Catalonia PAU Mathematics II (Matemàtiques II - CIC 2026) flashcards

32 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

Determinant d'una matriu 2x2

Per a A = [[a,b],[c,d]], det(A) = ad − bc. Si el determinant és zero, les files són linealment dependents i la matriu no té inversa.

Matriu inversa per adjunta

A⁻¹ = adj(A)ᵀ / det(A), on adj(A) conté els cofactors de cada element. Cal det(A) ≠ 0; altra via pràctica és Gauss-Jordan amb la matriu ampliada (A|I).

Teorema de Rouché–Capelli

Un sistema Ax = b és compatible si rang(A) = rang(A|b). Si aquest rang iguala el nombre d'incògnites, la solució és única; si és menor, hi ha infinits graus de llibertat.

Regla de Cramer

Per a un sistema amb matriu A quadrada i det(A) ≠ 0, cada incògnita val xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), on Aᵢ és A amb la columna i substituïda pel vector de termes independents.

Rang d'una matriu

Nombre màxim de files (o columnes) linealment independents; coincideix amb l'ordre del major menor no nul. Es calcula escalonant per Gauss i comptant files no nul·les.

Producte vectorial i àrea

u×v és un vector perpendicular a u i v amb mòdul |u||v|sin θ. El seu mòdul dona l'àrea del paral·lelogram; la meitat, l'àrea del triangle que formen els dos vectors.

Distància d'un punt a un pla

Per a P(x₀,y₀,z₀) i pla Ax + By + Cz + D = 0, la distància és |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). El numerador és el producte escalar amb la normal.

Angle entre recta i pla

Si v és el vector director de la recta i n la normal del pla, sin θ = |v·n|/(|v||n|). El complementari d'aquest angle és l'angle entre la recta i la normal.

Posicions relatives de dos plans

Si les normals són proporcionals i també ho són els termes independents, els plans coincideixen; si només ho són les normals, són paral·lels; en cas contrari es tallen en una recta.

Volum d'un tetraedre

Amb tres vectors u, v, w que surten d'un vèrtex, el volum és |det(u,v,w)|/6, és a dir, una sisena part del volum del paral·lelepípede que determinen.

Regla de L'Hôpital

Per a indeterminacions 0/0 o ∞/∞, lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) si aquest darrer límit existeix. Cal derivar numerador i denominador per separat, no el quocient.

Criteri de la segona derivada

Si f'(a) = 0 i f''(a) > 0, hi ha un mínim relatiu en a; si f''(a) < 0, un màxim relatiu. Si f''(a) = 0, el criteri no decideix i cal estudiar el signe de f'.

Asímptota obliqua

Existeix quan lim_{x→∞} f(x)/x = m, amb m finit i no nul, i lim_{x→∞} [f(x) − mx] = n finit. La recta y = mx + n és l'asímptota obliqua.

Teorema de Bolzano

Si f és contínua en [a,b] i f(a) i f(b) tenen signes oposats, existeix almenys un c a (a,b) amb f(c) = 0. Serveix per justificar l'existència d'arrels.

Punt d'inflexió

Punt on la funció canvia de concavitat. Requereix f''(a) = 0 o inexistència de f'' en a, i un canvi de signe de f'' al voltant del punt.

Integració per parts

Fórmula ∫u dv = uv − ∫v du. S'usa quan l'integrand és producte de funcions de tipus diferent, com x·eˣ o x·ln x; cal triar u segons la regla ILATE.

Teorema fonamental del càlcul

Si f és contínua en [a,b] i F n'és una primitiva, ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Permet calcular integrals definides a partir de primitives.

Àrea entre dues corbes

Es calcula ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx, on a i b inclouen els extrems de l'interval i els punts de tall f(x) = g(x). Cal separar intervals si la diferència canvia de signe.

Volum de revolució

En girar y = f(x) al voltant de l'eix OX entre a i b, el volum és V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx. Cada secció perpendicular a l'eix és un disc de radi |f(x)|.

Canvi de variable en integral

Si u = g(x), llavors du = g'(x) dx i ∫f(g(x))g'(x) dx = ∫f(u) du. En una integral definida, els límits també es transformen segons u = g(x).

Combinacions sense repetició

C(n,k) = n!/[k!(n−k)!] compta els subconjunts de k elements triats entre n sense importar l'ordre. S'usa en extraccions simultànies o en triar un grup.

Probabilitat condicionada

P(A|B) = P(A∩B)/P(B), amb P(B) > 0. Representa la probabilitat de A quan se sap que ha passat B, i redueix l'espai mostral als resultats de B.

Independència de successos

A i B són independents si P(A∩B) = P(A)·P(B), equivalentment P(A|B) = P(A). Això no vol dir que siguin incompatibles; de fet, dos successos incompatibles amb probabilitat positiva no són independents.

Teorema de la probabilitat total

Si els successos B₁,...,Bₙ són incompatibles i exhaureixen l'espai mostral, P(A) = Σ P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ). S'aplica quan A es pot produir per diverses vies.

Teorema de Bayes

Permet invertir una condicional: P(Bᵢ|A) = P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ) / Σⱼ P(Bⱼ)·P(A|Bⱼ). El denominador és la probabilitat total de A.

Variacions amb repetició

VR(n,k) = nᵏ compta seqüències de longitud k amb elements triats entre n, permetent repetició i tenint en compte l'ordre, com ara contrasenyes o resultats successius.

Esperança d'una variable discreta

E(X) = Σ xᵢ·pᵢ, la mitjana ponderada pels valors per llur probabilitat. És lineal: E(aX + b) = aE(X) + b per a qualsevol constant a i b.

Distribució binomial

Modela el nombre d'èxits en n assajos independents amb probabilitat constant p. P(X = k) = C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ, amb mitjana np i variància np(1−p).

Tipificació d'una normal

Si X ~ N(μ, σ), llavors Z = (X − μ)/σ ~ N(0,1). Això permet calcular probabilitats amb la taula normal estàndard: P(X ≤ a) = Φ((a−μ)/σ).

Aproximació binomial per normal

Si np ≥ 5 i n(1−p) ≥ 5, B(n,p) s'aproxima per N(np, √(np(1−p))). En calcular P(X ≤ k) amb correcció de continuïtat s'usa k + 0,5.

Error estàndard de la mitjana

Per a mostres de mida n d'una població amb desviació σ, la mitjana mostral té desviació σ/√n. Aquest valor mesura la precisió de l'estimació i apareix a l'interval de confiança.

Interval de confiança per a la mitjana

Amb σ coneguda: x̄ ± z_{α/2}·σ/√n. Per a un 95% de confiança, z = 1,96; per a un 99%, z = 2,576. L'amplada disminueix en augmentar n.