El panell triangular del pavelló i el cable que no arriba
En un pavelló de fires s'ha de muntar un panell triangular de captació solar. Amb l'origen a la cantonada del pavelló i el metre com a unitat, els tres vèrtexs del panell són A(1, 0, 1), B(1, 2, 0) i C(0, 0, 2). El panell és pla, i a l'interior del recinte hi ha una estructura central que ocupa el punt P(3, 1, 2). Per fer el manteniment, un braç robotitzat de 2 m de longitud, instal·lat a P, ha d'arribar al punt del pla del panell més proper a P. D'altra banda, la caixa de connexions elèctriques és a l'origen O(0, 0, 0) i cal preveure un cable recte des de P fins a O; l'equip tècnic vol saber si aquest cable travessarà realment la superfície del panell -i, per tant, si caldrà protegir-lo- o si passarà pel costat. Finalment, l'organització del pavelló necessita conèixer la superfície del panell per encarregar-ne el manteniment i calcular el pes que ha de suportar l'estructura.
1. Troba l'equació general del pla que conté el panell, comprova que els tres vèrtexs la satisfan i calcula l'àrea del triangle ABC.
Read the worked answer
Vectors directors. AB = B − A = (0, 2, −1) i AC = C − A = (−1, 0, 1).
Vector normal. n = AB × AC = (2·1 − (−1)·0, (−1)(−1) − 0·1, 0·0 − 2·(−1)) = (2, 1, 2).
Pla. Amb el punt A(1, 0, 1): 2(x − 1) + 1(y − 0) + 2(z − 1) = 0, és a dir, 2x + y + 2z = 4.
Comprovació. A: 2 + 0 + 2 = 4 ✓. B: 2 + 2 + 0 = 4 ✓. C: 0 + 0 + 4 = 4 ✓. Els tres vèrtexs són coplanaris i el pla queda determinat.
Àrea. |n| = √(4 + 1 + 4) = 3, i l'àrea del triangle és la meitat del mòdul del producte vectorial: Àrea = |AB × AC|/2 = 3/2 = 1,5 m².
Aquest 1,5 m² és el valor que cal passar a l'empresa de manteniment; un error habitual seria donar 3 m², que correspon al parallelogram, no al triangle.
2. Calcula la distància de P al pla del panell i el punt del pla més proper a P. Decideix si el braç robotitzat de 2 m pot fer la feina.
Read the worked answer
La distància d'un punt a un pla és d = |2x₀ + y₀ + 2z₀ − 4| / √(2² + 1² + 2²) = |6 + 1 + 4 − 4| / 3 = 7/3 ≈ 2,33 m.
Punt més proper. És el peu de la perpendicular a P, de direcció n = (2, 1, 2): (x, y, z) = (3 + 2t, 1 + t, 2 + 2t). Imposant que pertanyi al pla: 2(3 + 2t) + (1 + t) + 2(2 + 2t) = 4 → 11 + 9t = 4 → t = −7/9. Punt: (3 − 14/9, 1 − 7/9, 2 − 14/9) = (13/9, 2/9, 4/9). Comprovació: 2(13/9) + 2/9 + 2(4/9) = (26 + 2 + 8)/9 = 4 ✓.
Decisió. La distància és 7/3 ≈ 2,33 m > 2 m. El braç de 2 m no arriba al panell: falten uns 33 cm. Caldrà o bé allargar el braç, o bé desplaçar la base de l'estructura central, o bé fer el manteniment des d'una plataforma exterior. Observi's que el punt més proper (13/9, 2/9, 4/9) és a prop del vèrtex A, cosa que confirma que P no és pas a sobre del centre del panell.
3. El cable recte va de P a O. Determina si talla el pla del panell i, en cas afirmatiu, si el punt de tall cau dins del triangle ABC.
Read the worked answer
Costats del pla. Prenem f(x, y, z) = 2x + y + 2z − 4. f(P) = 6 + 1 + 4 − 4 = 7 > 0; f(O) = −4 < 0. Canvi de signe: el segment PO travessa el pla en un punt interior del segment.
Punt de tall. Parametritzem el segment: (x, y, z) = P + t(O − P) = (3 − 3t, 1 − t, 2 − 2t), t ∈ [0, 1]. Imposant f = 0: 2(3 − 3t) + (1 − t) + 2(2 − 2t) − 4 = 11 − 11t = 0 → t = 7/11 ≈ 0,636. Punt de tall: (3 − 21/11, 1 − 7/11, 2 − 14/11) = (12/11, 4/11, 8/11). Comprovació: 24/11 + 4/11 + 16/11 − 4 = 44/11 − 4 = 0 ✓.
És dins del triangle? Expressem el punt com a A + u·AB + v·AC: (12/11, 4/11, 8/11) − (1, 0, 1) = (1/11, 4/11, −3/11). Component x: −v = 1/11 → v = −1/11. Component y: 2u = 4/11 → u = 2/11. Component z: −u + v = −2/11 − 1/11 = −3/11 ✓ (coherent).
Com que v = −1/11 < 0, el punt no és dins del triangle: cau fora, a l'altre costat de l'aresta AB respecte del vèrtex C. El cable travessa el pla del panell, però passa pel costat de la superfície física, així que no cal protegir-lo. Aquesta distinció entre «tallar el pla» i «tallar el panell» és la clau del problema: comparar només el signe de f no n'hi ha prou.