli: si rang(A) = rang(A|b) = n, sistema compatible determinat; si rang(A) = rang(A|b) < n, compatible indeterminat amb n − rang paràmetres lliures; si rang(A) < rang(A|b), incompatible.

Regla de Cramer: per a A quadrada invertible, xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), on Aᵢ substitueix la columna i pel vector de termes independents.

Un sistema homogeni Ax = 0 sempre és compatible; té solucions no trivials si i només si det(A) = 0 (o rang(A) < n si no és quadrada).

Equació matricial AX = B es resol X = A⁻¹B si A és invertible; si és XA = B, llavors X = BA⁻¹ (l'ordre importa).

(A + B)² ≠ A² + 2AB + B² en general, perquè AB ≠ BA; només és cert si A i B commuten.

(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ i (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, sempre que A i B siguin invertibles del mateix ordre.

Producte escalar: u·v = |u||v|cos θ = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃; u ⊥ v ⇔ u·v = 0. Producte vectorial: |u×v| = |u||v|sin θ i u×v és perpendicular a tots dos.

Àrea del paral·lelogram definit per u i v: |u×v|; àrea del triangle: ½|u×v|. Volum del paral·lelepípede: |det(u, v, w)| = |(u×v)·w|; volum del tetraedre: 1/6 d'aquest valor.

Recta: forma vectorial (x,y,z) = P + t·v; forma contínua (x−p₁)/v₁ = (y−p₂)/v₂ = (z−p₃)/v₃. Pla: Ax + By + Cz + D = 0 amb normal n = (A,B,C).

Pla per tres punts P, Q, R: n = (Q−P)×(R−P) i D = −n·P. Pla paral·lel a dos vectors directors u, v: n = u×v.

Distància punt-pla: d(P, π) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Distància punt-recta: d = |v×(P−P₀)| / |v|.

Distància entre rectes que es creuen: d = |(P₂−P₁)·(v₁×v₂)| / |v₁×v₂|; si el numerador és 0, les rectes són coplanàries (es tallen o són paral·leles).

Angle entre plans: cos θ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|). Angle entre recta i pla: sin θ = |v·n| / (|v||n|). Angle entre rectes: cos θ = |v₁·v₂| / (|v₁||v₂|).

Posicions relatives pla-recta: substituir la recta paramètrica al pla; una solució → tall, cap → paral·lels, infinites → recta continguda. Plans: comparar normals i termes independents per a paral·lelisme, coincidència o tall en una recta.

Punt simètric de P respecte d'un pla π: projectar P sobre π per la recta P + t·n, trobar el peu H i calcular P' = 2H − P.

Continuïtat en x = a: existeix f(a), existeix lim_{x→a} f(x) i coincideixen. Els punts de discontinuïtat de funcions definides a trossos es comproven als punts de canvi de fórmula.

Regla de L'Hôpital: per a indeterminacions 0/0 o ∞/∞, lim f/g = lim f'/g' si aquest límit existeix. També s'aplica a ∞−∞, 0·∞, 1^∞ passant per logaritmes.

Derivada com a límit: f'(a) = lim_{h→0} [f(a+h) − f(a)]/h; la derivabilitat implica continuïtat, però no al revés (exemple: |x| en 0).

Criteri de la primera derivada: f' > 0 → creixent; f' < 0 → decreixent; canvi de signe de f' dona extrems relatius (màxim si passa de + a −).

Criteri de la segona derivada: f'(a) = 0 i f''(a) > 0 → mínim relatiu; f''(a) < 0 → màxim relatiu; f''(a) = 0 no decideix.

Concavitat i convexitat: f'' > 0 → convexa (còncava cap amunt); f'' < 0 → còncava. Els punts d'inflexió requereixen canvi de signe de f''.

Asímptotes: vertical on el denominador s'anul·la i el límit és infinit; horitzontal si lim_{x→±∞} f(x) = L; obliqua y = mx + n amb m = lim f(x)/x i n = lim [f(x) − mx].

Optimització: expressar la funció objectiu en una sola variable amb la restricció, derivar, igualar a zero, classificar amb la segona derivada i comprovar els extrems de l'interval.

Teorema de Bolzano: si f és contínua en [a,b] i f(a)·f(b) < 0, existeix almenys un c amb f(c) = 0 a (a,b). Teorema del valor mitjà: existeix c amb f'(c) = [f(b) − f(a)]/(b−a).

Taula bàsica: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C; ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C.

Integració per parts: ∫u dv = uv − ∫v du; triar u per la regla ILATE (inverses, logaritmes, algebraiques, trigonomètriques, exponencials).

Canvi de variable: ∫f(g(x))g'(x) dx = ∫f(u) du amb u = g(x); en integral definida cal canviar els límits o desfer el canvi.

Barrow: si F és una primitiva de f contínua en [a,b], ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Si es canvia l'ordre dels límits, el signe canvia.

Àrea entre corbes: ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx; cal localitzar els punts de tall f(x) = g(x) i separar intervals si canvia el signe de la diferència.

Àrea sota corba amb signe: les regions per sota de l'eix OX compten negativament en la integral definida; per a àrea geomètrica cal prendre valors absoluts.

Volum de revolució al voltant de l'eix OX: V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx. Al voltant de l'eix OY amb discs horitzontals: V = π∫ [g(y)]² dy.

Integral impròpia: ∫₁^∞ 1/xᵖ dx convergeix si p > 1 i divergeix si p ≤ 1; es calcula com a límit del límit superior.

Regla de Simpson o trapezoidal (si s'aplica): per a dades tabulades, l'àrea s'aproxima numèricament; no substitueix el càlcul exacte quan la funció és coneguda.

Permutacions de n elements: n!. Variacions sense repetició: V(n,k) = n!/(n−k)!. Combinacions: C(n,k) = n!/[k!(n−k)!]. Amb repetició: VR(n,k) = nᵏ i CR(n,k) = C(n+k−1,k).

Probabilitat condicionada: P(A|B) = P(A∩B)/P(B), amb P(B) > 0. Regla del producte: P(A∩B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A).

Independència: A i B són independents si P(A∩B) = P(A)·P(B), equivalent a P(A|B) = P(A). No confondre amb incompatibilitat (A∩B = ∅).

Probabilitat total: si {B₁,...,Bₙ} és una partició de l'espai mostral, P(A) = Σ P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ).

Teorema de Bayes: P(Bᵢ|A) = P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ) / Σⱼ P(Bⱼ)·P(A|Bⱼ); útil per invertir condicionals en problemes de diagnosis o urnes.

Successos contraris: P(Ā) = 1 − P(A). Unió: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B); si són incompatibles, P(A∪B) = P(A) + P(B).

Diagrama d'arbre: multiplicar probabilitats al llarg del camí i sumar camins alternatius; cada branca ha de complir que les probabilitats sortints sumin 1.

Comptatge amb restriccions: 'almenys un' es calcula sovint com 1 − P(cap); ordenacions amb elements repetits: n!/(n₁!·n₂!···).

Mostra sense reposició: la segona extracció depèn de la primera, de manera que les probabilitats condicionades canvien respecte de la primera extracció.

Variable aleatòria discreta: E(X) = Σ xᵢ·pᵢ; Var(X) = Σ xᵢ²·pᵢ − [E(X)]²; σ = √Var(X). Per a constants: E(aX + b) = aE(X) + b i Var(aX + b) = a²Var(X).

Binomial B(n, p): P(X = k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ; E(X) = np; Var(X) = np(1−p). Condicions: n assajos independents, dos resultats i p constant.

Normal N(μ, σ): tipificar Z = (X − μ)/σ i usar taules de N(0,1). P(X ≤ a) = P(Z ≤ (a−μ)/σ); P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ).

Simetria normal: Φ(−z) = 1 − Φ(z); P(Z ≥ z) = 1 − Φ(z). Valors habituals: P(|Z| ≤ 1) ≈ 0,683; P(|Z| ≤ 2) ≈ 0,954; P(|Z| ≤ 1,96) ≈ 0,95.

Aproximació binomial per normal: si np ≥ 5 i n(1−p) ≥ 5, B(n,p) ≈ N(np, √(np(1−p))); aplicar correcció de continuïtat ±0,5 en passar de discret a continu.

Distribució de la mitjana mostral: si X ~ N(μ, σ), aleshores X̄ ~ N(μ, σ/√n); l'error estàndard és σ/√n i disminueix amb √n.

Interval de confiança per a la mitjana amb σ coneguda: x̄ ± z_{α/2}·σ/√n; per a un 95% de confiança, z = 1,96; per a un 99%, z = 2,576.

Amplada de l'interval: E = z_{α/2}·σ/√n; per reduir l'amplada a la meitat cal quadruplicar la mida de la mostra. n = (z_{α/2}·σ/E)².

Interpretació freqüentista: un interval del 95% conté el paràmetre en aproximadament el 95% de les mostres; no és una probabilitat sobre μ un cop calculat l'interval.

Una matriu A és invertible si i només si det(A) ≠ 0; llavors A⁻¹ = adj(A)ᵀ / det(A), on adj(A) té els cofactors transposats.

Propietats del determinant: det(AB) = det(A)·det(B); det(Aᵀ) = det(A); det(kA) = kⁿ·det(A) per a A d'ordre n; intercanviar dues files canvia el signe.

Rang per Gauss: el rang és el nombre de files no nul·les de la forma esglaonada; rang(A) = rang(A|b) és condició de compatibilitat del sistema.

Rouché–Capelli: si rang(A) = rang(A|b) = n, sistema compatible determinat; si rang(A) = rang(A|b) < n, compatible indeterminat amb n − rang paràmetres lliures; si rang(A) < rang(A|b), incompatible.

Regla de Cramer: per a A quadrada invertible, xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), on Aᵢ substitueix la columna i pel vector de termes independents.

Un sistema homogeni Ax = 0 sempre és compatible; té solucions no trivials si i només si det(A) = 0 (o rang(A) < n si no és quadrada).

Equació matricial AX = B es resol X = A⁻¹B si A és invertible; si és XA = B, llavors X = BA⁻¹ (l'ordre importa).

(A + B)² ≠ A² + 2AB + B² en general, perquè AB ≠ BA; només és cert si A i B commuten.

(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ i (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, sempre que A i B siguin invertibles del mateix ordre.

Producte escalar: u·v = |u||v|cos θ = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃; u ⊥ v ⇔ u·v = 0. Producte vectorial: |u×v| = |u||v|sin θ i u×v és perpendicular a tots dos.

Àrea del paral·lelogram definit per u i v: |u×v|; àrea del triangle: ½|u×v|. Volum del paral·lelepípede: |det(u, v, w)| = |(u×v)·w|; volum del tetraedre: 1/6 d'aquest valor.

Recta: forma vectorial (x,y,z) = P + t·v; forma contínua (x−p₁)/v₁ = (y−p₂)/v₂ = (z−p₃)/v₃. Pla: Ax + By + Cz + D = 0 amb normal n = (A,B,C).

Pla per tres punts P, Q, R: n = (Q−P)×(R−P) i D = −n·P. Pla paral·lel a dos vectors directors u, v: n = u×v.

Distància punt-pla: d(P, π) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Distància punt-recta: d = |v×(P−P₀)| / |v|.

Distància entre rectes que es creuen: d = |(P₂−P₁)·(v₁×v₂)| / |v₁×v₂|; si el numerador és 0, les rectes són coplanàries (es tallen o són paral·leles).

Angle entre plans: cos θ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|). Angle entre recta i pla: sin θ = |v·n| / (|v||n|). Angle entre rectes: cos θ = |v₁·v₂| / (|v₁||v₂|).

Posicions relatives pla-recta: substituir la recta paramètrica al pla; una solució → tall, cap → paral·lels, infinites → recta continguda. Plans: comparar normals i termes independents per a paral·lelisme, coincidència o tall en una recta.

Punt simètric de P respecte d'un pla π: projectar P sobre π per la recta P + t·n, trobar el peu H i calcular P' = 2H − P.

Continuïtat en x = a: existeix f(a), existeix lim_{x→a} f(x) i coincideixen. Els punts de discontinuïtat de funcions definides a trossos es comproven als punts de canvi de fórmula.

Regla de L'Hôpital: per a indeterminacions 0/0 o ∞/∞, lim f/g = lim f'/g' si aquest límit existeix. També s'aplica a ∞−∞, 0·∞, 1^∞ passant per logaritmes.

Derivada com a límit: f'(a) = lim_{h→0} [f(a+h) − f(a)]/h; la derivabilitat implica continuïtat, però no al revés (exemple: |x| en 0).

Criteri de la primera derivada: f' > 0 → creixent; f' < 0 → decreixent; canvi de signe de f' dona extrems relatius (màxim si passa de + a −).

Criteri de la segona derivada: f'(a) = 0 i f''(a) > 0 → mínim relatiu; f''(a) < 0 → màxim relatiu; f''(a) = 0 no decideix.

Concavitat i convexitat: f'' > 0 → convexa (còncava cap amunt); f'' < 0 → còncava. Els punts d'inflexió requereixen canvi de signe de f''.

Asímptotes: vertical on el denominador s'anul·la i el límit és infinit; horitzontal si lim_{x→±∞} f(x) = L; obliqua y = mx + n amb m = lim f(x)/x i n = lim [f(x) − mx].

Optimització: expressar la funció objectiu en una sola variable amb la restricció, derivar, igualar a zero, classificar amb la segona derivada i comprovar els extrems de l'interval.

Teorema de Bolzano: si f és contínua en [a,b] i f(a)·f(b) < 0, existeix almenys un c amb f(c) = 0 a (a,b). Teorema del valor mitjà: existeix c amb f'(c) = [f(b) − f(a)]/(b−a).

Taula bàsica: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C; ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C.

Integració per parts: ∫u dv = uv − ∫v du; triar u per la regla ILATE (inverses, logaritmes, algebraiques, trigonomètriques, exponencials).

Canvi de variable: ∫f(g(x))g'(x) dx = ∫f(u) du amb u = g(x); en integral definida cal canviar els límits o desfer el canvi.

Barrow: si F és una primitiva de f contínua en [a,b], ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Si es canvia l'ordre dels límits, el signe canvia.

Àrea entre corbes: ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx; cal localitzar els punts de tall f(x) = g(x) i separar intervals si canvia el signe de la diferència.

Àrea sota corba amb signe: les regions per sota de l'eix OX compten negativament en la integral definida; per a àrea geomètrica cal prendre valors absoluts.

Volum de revolució al voltant de l'eix OX: V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx. Al voltant de l'eix OY amb discs horitzontals: V = π∫ [g(y)]² dy.

Integral impròpia: ∫₁^∞ 1/xᵖ dx convergeix si p > 1 i divergeix si p ≤ 1; es calcula com a límit del límit superior.

Regla de Simpson o trapezoidal (si s'aplica): per a dades tabulades, l'àrea s'aproxima numèricament; no substitueix el càlcul exacte quan la funció és coneguda.

Permutacions de n elements: n!. Variacions sense repetició: V(n,k) = n!/(n−k)!. Combinacions: C(n,k) = n!/[k!(n−k)!]. Amb repetició: VR(n,k) = nᵏ i CR(n,k) = C(n+k−1,k).

Probabilitat condicionada: P(A|B) = P(A∩B)/P(B), amb P(B) > 0. Regla del producte: P(A∩B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A).

Independència: A i B són independents si P(A∩B) = P(A)·P(B), equivalent a P(A|B) = P(A). No confondre amb incompatibilitat (A∩B = ∅).

Probabilitat total: si {B₁,...,Bₙ} és una partició de l'espai mostral, P(A) = Σ P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ).

Teorema de Bayes: P(Bᵢ|A) = P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ) / Σⱼ P(Bⱼ)·P(A|Bⱼ); útil per invertir condicionals en problemes de diagnosis o urnes.

Successos contraris: P(Ā) = 1 − P(A). Unió: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B); si són incompatibles, P(A∪B) = P(A) + P(B).

Diagrama d'arbre: multiplicar probabilitats al llarg del camí i sumar camins alternatius; cada branca ha de complir que les probabilitats sortints sumin 1.

Comptatge amb restriccions: 'almenys un' es calcula sovint com 1 − P(cap); ordenacions amb elements repetits: n!/(n₁!·n₂!···).

Mostra sense reposició: la segona extracció depèn de la primera, de manera que les probabilitats condicionades canvien respecte de la primera extracció.

Variable aleatòria discreta: E(X) = Σ xᵢ·pᵢ; Var(X) = Σ xᵢ²·pᵢ − [E(X)]²; σ = √Var(X). Per a constants: E(aX + b) = aE(X) + b i Var(aX + b) = a²Var(X).

Binomial B(n, p): P(X = k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ; E(X) = np; Var(X) = np(1−p). Condicions: n assajos independents, dos resultats i p constant.

Normal N(μ, σ): tipificar Z = (X − μ)/σ i usar taules de N(0,1). P(X ≤ a) = P(Z ≤ (a−μ)/σ); P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ).

Simetria normal: Φ(−z) = 1 − Φ(z); P(Z ≥ z) = 1 − Φ(z). Valors habituals: P(|Z| ≤ 1) ≈ 0,683; P(|Z| ≤ 2) ≈ 0,954; P(|Z| ≤ 1,96) ≈ 0,95.

Aproximació binomial per normal: si np ≥ 5 i n(1−p) ≥ 5, B(n,p) ≈ N(np, √(np(1−p))); aplicar correcció de continuïtat ±0,5 en passar de discret a continu.

Distribució de la mitjana mostral: si X ~ N(μ, σ), aleshores X̄ ~ N(μ, σ/√n); l'error estàndard és σ/√n i disminueix amb √n.

Interval de confiança per a la mitjana amb σ coneguda: x̄ ± z_{α/2}·σ/√n; per a un 95% de confiança, z = 1,96; per a un 99%, z = 2,576.

Amplada de l'interval: E = z_{α/2}·σ/√n; per reduir l'amplada a la meitat cal quadruplicar la mida de la mostra. n = (z_{α/2}·σ/E)².

Interpretació freqüentista: un interval del 95% conté el paràmetre en aproximadament el 95% de les mostres; no és una probabilitat sobre μ un cop calculat l'interval.

Una matriu A és invertible si i només si det(A) ≠ 0; llavors A⁻¹ = adj(A)ᵀ / det(A), on adj(A) té els cofactors transposats.

Propietats del determinant: det(AB) = det(A)·det(B); det(Aᵀ) = det(A); det(kA) = kⁿ·det(A) per a A d'ordre n; intercanviar dues files canvia el signe.

Rang per Gauss: el rang és el nombre de files no nul·les de la forma esglaonada; rang(A) = rang(A|b) és condició de compatibilitat del sistema.

Rouché–Capelli: si rang(A) = rang(A|b) = n, sistema compatible determinat; si rang(A) = rang(A|b) < n, compatible indeterminat amb n − rang paràmetres lliures; si rang(A) < rang(A|b), incompatible.

Regla de Cramer: per a A quadrada invertible, xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), on Aᵢ substitueix la columna i pel vector de termes independents.

Un sistema homogeni Ax = 0 sempre és compatible; té solucions no trivials si i només si det(A) = 0 (o rang(A) < n si no és quadrada).

Equació matricial AX = B es resol X = A⁻¹B si A és invertible; si és XA = B, llavors X = BA⁻¹ (l'ordre importa).

(A + B)² ≠ A² + 2AB + B² en general, perquè AB ≠ BA; només és cert si A i B commuten.

(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ i (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, sempre que A i B siguin invertibles del mateix ordre.

Producte escalar: u·v = |u||v|cos θ = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃; u ⊥ v ⇔ u·v = 0. Producte vectorial: |u×v| = |u||v|sin θ i u×v és perpendicular a tots dos.

Àrea del paral·lelogram definit per u i v: |u×v|; àrea del triangle: ½|u×v|. Volum del paral·lelepípede: |det(u, v, w)| = |(u×v)·w|; volum del tetraedre: 1/6 d'aquest valor.

Recta: forma vectorial (x,y,z) = P + t·v; forma contínua (x−p₁)/v₁ = (y−p₂)/v₂ = (z−p₃)/v₃. Pla: Ax + By + Cz + D = 0 amb normal n = (A,B,C).

Pla per tres punts P, Q, R: n = (Q−P)×(R−P) i D = −n·P. Pla paral·lel a dos vectors directors u, v: n = u×v.

Distància punt-pla: d(P, π) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Distància punt-recta: d = |v×(P−P₀)| / |v|.

Distància entre rectes que es creuen: d = |(P₂−P₁)·(v₁×v₂)| / |v₁×v₂|; si el numerador és 0, les rectes són coplanàries (es tallen o són paral·leles).

Angle entre plans: cos θ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|). Angle entre recta i pla: sin θ = |v·n| / (|v||n|). Angle entre rectes: cos θ = |v₁·v₂| / (|v₁||v₂|).

Posicions relatives pla-recta: substituir la recta paramètrica al pla; una solució → tall, cap → paral·lels, infinites → recta continguda. Plans: comparar normals i termes independents per a paral·lelisme, coincidència o tall en una recta.

Punt simètric de P respecte d'un pla π: projectar P sobre π per la recta P + t·n, trobar el peu H i calcular P' = 2H − P.

Continuïtat en x = a: existeix f(a), existeix lim_{x→a} f(x) i coincideixen. Els punts de discontinuïtat de funcions definides a trossos es comproven als punts de canvi de fórmula.

Regla de L'Hôpital: per a indeterminacions 0/0 o ∞/∞, lim f/g = lim f'/g' si aquest límit existeix. També s'aplica a ∞−∞, 0·∞, 1^∞ passant per logaritmes.

Derivada com a límit: f'(a) = lim_{h→0} [f(a+h) − f(a)]/h; la derivabilitat implica continuïtat, però no al revés (exemple: |x| en 0).

Criteri de la primera derivada: f' > 0 → creixent; f' < 0 → decreixent; canvi de signe de f' dona extrems relatius (màxim si passa de + a −).

Criteri de la segona derivada: f'(a) = 0 i f''(a) > 0 → mínim relatiu; f''(a) < 0 → màxim relatiu; f''(a) = 0 no decideix.

Concavitat i convexitat: f'' > 0 → convexa (còncava cap amunt); f'' < 0 → còncava. Els punts d'inflexió requereixen canvi de signe de f''.

Asímptotes: vertical on el denominador s'anul·la i el límit és infinit; horitzontal si lim_{x→±∞} f(x) = L; obliqua y = mx + n amb m = lim f(x)/x i n = lim [f(x) − mx].

Optimització: expressar la funció objectiu en una sola variable amb la restricció, derivar, igualar a zero, classificar amb la segona derivada i comprovar els extrems de l'interval.

Teorema de Bolzano: si f és contínua en [a,b] i f(a)·f(b) < 0, existeix almenys un c amb f(c) = 0 a (a,b). Teorema del valor mitjà: existeix c amb f'(c) = [f(b) − f(a)]/(b−a).

Taula bàsica: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C; ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C.

Integració per parts: ∫u dv = uv − ∫v du; triar u per la regla ILATE (inverses, logaritmes, algebraiques, trigonomètriques, exponencials).

Canvi de variable: ∫f(g(x))g'(x) dx = ∫f(u) du amb u = g(x); en integral definida cal canviar els límits o desfer el canvi.

Barrow: si F és una primitiva de f contínua en [a,b], ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Si es canvia l'ordre dels límits, el signe canvia.

Àrea entre corbes: ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx; cal localitzar els punts de tall f(x) = g(x) i separar intervals si canvia el signe de la diferència.

Àrea sota corba amb signe: les regions per sota de l'eix OX compten negativament en la integral definida; per a àrea geomètrica cal prendre valors absoluts.

Volum de revolució al voltant de l'eix OX: V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx. Al voltant de l'eix OY amb discs horitzontals: V = π∫ [g(y)]² dy.

Integral impròpia: ∫₁^∞ 1/xᵖ dx convergeix si p > 1 i divergeix si p ≤ 1; es calcula com a límit del límit superior.

Regla de Simpson o trapezoidal (si s'aplica): per a dades tabulades, l'àrea s'aproxima numèricament; no substitueix el càlcul exacte quan la funció és coneguda.

Permutacions de n elements: n!. Variacions sense repetició: V(n,k) = n!/(n−k)!. Combinacions: C(n,k) = n!/[k!(n−k)!]. Amb repetició: VR(n,k) = nᵏ i CR(n,k) = C(n+k−1,k).

Probabilitat condicionada: P(A|B) = P(A∩B)/P(B), amb P(B) > 0. Regla del producte: P(A∩B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A).

Independència: A i B són independents si P(A∩B) = P(A)·P(B), equivalent a P(A|B) = P(A). No confondre amb incompatibilitat (A∩B = ∅).

Probabilitat total: si {B₁,...,Bₙ} és una partició de l'espai mostral, P(A) = Σ P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ).

Teorema de Bayes: P(Bᵢ|A) = P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ) / Σⱼ P(Bⱼ)·P(A|Bⱼ); útil per invertir condicionals en problemes de diagnosis o urnes.

Successos contraris: P(Ā) = 1 − P(A). Unió: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B); si són incompatibles, P(A∪B) = P(A) + P(B).

Diagrama d'arbre: multiplicar probabilitats al llarg del camí i sumar camins alternatius; cada branca ha de complir que les probabilitats sortints sumin 1.

Comptatge amb restriccions: 'almenys un' es calcula sovint com 1 − P(cap); ordenacions amb elements repetits: n!/(n₁!·n₂!···).

Mostra sense reposició: la segona extracció depèn de la primera, de manera que les probabilitats condicionades canvien respecte de la primera extracció.

Variable aleatòria discreta: E(X) = Σ xᵢ·pᵢ; Var(X) = Σ xᵢ²·pᵢ − [E(X)]²; σ = √Var(X). Per a constants: E(aX + b) = aE(X) + b i Var(aX + b) = a²Var(X).

Binomial B(n, p): P(X = k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ; E(X) = np; Var(X) = np(1−p). Condicions: n assajos independents, dos resultats i p constant.

Normal N(μ, σ): tipificar Z = (X − μ)/σ i usar taules de N(0,1). P(X ≤ a) = P(Z ≤ (a−μ)/σ); P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ).

Simetria normal: Φ(−z) = 1 − Φ(z); P(Z ≥ z) = 1 − Φ(z). Valors habituals: P(|Z| ≤ 1) ≈ 0,683; P(|Z| ≤ 2) ≈ 0,954; P(|Z| ≤ 1,96) ≈ 0,95.

Aproximació binomial per normal: si np ≥ 5 i n(1−p) ≥ 5, B(n,p) ≈ N(np, √(np(1−p))); aplicar correcció de continuïtat ±0,5 en passar de discret a continu.

Distribució de la mitjana mostral: si X ~ N(μ, σ), aleshores X̄ ~ N(μ, σ/√n); l'error estàndard és σ/√n i disminueix amb √n.

Interval de confiança per a la mitjana amb σ coneguda: x̄ ± z_{α/2}·σ/√n; per a un 95% de confiança, z = 1,96; per a un 99%, z = 2,576.

Amplada de l'interval: E = z_{α/2}·σ/√n; per reduir l'amplada a la meitat cal quadruplicar la mida de la mostra. n = (z_{α/2}·σ/E)².

Interpretació freqüentista: un interval del 95% conté el paràmetre en aproximadament el 95% de les mostres; no és una probabilitat sobre μ un cop calculat l'interval.

Una matriu A és invertible si i només si det(A) ≠ 0; llavors A⁻¹ = adj(A)ᵀ / det(A), on adj(A) té els cofactors transposats.

Propietats del determinant: det(AB) = det(A)·det(B); det(Aᵀ) = det(A); det(kA) = kⁿ·det(A) per a A d'ordre n; intercanviar dues files canvia el signe.

Rang per Gauss: el rang és el nombre de files no nul·les de la forma esglaonada; rang(A) = rang(A|b) és condició de compatibilitat del sistema.

Rouché–Capelli: si rang(A) = rang(A|b) = n, sistema compatible determinat; si rang(A) = rang(A|b) < n, compatible indeterminat amb n − rang paràmetres lliures; si rang(A) < rang(A|b), incompatible.

Regla de Cramer: per a A quadrada invertible, xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), on Aᵢ substitueix la columna i pel vector de termes independents.

Un sistema homogeni Ax = 0 sempre és compatible; té solucions no trivials si i només si det(A) = 0 (o rang(A) < n si no és quadrada).

Equació matricial AX = B es resol X = A⁻¹B si A és invertible; si és XA = B, llavors X = BA⁻¹ (l'ordre importa).

(A + B)² ≠ A² + 2AB + B² en general, perquè AB ≠ BA; només és cert si A i B commuten.

(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ i (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, sempre que A i B siguin invertibles del mateix ordre.

Producte escalar: u·v = |u||v|cos θ = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃; u ⊥ v ⇔ u·v = 0. Producte vectorial: |u×v| = |u||v|sin θ i u×v és perpendicular a tots dos.

Àrea del paral·lelogram definit per u i v: |u×v|; àrea del triangle: ½|u×v|. Volum del paral·lelepípede: |det(u, v, w)| = |(u×v)·w|; volum del tetraedre: 1/6 d'aquest valor.

Recta: forma vectorial (x,y,z) = P + t·v; forma contínua (x−p₁)/v₁ = (y−p₂)/v₂ = (z−p₃)/v₃. Pla: Ax + By + Cz + D = 0 amb normal n = (A,B,C).

Pla per tres punts P, Q, R: n = (Q−P)×(R−P) i D = −n·P. Pla paral·lel a dos vectors directors u, v: n = u×v.

Distància punt-pla: d(P, π) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Distància punt-recta: d = |v×(P−P₀)| / |v|.

Distància entre rectes que es creuen: d = |(P₂−P₁)·(v₁×v₂)| / |v₁×v₂|; si el numerador és 0, les rectes són coplanàries (es tallen o són paral·leles).

Angle entre plans: cos θ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|). Angle entre recta i pla: sin θ = |v·n| / (|v||n|). Angle entre rectes: cos θ = |v₁·v₂| / (|v₁||v₂|).

Posicions relatives pla-recta: substituir la recta paramètrica al pla; una solució → tall, cap → paral·lels, infinites → recta continguda. Plans: comparar normals i termes independents per a paral·lelisme, coincidència o tall en una recta.

Punt simètric de P respecte d'un pla π: projectar P sobre π per la recta P + t·n, trobar el peu H i calcular P' = 2H − P.

Continuïtat en x = a: existeix f(a), existeix lim_{x→a} f(x) i coincideixen. Els punts de discontinuïtat de funcions definides a trossos es comproven als punts de canvi de fórmula.

Regla de L'Hôpital: per a indeterminacions 0/0 o ∞/∞, lim f/g = lim f'/g' si aquest límit existeix. També s'aplica a ∞−∞, 0·∞, 1^∞ passant per logaritmes.

Derivada com a límit: f'(a) = lim_{h→0} [f(a+h) − f(a)]/h; la derivabilitat implica continuïtat, però no al revés (exemple: |x| en 0).

Criteri de la primera derivada: f' > 0 → creixent; f' < 0 → decreixent; canvi de signe de f' dona extrems relatius (màxim si passa de + a −).

Criteri de la segona derivada: f'(a) = 0 i f''(a) > 0 → mínim relatiu; f''(a) < 0 → màxim relatiu; f''(a) = 0 no decideix.

Concavitat i convexitat: f'' > 0 → convexa (còncava cap amunt); f'' < 0 → còncava. Els punts d'inflexió requereixen canvi de signe de f''.

Asímptotes: vertical on el denominador s'anul·la i el límit és infinit; horitzontal si lim_{x→±∞} f(x) = L; obliqua y = mx + n amb m = lim f(x)/x i n = lim [f(x) − mx].

Optimització: expressar la funció objectiu en una sola variable amb la restricció, derivar, igualar a zero, classificar amb la segona derivada i comprovar els extrems de l'interval.

Teorema de Bolzano: si f és contínua en [a,b] i f(a)·f(b) < 0, existeix almenys un c amb f(c) = 0 a (a,b). Teorema del valor mitjà: existeix c amb f'(c) = [f(b) − f(a)]/(b−a).

Taula bàsica: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C; ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C.

Integració per parts: ∫u dv = uv − ∫v du; triar u per la regla ILATE (inverses, logaritmes, algebraiques, trigonomètriques, exponencials).

Canvi de variable: ∫f(g(x))g'(x) dx = ∫f(u) du amb u = g(x); en integral definida cal canviar els límits o desfer el canvi.

Barrow: si F és una primitiva de f contínua en [a,b], ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Si es canvia l'ordre dels límits, el signe canvia.

Àrea entre corbes: ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx; cal localitzar els punts de tall f(x) = g(x) i separar intervals si canvia el signe de la diferència.

Àrea sota corba amb signe: les regions per sota de l'eix OX compten negativament en la integral definida; per a àrea geomètrica cal prendre valors absoluts.

Volum de revolució al voltant de l'eix OX: V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx. Al voltant de l'eix OY amb discs horitzontals: V = π∫ [g(y)]² dy.

Integral impròpia: ∫₁^∞ 1/xᵖ dx convergeix si p > 1 i divergeix si p ≤ 1; es calcula com a límit del límit superior.

Regla de Simpson o trapezoidal (si s'aplica): per a dades tabulades, l'àrea s'aproxima numèricament; no substitueix el càlcul exacte quan la funció és coneguda.

Permutacions de n elements: n!. Variacions sense repetició: V(n,k) = n!/(n−k)!. Combinacions: C(n,k) = n!/[k!(n−k)!]. Amb repetició: VR(n,k) = nᵏ i CR(n,k) = C(n+k−1,k).

Probabilitat condicionada: P(A|B) = P(A∩B)/P(B), amb P(B) > 0. Regla del producte: P(A∩B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A).

Independència: A i B són independents si P(A∩B) = P(A)·P(B), equivalent a P(A|B) = P(A). No confondre amb incompatibilitat (A∩B = ∅).

Probabilitat total: si {B₁,...,Bₙ} és una partició de l'espai mostral, P(A) = Σ P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ).

Teorema de Bayes: P(Bᵢ|A) = P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ) / Σⱼ P(Bⱼ)·P(A|Bⱼ); útil per invertir condicionals en problemes de diagnosis o urnes.

Successos contraris: P(Ā) = 1 − P(A). Unió: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B); si són incompatibles, P(A∪B) = P(A) + P(B).

Diagrama d'arbre: multiplicar probabilitats al llarg del camí i sumar camins alternatius; cada branca ha de complir que les probabilitats sortints sumin 1.

Comptatge amb restriccions: 'almenys un' es calcula sovint com 1 − P(cap); ordenacions amb elements repetits: n!/(n₁!·n₂!···).

Mostra sense reposició: la segona extracció depèn de la primera, de manera que les probabilitats condicionades canvien respecte de la primera extracció.

Variable aleatòria discreta: E(X) = Σ xᵢ·pᵢ; Var(X) = Σ xᵢ²·pᵢ − [E(X)]²; σ = √Var(X). Per a constants: E(aX + b) = aE(X) + b i Var(aX + b) = a²Var(X).

Binomial B(n, p): P(X = k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ; E(X) = np; Var(X) = np(1−p). Condicions: n assajos independents, dos resultats i p constant.

Normal N(μ, σ): tipificar Z = (X − μ)/σ i usar taules de N(0,1). P(X ≤ a) = P(Z ≤ (a−μ)/σ); P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ).

Simetria normal: Φ(−z) = 1 − Φ(z); P(Z ≥ z) = 1 − Φ(z). Valors habituals: P(|Z| ≤ 1) ≈ 0,683; P(|Z| ≤ 2) ≈ 0,954; P(|Z| ≤ 1,96) ≈ 0,95.

Aproximació binomial per normal: si np ≥ 5 i n(1−p) ≥ 5, B(n,p) ≈ N(np, √(np(1−p))); aplicar correcció de continuïtat ±0,5 en passar de discret a continu.

Distribució de la mitjana mostral: si X ~ N(μ, σ), aleshores X̄ ~ N(μ, σ/√n); l'error estàndard és σ/√n i disminueix amb √n.

Interval de confiança per a la mitjana amb σ coneguda: x̄ ± z_{α/2}·σ/√n; per a un 95% de confiança, z = 1,96; per a un 99%, z = 2,576.

Amplada de l'interval: E = z_{α/2}·σ/√n; per reduir l'amplada a la meitat cal quadruplicar la mida de la mostra. n = (z_{α/2}·σ/E)².

Interpretació freqüentista: un interval del 95% conté el paràmetre en aproximadament el 95% de les mostres; no és una probabilitat sobre μ un cop calculat l'interval.

Una matriu A és invertible si i només si det(A) ≠ 0; llavors A⁻¹ = adj(A)ᵀ / det(A), on adj(A) té els cofactors transposats.

Propietats del determinant: det(AB) = det(A)·det(B); det(Aᵀ) = det(A); det(kA) = kⁿ·det(A) per a A d'ordre n; intercanviar dues files canvia el signe.

Rang per Gauss: el rang és el nombre de files no nul·les de la forma esglaonada; rang(A) = rang(A|b) és condició de compatibilitat del sistema.

Rouché–Capelli: si rang(A) = rang(A|b) = n, sistema compatible determinat; si rang(A) = rang(A|b) < n, compatible indeterminat amb n − rang paràmetres lliures; si rang(A) < rang(A|b), incompatible.

Regla de Cramer: per a A quadrada invertible, xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), on Aᵢ substitueix la columna i pel vector de termes independents.

Un sistema homogeni Ax = 0 sempre és compatible; té solucions no trivials si i només si det(A) = 0 (o rang(A) < n si no és quadrada).

Equació matricial AX = B es resol X = A⁻¹B si A és invertible; si és XA = B, llavors X = BA⁻¹ (l'ordre importa).

(A + B)² ≠ A² + 2AB + B² en general, perquè AB ≠ BA; només és cert si A i B commuten.

(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ i (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, sempre que A i B siguin invertibles del mateix ordre.

Producte escalar: u·v = |u||v|cos θ = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃; u ⊥ v ⇔ u·v = 0. Producte vectorial: |u×v| = |u||v|sin θ i u×v és perpendicular a tots dos.

Àrea del paral·lelogram definit per u i v: |u×v|; àrea del triangle: ½|u×v|. Volum del paral·lelepípede: |det(u, v, w)| = |(u×v)·w|; volum del tetraedre: 1/6 d'aquest valor.

Recta: forma vectorial (x,y,z) = P + t·v; forma contínua (x−p₁)/v₁ = (y−p₂)/v₂ = (z−p₃)/v₃. Pla: Ax + By + Cz + D = 0 amb normal n = (A,B,C).

Pla per tres punts P, Q, R: n = (Q−P)×(R−P) i D = −n·P. Pla paral·lel a dos vectors directors u, v: n = u×v.

Distància punt-pla: d(P, π) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Distància punt-recta: d = |v×(P−P₀)| / |v|.

Distància entre rectes que es creuen: d = |(P₂−P₁)·(v₁×v₂)| / |v₁×v₂|; si el numerador és 0, les rectes són coplanàries (es tallen o són paral·leles).

Angle entre plans: cos θ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|). Angle entre recta i pla: sin θ = |v·n| / (|v||n|). Angle entre rectes: cos θ = |v₁·v₂| / (|v₁||v₂|).

Posicions relatives pla-recta: substituir la recta paramètrica al pla; una solució → tall, cap → paral·lels, infinites → recta continguda. Plans: comparar normals i termes independents per a paral·lelisme, coincidència o tall en una recta.

Punt simètric de P respecte d'un pla π: projectar P sobre π per la recta P + t·n, trobar el peu H i calcular P' = 2H − P.

Continuïtat en x = a: existeix f(a), existeix lim_{x→a} f(x) i coincideixen. Els punts de discontinuïtat de funcions definides a trossos es comproven als punts de canvi de fórmula.

Regla de L'Hôpital: per a indeterminacions 0/0 o ∞/∞, lim f/g = lim f'/g' si aquest límit existeix. També s'aplica a ∞−∞, 0·∞, 1^∞ passant per logaritmes.

Derivada com a límit: f'(a) = lim_{h→0} [f(a+h) − f(a)]/h; la derivabilitat implica continuïtat, però no al revés (exemple: |x| en 0).

Criteri de la primera derivada: f' > 0 → creixent; f' < 0 → decreixent; canvi de signe de f' dona extrems relatius (màxim si passa de + a −).

Criteri de la segona derivada: f'(a) = 0 i f''(a) > 0 → mínim relatiu; f''(a) < 0 → màxim relatiu; f''(a) = 0 no decideix.

Concavitat i convexitat: f'' > 0 → convexa (còncava cap amunt); f'' < 0 → còncava. Els punts d'inflexió requereixen canvi de signe de f''.

Asímptotes: vertical on el denominador s'anul·la i el límit és infinit; horitzontal si lim_{x→±∞} f(x) = L; obliqua y = mx + n amb m = lim f(x)/x i n = lim [f(x) − mx].

Optimització: expressar la funció objectiu en una sola variable amb la restricció, derivar, igualar a zero, classificar amb la segona derivada i comprovar els extrems de l'interval.

Teorema de Bolzano: si f és contínua en [a,b] i f(a)·f(b) < 0, existeix almenys un c amb f(c) = 0 a (a,b). Teorema del valor mitjà: existeix c amb f'(c) = [f(b) − f(a)]/(b−a).

Taula bàsica: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C; ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C.

Integració per parts: ∫u dv = uv − ∫v du; triar u per la regla ILATE (inverses, logaritmes, algebraiques, trigonomètriques, exponencials).

Canvi de variable: ∫f(g(x))g'(x) dx = ∫f(u) du amb u = g(x); en integral definida cal canviar els límits o desfer el canvi.

Barrow: si F és una primitiva de f contínua en [a,b], ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Si es canvia l'ordre dels límits, el signe canvia.

Àrea entre corbes: ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx; cal localitzar els punts de tall f(x) = g(x) i separar intervals si canvia el signe de la diferència.

Àrea sota corba amb signe: les regions per sota de l'eix OX compten negativament en la integral definida; per a àrea geomètrica cal prendre valors absoluts.

Volum de revolució al voltant de l'eix OX: V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx. Al voltant de l'eix OY amb discs horitzontals: V = π∫ [g(y)]² dy.

Integral impròpia: ∫₁^∞ 1/xᵖ dx convergeix si p > 1 i divergeix si p ≤ 1; es calcula com a límit del límit superior.

Regla de Simpson o trapezoidal (si s'aplica): per a dades tabulades, l'àrea s'aproxima numèricament; no substitueix el càlcul exacte quan la funció és coneguda.

Permutacions de n elements: n!. Variacions sense repetició: V(n,k) = n!/(n−k)!. Combinacions: C(n,k) = n!/[k!(n−k)!]. Amb repetició: VR(n,k) = nᵏ i CR(n,k) = C(n+k−1,k).

Probabilitat condicionada: P(A|B) = P(A∩B)/P(B), amb P(B) > 0. Regla del producte: P(A∩B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A).

Independència: A i B són independents si P(A∩B) = P(A)·P(B), equivalent a P(A|B) = P(A). No confondre amb incompatibilitat (A∩B = ∅).

Probabilitat total: si {B₁,...,Bₙ} és una partició de l'espai mostral, P(A) = Σ P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ).

Teorema de Bayes: P(Bᵢ|A) = P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ) / Σⱼ P(Bⱼ)·P(A|Bⱼ); útil per invertir condicionals en problemes de diagnosis o urnes.

Successos contraris: P(Ā) = 1 − P(A). Unió: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B); si són incompatibles, P(A∪B) = P(A) + P(B).

Diagrama d'arbre: multiplicar probabilitats al llarg del camí i sumar camins alternatius; cada branca ha de complir que les probabilitats sortints sumin 1.

Comptatge amb restriccions: 'almenys un' es calcula sovint com 1 − P(cap); ordenacions amb elements repetits: n!/(n₁!·n₂!···).

Mostra sense reposició: la segona extracció depèn de la primera, de manera que les probabilitats condicionades canvien respecte de la primera extracció.

Variable aleatòria discreta: E(X) = Σ xᵢ·pᵢ; Var(X) = Σ xᵢ²·pᵢ − [E(X)]²; σ = √Var(X). Per a constants: E(aX + b) = aE(X) + b i Var(aX + b) = a²Var(X).

Binomial B(n, p): P(X = k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ; E(X) = np; Var(X) = np(1−p). Condicions: n assajos independents, dos resultats i p constant.

Normal N(μ, σ): tipificar Z = (X − μ)/σ i usar taules de N(0,1). P(X ≤ a) = P(Z ≤ (a−μ)/σ); P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ).

Simetria normal: Φ(−z) = 1 − Φ(z); P(Z ≥ z) = 1 − Φ(z). Valors habituals: P(|Z| ≤ 1) ≈ 0,683; P(|Z| ≤ 2) ≈ 0,954; P(|Z| ≤ 1,96) ≈ 0,95.

Aproximació binomial per normal: si np ≥ 5 i n(1−p) ≥ 5, B(n,p) ≈ N(np, √(np(1−p))); aplicar correcció de continuïtat ±0,5 en passar de discret a continu.

Distribució de la mitjana mostral: si X ~ N(μ, σ), aleshores X̄ ~ N(μ, σ/√n); l'error estàndard és σ/√n i disminueix amb √n.

Interval de confiança per a la mitjana amb σ coneguda: x̄ ± z_{α/2}·σ/√n; per a un 95% de confiança, z = 1,96; per a un 99%, z = 2,576.

Amplada de l'interval: E = z_{α/2}·σ/√n; per reduir l'amplada a la meitat cal quadruplicar la mida de la mostra. n = (z_{α/2}·σ/E)².

Interpretació freqüentista: un interval del 95% conté el paràmetre en aproximadament el 95% de les mostres; no és una probabilitat sobre μ un cop calculat l'interval.