Flota de bicicletes: cost mitjà, benefici i una segona branca lineal
Una empresa de lloguer de bicicletes elèctriques per a empreses té un model de cost mensual, en milers d'euros, donat per C(x) = x² + 4x + 25, on x és el nombre de centenars de bicicletes llogades (0 < x ≤ 10). El Consell d'Administració vol saber quina mida de flota minimitza el cost mitjà per centenar de bicicletes, i també quin benefici s'obté si el preu de lloguer per centenar de bicicletes és p(x) = 100 − 5x milers d'euros. A més, l'empresa estudia un contracte amb un client gran que obligaria a superar les 1 000 bicicletes: per a x > 10 el model de cost passaria a ser una recta C(x) = mx + n, i la direcció financera exigeix que el cost sigui continu i derivable exactament en x = 10, perquè no hi hagi un salt ni en la factura ni en el cost marginal. L'analista ha de decidir si aquesta segona branca lineal és raonable des del punt de vista del cost mitjà a llarg termini.
1. Determina la mida de flota que minimitza el cost mitjà per centenar de bicicletes i quin és aquest cost mínim.
Read the worked answer
El cost mitjà és A(x) = C(x)/x = (x² + 4x + 25)/x = x + 4 + 25/x, per a x > 0.
Derivada: A′(x) = 1 − 25/x². S'anul·la quan x² = 25, és a dir, x = 5 (la solució x = −5 no és del domini).
A″(x) = 50/x³ > 0 per a x > 0, així que x = 5 és un mínim.
A(5) = 5 + 4 + 25/5 = 5 + 4 + 5 = 14.
Interpretació. Amb 500 bicicletes, el cost mitjà és de 14 milers d'euros per centenar, és a dir, 140 € per bicicleta i mes. Comprovem que no és un extrem de la frontera: quan x → 0⁺, A(x) → +∞; i a l'altre extrem, A(10) = 10 + 4 + 2,5 = 16,5 > 14. El mínim interior és, per tant, el global del domini.
Comentari de gestió: el terme 25/x recull les despeses fixes repartides; per això una flota massa petita encareix molt el cost unitari.
2. Amb el preu p(x) = 100 − 5x, escriu la funció de benefici i troba'n el màxim dins del domini 0 < x ≤ 10. Interpreta el resultat.
Read the worked answer
Ingressos: I(x) = x·p(x) = x(100 − 5x) = 100x − 5x². Benefici: B(x) = I(x) − C(x) = (100x − 5x²) − (x² + 4x + 25) = −6x² + 96x − 25.
Derivada: B′(x) = −12x + 96 = 0 → x = 8. B″(x) = −12 < 0, així que és un màxim.
B(8) = −6·64 + 96·8 − 25 = −384 + 768 − 25 = 359.
Comprovació de frontera. B(10) = −600 + 960 − 25 = 335 < 359; i a prop de x = 0 el benefici és negatiu (B(0) = −25, pèrdua per les despeses fixes). El màxim global del domini és, doncs, a x = 8.
Interpretació. Convé llogar 800 bicicletes; el preu associat és p(8) = 100 − 40 = 60 milers d'euros per centenar (600 € per bicicleta i mes) i el benefici és de 359 milers d'euros al mes. Fixem-nos que el benefici màxim no s'assoleix ni amb el cost mitjà mínim (x = 5) ni amb la flota més gran permesa (x = 10): l'empresa ha de triar entre eficiència en cost i marge per unitat, i l'òptim econòmic és a x = 8.
3. Per a x > 10 es proposa C(x) = mx + n. Troba m i n perquè el cost sigui continu i derivable en x = 10 i valora si la branca lineal és raonable pel que fa al cost mitjà.
Read the worked answer
Continuïtat. La branca quadràtica dóna C(10) = 100 + 40 + 25 = 165. Per tant, 10m + n = 165.
Derivabilitat. C′(x) = 2x + 4 per a x < 10, així que C′(10⁻) = 24; la derivada de la recta és m. Cal m = 24.
Aleshores n = 165 − 10·24 = 165 − 240 = −75. La branca és C(x) = 24x − 75.
Cost mitjà per a x > 10. A(x) = (24x − 75)/x = 24 − 75/x. A′(x) = 75/x² > 0, de manera que el cost mitjà és creixent en aquest tram. A(10) = 24 − 7,5 = 16,5 (coincideix amb la branca anterior, com ha de ser) i lim x→∞ A(x) = 24.
Valoració. El cost marginal és constant (24 milers per centenar) i superior al cost mitjà, i per això el cost mitjà puja en lloc de baixar: el model lineal elimina l'economia d'escala que hi havia fins a x = 5. A la pràctica, el contracte gran no seria rendible amb aquesta tarifa si el preu no supera els 24 milers per centenar; i a mesura que creix la flota el cost mitjà s'acosta asimptòticament a 24, sense arribar-hi mai. La branca és matemàticament impecable (contínua i derivable), però econòmicament qüestiona el creixement per sobre de les 1 000 bicicletes.