Dues línies d'embotellament: defectes, caixes i centratge
La microcerveseria del Ter embotella en dues línies. La línia A produeix el 60 % de les ampolles i la línia B la resta. El control de qualitat ha detectat que la línia A genera un 2 % d'ampolles defectuoses (tap mal segellat o nivell incorrecte) i la línia B un 5 %. Les ampolles de les dues línies es barregen en palets mixtos abans d'etiquetar, de manera que en triar una ampolla a l'atzar no se sap de quina línia prové. El cap de qualitat vol quantificar el risc abans de decidir si cal revisar la línia B. D'altra banda, les caixes de 12 ampolles surten dels palets mixtos i es considera que una caixa és acceptable si no conté cap ampolla defectuosa. Finalment, la màquina d'ompliment aboca un volum per ampolla que segueix una distribució normal amb desviació típica coneguda de 4 ml. En una mostra de 36 ampolles preses a l'atzar s'ha obtingut un volum mitjà de 330,5 ml, i la normativa fixa el nominal en 330 ml. El gerent vol saber si les dades donen motius per pensar que la màquina no està centrada.
1. Calcula la probabilitat que una ampolla triada a l'atzar sigui defectuosa i, sabent que ho és, la probabilitat que vingui de la línia B. Interpreta el resultat per decidir si cal revisar la línia B.
Read the worked answer
Definim els successos: A = «ampolla de la línia A», B = «ampolla de la línia B», D = «defectuosa». Dades: P(A) = 0,60; P(B) = 0,40; P(D|A) = 0,02; P(D|B) = 0,05.
Probabilitat total: P(D) = P(A)·P(D|A) + P(B)·P(D|B) = 0,60·0,02 + 0,40·0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032. És a dir, un 3,2 % de la producció surt defectuosa.
Teorema de Bayes: P(B|D) = P(B)·P(D|B)/P(D) = 0,020/0,032 = 0,625.
Interpretació. El 62,5 % de les ampolles defectuoses provenen de la línia B, tot i que la línia B només fabrica el 40 % de la producció. El defecte, per tant, està clarament sobrerepresentat a B: la seva taxa de defecte és 2,5 vegades la d'A (0,05 enfront de 0,02). Si es vol reduir el nombre absolut de defectes, la palanca més eficient és la línia B, però això no exonera la línia A: 0,012/0,032 = 37,5 % dels defectes són seus, i a més és la línia amb més volum.
2. Es pren una caixa de 12 ampolles dels palets mixtos. Calcula la probabilitat que no tingui cap defectuosa, la que tingui almenys una i la que en tingui dues o més. Quin és el nombre esperat de defectuoses per caixa?
Read the worked answer
Sigui X = «nombre d'ampolles defectuoses en una caixa de 12». Com que les ampolles són independents i cada una té probabilitat p = 0,032 de ser defectuosa (apartat anterior), X ~ B(12; 0,032).
Cap defectuosa: P(X = 0) = 0,968¹² ≈ 0,6769.
Almenys una: P(X ≥ 1) = 1 − 0,6769 = 0,3231, és a dir, un 32,3 %.
Dues o més: P(X = 1) = 12·0,032·0,968¹¹ = 0,384·0,6993 ≈ 0,2685. P(X ≥ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) = 1 − 0,6769 − 0,2685 = 0,0546, un 5,5 %.
Esperança: E[X] = n·p = 12·0,032 = 0,384 ampolles defectuoses per caixa.
Lectura de control. Que una caixa surti neta gairebé 7 vegades de cada 10 pot donar la falsa impressió que el procés va bé, però gairebé una de cada tres caixes conté algun defecte. Si la política fos rebutjar qualsevol caixa amb almenys una ampolla defectuosa, es rebutjaria el 32,3 % de les caixes; per això és més raonable fixar el llindar en dues o més, que afecta només el 5,5 %.
3. Amb la mostra de 36 ampolles i desviació típica poblacional σ = 4 ml, construeix un interval de confiança del 95 % per al volum mitjà. El nominal de 330 ml és compatible amb les dades? Calcula també quina mida de mostra caldria per tenir un marge d'error d'1 ml.
Read the worked answer
La mitjana mostral és x̄ = 330,5 ml, n = 36 i σ = 4 ml. Com que σ és coneguda, fem servir el valor crític normal z = 1,96 per al 95 % (z = 1,645 per al 90 %).
Error estàndard: σ/√n = 4/6 = 0,6667 ml. Marge d'error: E = 1,96·0,6667 ≈ 1,307 ml.
Interval: (330,5 − 1,307; 330,5 + 1,307) = (329,19; 331,81) ml.
Decisió sobre el nominal. El valor 330 ml cau dins de l'interval, així que amb un 95 % de confiança no es pot rebutjar que la màquina estigui centrada. Això no demostra que ho estigui: només vol dir que les dades són compatibles amb μ = 330. Seria un error habitual concloure que la màquina és correcta «amb un 95 % de probabilitat».
Mida de mostra per a E = 1 ml: n = (z·σ/E)² = (1,96·4/1)² = (7,84)² = 61,47 → calen 62 ampolles.
Comentari de gestió. L'interval cobreix també valors com 331,5 ml, que en una ampolla de 330 ml representen un sobreompliment mitjà del 0,45 %; en un volum gran de producció això pot tenir cost. Si el gerent vol detectar desviacions d'1 ml, cal quadruplicar gairebé la mostra respecte de les 36 ampolles actuals.