El vas del pantà: secció, volum i episodi de pluges
El pantà de la Conca té una presa vertical. Amb l'origen al peu de la presa i mesurant x en metres cap a l'interior del pantà, el fons del vas ve donat per la corba h(x) = 12 − x²/3 per a 0 ≤ x ≤ 6, on h(x) és la fondària de l'aigua (en metres) a una distància x de la presa; a partir de x = 6 la cua del pantà queda per sobre del nivell de l'aigua. L'amplada del vas no és constant: a una distància x de la presa, l'amplada és w(x) = 20 − x metres. L'Agència Catalana de l'Aigua demana un càlcul de volum per a l'informe de seguretat i també la fondària mitjana del vas. A més, els tècnics volen quantificar quant creixerà el volum si, per un episodi de pluges, el nivell puja exactament 1 m a la presa; per simplificar, suposen que el perfil de fondària es desplaça verticalment 1 m dins del mateix interval 0 ≤ x ≤ 6 i que l'amplada no canvia.
1. Calcula l'àrea de la secció transversal del vas i la fondària mitjana de l'aigua.
Read the worked answer
L'àrea de la secció és la integral de la fondària entre x = 0 i x = 6:
A = ∫₀⁶ (12 − x²/3) dx = [12x − x³/9]₀⁶ = (72 − 216/9) − 0 = 72 − 24 = 48 m².
Comprovació de sentit: la fondària màxima és 12 m a la presa i baixa fins a 0 a x = 6; la corba és còncava, de manera que l'àrea ha de superar la del triangle de base 6 i altura 12 (36 m²), i 48 m² hi és coherent.
Fondària mitjana. És el valor mitjà de h en [0, 6]: h̄ = (1/(6 − 0))·∫₀⁶ h(x) dx = 48/6 = 8 m.
Interpretació: la fondària mitjana (8 m) és inferior a la meitat de la màxima (6 m) només aparentment contradictòria; en realitat 8 > 6, cosa lògica perquè el vas és més ample a prop de la presa, on l'aigua és més fonda. Aquest valor s'utilitzarà per estimar la pressió mitjana sobre la presa.
2. Calcula el volum total d'aigua del vas integrant el producte de la fondària per l'amplada.
Read the worked answer
El volum s'obté sumant les àrees de seccions verticals infinitesimals: cada secció a distància x té amplada w(x) = 20 − x i fondària h(x) = 12 − x²/3.
V = ∫₀⁶ (12 − x²/3)(20 − x) dx.
Desenvolupem el producte: (12 − x²/3)(20 − x) = 240 − 12x − (20/3)x² + x³/3.
Integrem: V = [240x − 6x² − (20/9)x³ + x⁴/12]₀⁶ = 1440 − 6·36 − (20/9)·216 + 1296/12 = 1440 − 216 − 480 + 108 = 852 m³.
Comprovació creuada. Si l'amplada fos constant de 20 m, el volum seria 20·48 = 960 m³. Com que l'amplada disminueix fins a 14 m a la cua, el volum real ha de ser inferior: 852 m³ < 960 m³ ✓. La diferència, 108 m³, és precisament el valor del terme x⁴/12 avaluat a l'extrem, que recull l'efecte de l'estretament del vas cap a la cua.
3. Si el nivell puja 1 m a la presa, quant augmenta el volum? Expressa'l en m³ i en percentatge sobre el volum inicial, i comenta la utilitat del resultat per a la gestió del pantà.
Read the worked answer
Amb la hipòtesi que el perfil es desplaça verticalment, la nova fondària és h₁(x) = h(x) + 1 i l'amplada no canvia. L'augment de volum és:
ΔV = ∫₀⁶ [(h(x) + 1) − h(x)]·w(x) dx = ∫₀⁶ (20 − x) dx = [20x − x²/2]₀⁶ = 120 − 18 = 102 m³.
Així, el volum passa de 852 m³ a 954 m³.
Percentatge. 102/852 = 0,1197, és a dir, un augment del 11,97 % ≈ 12 %.
Comentari de gestió. Un metre de nivell no afegeix el mateix volum a qualsevol cota: aquí l'increment depèn només de l'amplada del vas, no de la fondària, perquè la pujada és uniforme. Els 102 m³ són una dada d'alerta raonable per a un vas petit, però el resultat depèn críticament de la hipòtesi simplificadora: a la realitat, en pujar 1 m l'aigua envaeix també la cua per sobre de x = 6 (la nova fondària s'anul·laria a x = √39 ≈ 6,24), de manera que el volum real seria lleugerament superior. L'informe hauria d'explicitar aquesta cota d'incertesa en lloc de presentar 954 m³ com un valor exacte.