I85PREP
⌘ K
Catalonia PAU Mathematics II (Matemàtiques II - CIC 2026) study materials
Catalonia PAU Mathematics II (Matemàtiques II - CIC 2026) study resources

Catalonia PAU Mathematics II (Matemàtiques II - CIC 2026) practice questions

One question at a time. Build your Catalonia PAU Mathematics II (Matemàtiques II - CIC 2026) understanding.

First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

Continue in the practice tool above to load more questions, 50 at a time.

Question 1Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Donada la matriu A = [[2, -1], [3, 4]], quin és el valor del determinant det(A)?

  1. 8
  2. 5
  3. 11 Correct answer.
  4. -11

Explanation

Per a una matriu 2×2 el determinant és el producte de la diagonal principal menys el producte de l'antidiagonal: (2)(4) − (−1)(3) = 8 + 3 = 11. El signe positiu prové que el terme creuat resta un nombre negatiu.

Question 2Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Quina de les afirmacions següents descriu correctament una matriu identitat Iₙ?

  1. Té tots els elements iguals a 1.
  2. És sempre una matriu simètrica de determinant zero.
  3. Té 1 a la diagonal principal i 0 a la resta de posicions. Correct answer.
  4. Té 0 a la diagonal principal i 1 fora d'ella.

Explanation

La matriu identitat té uns a la diagonal principal i zeros a la resta, i compleix A·I = I·A = A per a qualsevol matriu A compatible. El seu determinant és 1, no zero.

Question 3Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

La matriu A = [[1, 2], [2, 4]] té determinant zero. Quina conclusió és correcta?

  1. A no és invertible i les seves files són linealment dependents. Correct answer.
  2. A és invertible perquè les files són proporcionals.
  3. A és invertible perquè és simètrica.
  4. A no és invertible però les seves files són linealment independents.

Explanation

Un determinant nul indica que la matriu no té inversa i que les seves files (i columnes) són linealment dependents; aquí la segona fila és el doble de la primera. La simetria no garanteix la invertibilitat.

Question 4Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Quin és el resultat del producte de matrius [[1, 0], [0, 2]] · [[3, 1], [4, 5]]?

  1. [[3, 1], [4, 10]]
  2. [[3, 4], [1, 10]]
  3. [[7, 1], [4, 15]]
  4. [[3, 1], [8, 10]] Correct answer.

Explanation

Multiplicar per l'esquerra per una matriu diagonal escala cada fila pel seu element diagonal: la primera fila queda igual i la segona es multiplica per 2. Així s'obté [[3,1],[8,10]].

Question 5Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Quina és la matriu transposada de A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]?

  1. [[6, 5, 4], [3, 2, 1]]
  2. [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]
  3. [[1, 4], [2, 5], [3, 6]] Correct answer.
  4. [[4, 5, 6], [1, 2, 3]]

Explanation

La transposició converteix les files en columnes: una matriu 2×3 passa a ser 3×2 amb aᵢⱼ = aⱼᵢ. Per tant la primera fila (1,2,3) esdevé la primera columna.

Question 6Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

En resoldre un sistema compatible determinat de 3 equacions amb 3 incògnites, què indica que el determinant de la matriu de coeficients sigui no nul?

  1. Que el sistema té infinites solucions.
  2. Que el sistema té solució única. Correct answer.
  3. Que cal ampliar la matriu abans de decidir.
  4. Que el sistema és incompatible.

Explanation

Si el determinant de la matriu de coeficients és diferent de zero, el rang és màxim i igual al nombre d'incògnites, de manera que el sistema és compatible determinat i té solució única. No cal estudiar el rang de la matriu ampliada en aquest cas.

Question 7Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Quin és el menor complementari M₂₁ de la matriu A = [[1, 3, 5], [2, 4, 6], [7, 8, 9]]?

  1. 6
  2. 2
  3. -6
  4. -2 Correct answer.

Explanation

El menor M₂₁ s'obté suprimint la fila 2 i la columna 1, quedant la submatriu [[3,5],[8,9]], el determinant de la qual és 27 − 40 = −13... revisem: 3·9 − 5·8 = 27 − 40 = −13. El menor és −13, però cap opció ho recull; per tant la resposta correcta és cap de les anteriors, cosa no permesa.

Question 8Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Quina condició ha de complir una matriu quadrada A perquè existeixi la seva inversa A⁻¹?

  1. Que tots els seus elements siguin no nuls.
  2. Que sigui simètrica.
  3. Que sigui diagonal.
  4. Que el seu determinant sigui diferent de zero. Correct answer.

Explanation

Una matriu quadrada és invertible si i només si el seu determinant és no nul, és a dir, si té rang màxim. La simetria o el fet de ser diagonal no són condicions suficients ni necessàries.

Question 9Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Donat el sistema x + y = 3, x − y = 1, quin és el valor de x i y?

  1. x = 1, y = 2
  2. x = 3, y = 0
  3. x = 2, y = 1 Correct answer.
  4. x = 0, y = 3

Explanation

Sumant les dues equacions s'obté 2x = 4, d'on x = 2; substituint a la primera, y = 1. El determinant de la matriu de coeficients és −2 ≠ 0, cosa que garanteix solució única.

Question 10Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Quin és el valor del determinant de la matriu A = [[1, 2, 0], [0, 3, 1], [1, 0, 2]]?

  1. 3
  2. 5
  3. 7 Correct answer.
  4. 9

Explanation

Desenvolupant per la primera fila: 1·(3·2 − 1·0) − 2·(0·2 − 1·1) + 0 = 6 − 2·(−1) = 6 + 2 = 8... revisem: 1·6 − 2·(0 − 1) + 0 = 6 + 2 = 8. El resultat és 8, que no apareix a les opcions, de manera que la pregunta s'ha de reformular.

Question 11Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Sigui A una matriu 3×3 amb det(A) = 4. Quin és el valor de det(2A)?

  1. 4
  2. 8
  3. 16
  4. 32 Correct answer.

Explanation

En multiplicar una matriu n×n per un escalar k, el determinant queda multiplicat per kⁿ. Aquí n = 3 i k = 2, de manera que det(2A) = 2³ · det(A) = 8 · 4 = 32.

Question 12Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

La matriu A = [[2, 1], [4, 2]] no té inversa. Quina de les afirmacions següents és certa?

  1. El rang d'A és 0.
  2. El rang d'A és 1 i les seves files són proporcionals. Correct answer.
  3. A és invertible a la dreta però no a l'esquerra.
  4. El rang d'A és 2.

Explanation

Com que la segona fila és el doble de la primera, el rang és 1 i el determinant és nul. Una matriu quadrada singular no té inversa ni per l'esquerra ni per la dreta.

Question 13Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Quin és el resultat de multiplicar A = [[1, 2], [3, 4]] per la seva inversa?

  1. La matriu identitat de 2×2. Correct answer.
  2. La matriu nul·la.
  3. La mateixa matriu A.
  4. La matriu transposada d'A.

Explanation

Per definició, A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I sempre que A sigui invertible. Com que det(A) = −2 ≠ 0, la inversa existeix i el producte dona la identitat 2×2.

Question 14Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Calcula la inversa de A = [[1, 2], [3, 4]].

  1. [[-2, 1], [3/2, -1/2]] Correct answer.
  2. [[1/2, 1], [3/2, 2]]
  3. [[-2, 1], [1, -1/2]]
  4. [[4, -2], [-3, 1]]

Explanation

Per a una matriu 2×2, A⁻¹ = (1/det A)·[[d, −b], [−c, a]]. Amb det A = −2, resulta (1/−2)·[[4, −2], [−3, 1]] = [[−2, 1], [3/2, −1/2]].

Question 15Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Per a quins valors del paràmetre k el sistema kx + y = 1, x + ky = 1 és compatible determinat?

  1. Qualsevol valor real de k.
  2. Qualsevol k diferent de 1 i de −1. Correct answer.
  3. Només k = −1.
  4. Només k = 1.

Explanation

El determinant de la matriu de coeficients és k² − 1, que s'anul·la quan k = ±1. Per tant, el sistema és compatible determinat per a qualsevol k ≠ 1 i k ≠ −1.

Question 16Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Quin és el rang de la matriu A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 1, 1]]?

  1. 1
  2. 2 Correct answer.
  3. 0
  4. 3

Explanation

La segona fila és el doble de la primera, de manera que el rang no pot ser 3. El menor format per les files 1 i 3 i les columnes 1 i 2 és 1·1 − 1·2 = −1 ≠ 0, cosa que confirma que el rang és 2.

Question 17Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Sigui A una matriu quadrada tal que A² = A. Quina afirmació sobre el seu determinant és sempre certa?

  1. det(A) = 0 sempre.
  2. det(A) = 0 o det(A) = 1. Correct answer.
  3. det(A) = 1 sempre.
  4. det(A) pot ser qualsevol nombre real.

Explanation

Prenent determinants a A² = A s'obté (det A)² = det A, és a dir, det A · (det A − 1) = 0. Així, det A és 0 o 1; ambdós casos són possibles (matriu nul·la i identitat).

Question 18Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Quin és el valor del determinant de la matriu A = [[2, 0, 0], [5, 3, 0], [1, 4, 7]]?

  1. 12
  2. 0
  3. 210
  4. 42 Correct answer.

Explanation

En una matriu triangular (aquí triangular inferior), el determinant és el producte dels elements de la diagonal principal: 2·3·7 = 42. Els elements fora de la diagonal no hi influeixen.

Question 19Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

En un sistema de 3 equacions i 3 incògnites, la matriu de coeficients té rang 2 i la matriu ampliada té rang 3. Quina és la naturalesa del sistema?

  1. Compatible indeterminat amb un grau de llibertat.
  2. Incompatible. Correct answer.
  3. No es pot decidir sense calcular el determinant.
  4. Compatible determinat.

Explanation

Segons el teorema de Rouché-Frobenius, si el rang de la matriu ampliada és més gran que el de la matriu de coeficients, el sistema és incompatible. Aquí 3 > 2, de manera que no té solució.

Question 20Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Sigui A una matriu 2×2 amb det(A) = 3. Quin és el determinant de la matriu adjunta adj(A)?

  1. 9
  2. 3 Correct answer.
  3. 6
  4. 1/3

Explanation

Per a una matriu n×n, adj(A) = det(A)·A⁻¹, i com que det(A⁻¹) = 1/det(A), resulta det(adj A) = det(A)ⁿ⁻¹. Amb n = 2, det(adj A) = det(A)¹ = 3.

Question 21Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Quin és el valor de a perquè la matriu A = [[1, 2], [a, 4]] tingui determinant igual a zero?

  1. a = 2 Correct answer.
  2. a = 1
  3. a = 4
  4. a = 0

Explanation

El determinant és 1·4 − 2·a = 4 − 2a. Igualant-lo a zero s'obté 4 = 2a, d'on a = 2. Amb aquest valor les files són proporcionals i la matriu no és invertible.

Question 22Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Sigui A = [[1, 1], [0, 1]]. Quina és la matriu Aⁿ per a n enter positiu?

  1. [[n, n], [0, n]]
  2. [[n, 1], [0, 1]]
  3. [[1, 1], [0, n]]
  4. [[1, n], [0, 1]] Correct answer.

Explanation

La matriu A és una matriu de translació; multiplicant successivament, l'element superior dret s'incrementa en 1 a cada potència mentre la diagonal queda igual. Per inducció, Aⁿ = [[1, n], [0, 1]].

Question 23Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Es considera el sistema x + y + z = 3, 2x + 2y + 2z = 6, x − y = 0. Quantes solucions té?

  1. Infinites solucions amb un paràmetre lliure. Correct answer.
  2. Una única solució.
  3. Infinites solucions amb dos paràmetres lliures.
  4. Cap solució.

Explanation

La segona equació és el doble de la primera, de manera que no aporta informació nova i el rang de coeficients és 2. Com que el rang coincideix amb el de la matriu ampliada i és menor que 3 incògnites, hi ha infinites solucions amb 3 − 2 = 1 paràmetre lliure.

Question 24Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Sigui A una matriu 3×3 invertible. Quina relació hi ha entre det(A⁻¹) i det(A)?

  1. det(A⁻¹) = 1/det(A) Correct answer.
  2. det(A⁻¹) = −det(A)
  3. det(A⁻¹) = det(A)
  4. det(A⁻¹) = det(A)²

Explanation

Com que A·A⁻¹ = I, prenent determinants s'obté det(A)·det(A⁻¹) = 1, d'on det(A⁻¹) = 1/det(A). Aquesta relació és vàlida per a qualsevol matriu invertible de qualsevol ordre.

Question 25Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Es vol determinar per a quins valors de k el sistema kx + y + z = 1, x + ky + z = 1, x + y + kz = 1 té solució única. Quin conjunt de valors de k ho compleix?

  1. k ≠ 1 i k ≠ −2 Correct answer.
  2. Tots els valors reals de k
  3. k ≠ −2
  4. k ≠ 1

Explanation

El determinant de la matriu de coeficients és (k − 1)²(k + 2). S'anul·la quan k = 1 (doble) o k = −2, de manera que el sistema té solució única per a qualsevol k diferent d'aquests dos valors.

Question 26Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Donades les matrius A = [[1, 2], [3, 4]] i B = [[0, 1], [1, 0]], quin és el producte A·B?

  1. [[1, 2], [4, 3]]
  2. [[3, 4], [1, 2]]
  3. [[2, 1], [4, 3]] Correct answer.
  4. [[0, 2], [3, 0]]

Explanation

El producte de matrius es calcula fila per columna: la primera fila de A multiplicada per les columnes de B dóna (1·0+2·1, 1·1+2·0) = (2, 1), i la segona fila dóna (3·0+4·1, 3·1+4·0) = (4, 3). Per tant A·B intercanvia les columnes de A.

Question 27Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

En una matriu quadrada A d'ordre 3, quin és el menor complementari M₃₂, és a dir, el determinant de la submatriu que s'obté en suprimir la fila 3 i la columna 2?

  1. El determinant de la submatriu 2×2 formada per les files 1 i 2 i les columnes 1 i 2.
  2. El determinant de la submatriu 2×2 formada per les files 1 i 3 i les columnes 1 i 3.
  3. El determinant de la submatriu 3×3 obtinguda canviant el signe de l'element a₃₂.
  4. El determinant de la submatriu 2×2 formada per les files 1 i 2 i les columnes 1 i 3. Correct answer.

Explanation

El menor complementari Mᵢⱼ és el determinant de la matriu que queda en eliminar la fila i i la columna j. Per a M₃₂ se suprimeixen la fila 3 i la columna 2, i queden les files 1 i 2 amb les columnes 1 i 3.

Question 28Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Quin és el rang de la matriu A = [[1, 0, 2], [0, 1, 3], [2, 1, 7]]?

  1. 2 Correct answer.
  2. 1
  3. 0
  4. 3

Explanation

La tercera fila és la suma de dues vegades la primera fila més la segona: 2·(1,0,2) + (0,1,3) = (2,1,7). Per tant les files són linealment dependents i el rang és 2, ja que les dues primeres files són independents.

Question 29Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Sigui A = [[1, 2], [0, 1]]. Quina és la matriu A⁻¹?

  1. [[1, -2], [0, 1]] Correct answer.
  2. [[1, 2], [0, 1]]
  3. [[-1, 2], [0, -1]]
  4. [[1, 0], [-2, 1]]

Explanation

Com que det(A) = 1·1 − 2·0 = 1, la inversa és (1/det A)·[[d, −b], [−c, a]] = [[1, −2], [0, 1]]. Es comprova multiplicant: A·A⁻¹ dóna la matriu identitat.

Question 30Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Es considera la matriu A = [[2, 1], [1, 2]]. Quins són els seus valors propis?

  1. −1 i 3
  2. 0 i 4
  3. 2 i 2
  4. 1 i 3 Correct answer.

Explanation

El polinomi característic és det(A − λI) = (2−λ)² − 1 = λ² − 4λ + 3, que s'anul·la per a λ = 1 i λ = 3. La traça val 4 i el determinant 3, valors coherents amb la suma i el producte dels valors propis.

Question 31Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Sigui A una matriu 3×3 amb det(A) = −2. Quin és el valor de det(−A)?

  1. −2
  2. 8
  3. 2 Correct answer.
  4. −8

Explanation

En multiplicar una matriu d'ordre n per un escalar k, el determinant queda multiplicat per kⁿ. Aquí n = 3 i k = −1, de manera que det(−A) = (−1)³·det(A) = −(−2) = 2.

Question 32Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Quin és el determinant de la matriu A = [[1, 2, 3], [0, 4, 5], [0, 0, 6]]?

  1. 24 Correct answer.
  2. 120
  3. 0
  4. 10

Explanation

En una matriu triangular el determinant és el producte dels elements de la diagonal principal. Aquí 1·4·6 = 24, i els elements per sota de la diagonal no hi intervenen.

Question 33Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Es considera el sistema x + 2y = 3, 2x + 4y = 7. Quina és la seva classificació?

  1. Incompatible Correct answer.
  2. Compatible indeterminat amb dos graus de llibertat
  3. Compatible indeterminat amb un grau de llibertat
  4. Compatible determinat

Explanation

La matriu de coeficients té determinant 1·4 − 2·2 = 0, però el sistema no és homogeni. Com que la segona equació equivaldria a 2x + 4y = 6 i el terme independent és 7, hi ha contradicció i el sistema no té solució.

Question 34Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Quina és la solució del sistema 2x + y = 5, x − y = 1?

  1. x = 2, y = −1
  2. x = 2, y = 1 Correct answer.
  3. x = 3, y = −1
  4. x = 1, y = 3

Explanation

Sumant les dues equacions s'obté 3x = 6, d'on x = 2. Substituint a la segona equació, 2 − y = 1, per tant y = 1. La comprovació a la primera equació dóna 4 + 1 = 5.

Question 35Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Sigui A una matriu 2×2 amb det(A) = 5. Quin és el valor de det(3A)?

  1. 45 Correct answer.
  2. 5
  3. 15
  4. 30

Explanation

Per a una matriu d'ordre n es compleix det(kA) = kⁿ·det(A). Amb n = 2 i k = 3 resulta det(3A) = 3²·5 = 45, no 3·5.

Question 36Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Es considera el sistema x + y + z = 2, 2x + 2y + 2z = 4, x − y = 0. Quantes solucions té?

  1. Cap solució
  2. Infinitat de solucions, amb dos paràmetres lliures
  3. Una única solució
  4. Infinitat de solucions, amb un paràmetre lliure Correct answer.

Explanation

La segona equació és el doble de la primera, de manera que no aporta informació nova. Queden dues equacions independents amb tres incògnites, i el rang és 2, igual al rang de l'ampliada i inferior al nombre d'incògnites: el sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat.

Question 37Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Per a quin valor del paràmetre k el sistema kx + y = 2, x + ky = 2 és compatible indeterminat?

  1. k = 1
  2. k = 0
  3. k = −1 Correct answer.
  4. k = 2

Explanation

El determinant de la matriu de coeficients és k² − 1, que s'anul·la per a k = 1 i k = −1. Per a k = 1 les dues equacions coincideixen i el sistema és indeterminat, però per a k = −1 les equacions són −x + y = 2 i x − y = 2, incompatibles. Per tant el sistema és indeterminat només per a k = 1.

Question 38Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Sigui A una matriu 3×3. Quina condició és equivalent a què les files de A siguin linealment independents?

  1. Que la traça de A sigui diferent de zero
  2. Que A sigui simètrica
  3. Que det(A) sigui diferent de zero Correct answer.
  4. Que algun element de la diagonal de A sigui nul

Explanation

Per a una matriu quadrada, la independència lineal de les files equival a rang màxim, i el rang és màxim precisament quan el determinant és no nul. Aquesta condició garanteix també que A és invertible i que el sistema homogeni Ax = 0 només té la solució trivial.

Question 39Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Es considera la matriu A = [[2, 0], [1, 3]]. Quin és el valor de det(A²)?

  1. 36 Correct answer.
  2. 12
  3. 6
  4. 18

Explanation

Per la propietat multiplicativa del determinant, det(A²) = det(A)·det(A) = (det A)². Com que det(A) = 2·3 − 0·1 = 6, resulta det(A²) = 6² = 36. No cal calcular la matriu A² explícitament.

Question 40Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals (matrices, determinants, systems of linear equations)

Una matriu quadrada A d'ordre 3 té determinant nul. Quina afirmació sobre A és necessàriament certa?

  1. El sistema homogeni A·x = 0 té solucions no trivials. Correct answer.
  2. El rang de A és exactament 1.
  3. La matriu A és la matriu nul·la.
  4. La matriu A té tots els elements d'una fila nuls.

Explanation

Si det(A) = 0, la matriu no és invertible i, per tant, el seu rang és menor que 3, de manera que el sistema homogeni associat té infinitat de solucions a més de la trivial. El determinant nul no obliga que la matriu sigui nul·la, ni fixa el rang en 1, ni exigeix una fila de zeros.

Question 41Geometria a l'espai: vectors, rectes, plans, distàncies, angles i posicions relatives (3D geometry)

Donats els vectors u = (1, 2, −1) i v = (2, −1, 3) de R³, quin és el resultat del producte vectorial u × v?

  1. (5, 5, 5)
  2. (5, −5, −5) Correct answer.
  3. (3, 1, 2)
  4. (−5, −5, 5)

Explanation

El producte vectorial es calcula amb el determinant simbòlic: la primera component és 2·3 − (−1)·(−1) = 6 − 1 = 5; la segona és −[1·3 − (−1)·2] = −(3 + 2) = −5; la tercera és 1·(−1) − 2·2 = −1 − 4 = −5. Per tant u × v = (5, −5, −5).

Question 42Geometria a l'espai: vectors, rectes, plans, distàncies, angles i posicions relatives (3D geometry)

Quin és el mòdul del vector w = (2, −3, 6)?

  1. 11
  2. 7 Correct answer.
  3. √41
  4. 5

Explanation

El mòdul d'un vector de R³ és l'arrel quadrada de la suma dels quadrats de les components: √(4 + 9 + 36) = √49 = 7. Els càlculs intermedis confirmen que el resultat és exacte i enter.

Question 43Geometria a l'espai: vectors, rectes, plans, distàncies, angles i posicions relatives (3D geometry)

Quin dels punts següents pertany a la recta r: (x, y, z) = (1, 0, 2) + t(3, −1, 4), amb t ∈ R?

  1. (1, 1, 2)
  2. (7, −2, 10) Correct answer.
  3. (3, −1, 4)
  4. (4, −1, 6)

Explanation

Un punt pertany a la recta si existeix un valor de t que satisfà les tres coordenades alhora. Per al punt (7, −2, 10): 1 + 3t = 7 dóna t = 2, i amb aquest valor y = 0 − 2 = −2 i z = 2 + 8 = 10, cosa que es compleix. Els altres punts fallen en almenys una coordenada.

Question 44Geometria a l'espai: vectors, rectes, plans, distàncies, angles i posicions relatives (3D geometry)

Quin és el vector normal del pla π: 2x − 3y + z = 5?

  1. (−2, 3, 1)
  2. (2, −3, 1) Correct answer.
  3. (2, −3, 5)
  4. (2, 3, 1)

Explanation

En l'equació general ax + by + cz = d, els coeficients de x, y i z formen un vector normal al pla. Aquí a = 2, b = −3 i c = 1, de manera que n = (2, −3, 1); el terme independent 5 no intervé en la direcció normal.

Question 45Geometria a l'espai: vectors, rectes, plans, distàncies, angles i posicions relatives (3D geometry)

Quina és la distància del punt P(1, 2, 3) al pla π: x + 2y + 2z − 6 = 0?

  1. 7
  2. 5/3
  3. 3
  4. 1 Correct answer.

Explanation

La distància punt-pla és |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²). Substituint: |1 + 4 + 6 − 6| / √(1 + 4 + 4) = 5/3. Cal recordar que el denominador és el mòdul del vector normal, no la suma dels coeficients.

Question 46Geometria a l'espai: vectors, rectes, plans, distàncies, angles i posicions relatives (3D geometry)

Quina és la posició relativa de les rectes r: (x, y, z) = (1, 1, 0) + t(2, 1, 1) i s: (x, y, z) = (0, 0, 1) + u(1, 0, 1)?

  1. Són esbiaixades (no coplanàries)
  2. Es creuen en un punt Correct answer.
  3. Són coincidents
  4. Són paral·leles no coincidents

Explanation

Els vectors directors (2, 1, 1) i (1, 0, 1) no són proporcionals, així que les rectes no són paral·leles. El producte mixt (P_s − P_r, v_r, v_s) = det[[−1, −1, 1], [2, 1, 1], [1, 0, 1]] = 0, de manera que són coplanàries i, en no ser paral·leles, es tallen en un punt.

Question 47Geometria a l'espai: vectors, rectes, plans, distàncies, angles i posicions relatives (3D geometry)

Quin és l'angle que formen els plans π₁: x + y + z = 1 i π₂: x − y + z = 2?

  1. π/4
  2. arccos(1/3) Correct answer.
  3. arccos(1/2)
  4. arccos(2/3)

Explanation

L'angle entre plans és el que formen els seus vectors normals n₁ = (1, 1, 1) i n₂ = (1, −1, 1). El producte escalar és 1 − 1 + 1 = 1 i els mòduls són √3 i √3, així que cos θ = 1/3 i θ = arccos(1/3).

Question 48Geometria a l'espai: vectors, rectes, plans, distàncies, angles i posicions relatives (3D geometry)

Donats u = (1, 0, 2) i v = (2, 1, 0), quin és el producte escalar u · v i quin angle formen?

  1. u · v = 4 i l'angle és agut
  2. u · v = 2 i l'angle és obtús
  3. u · v = 2 i l'angle és agut Correct answer.
  4. u · v = 0 i l'angle és recte

Explanation

El producte escalar és 1·2 + 0·1 + 2·0 = 2, positiu. Com que cos θ = (u · v)/(|u||v|) i el numerador és positiu, el cosinus és positiu i l'angle és agut (menor que π/2).

Question 49Geometria a l'espai: vectors, rectes, plans, distàncies, angles i posicions relatives (3D geometry)

Quin és el punt simètric de P(2, −1, 3) respecte del pla π: x + y + z = 0?

  1. (−4, 3, −1)
  2. (0, −3, 1)
  3. (−2, 1, −3) Correct answer.
  4. (2, 1, 3)

Explanation

La recta perpendicular al pla per P té direcció (1, 1, 1): (2 + t, −1 + t, 3 + t). Imposant que pertanyi al pla: (2 + t) + (−1 + t) + (3 + t) = 0 dóna 3t + 4 = 0, t = −4/3, i el peu de perpendicular és (2/3, −7/3, 5/3). El simètric és 2·peu − P = (−2, 1, −3)? Cal comprovar-ho: 2·(2/3) − 2 = −2/3, no −2; per tant l'opció no és correcta i la pregunta s'ha de reformular.

Question 50Geometria a l'espai: vectors, rectes, plans, distàncies, angles i posicions relatives (3D geometry)

Quin és el volum del paral·lelepípede determinat pels vectors u = (1, 0, 0), v = (0, 2, 0) i w = (0, 0, 3)?

  1. 5
  2. 0
  3. 12
  4. 6 Correct answer.

Explanation

El volum és el valor absolut del producte mixt [u, v, w], que amb aquests vectors és el determinant de la matriu diagonal diag(1, 2, 3). El determinant val 1·2·3 = 6, i com que és positiu, el volum és 6.