Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals
Aquest bloc apareix en pràcticament totes les convocatòries de la PAU: habitualment un exercici de matrius amb paràmetre (rang, inversa, potències) i un altre de discussió i resolució d'un sistema d'equacions lineals. Cal dominar el càlcul i justificar cada pas amb el rang o amb el determinant, perquè la major part de la puntuació depèn de la discussió, no només del resultat final.
Operacions amb matrius
El producte de matrius no és commutatiu, de manera que d'AB = AC no se'n dedueix B = C si A no és inversible. Propietats que s'utilitzen sovint: (AB)ᵀ = BᵀAᵀ, (Aᵀ)ᵀ = A, (A⁻¹)⁻¹ = A i (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹. Per calcular potències (A², A³…) convé operar les dues o tres primeres i detectar el patró abans de conjecturar la fórmula general d'Aⁿ.
Rang i determinants
- El rang és l'ordre del major menor no nul i també el nombre de files independents després d'esglaonar per Gauss.
- det(AB) = det A · det B; det(Aᵀ) = det A; det(kA) = kⁿ·det A en una matriu n×n; si una fila és combinació lineal de les altres, el determinant és 0; intercanviar dues files canvia el signe.
- A⁻¹ = adj(A)ᵀ / det A, només si det A ≠ 0. Cada adjunt porta el signe (−1)^(i+j).
- det A = 0 ⇔ A no és inversible ⇔ rg A < n.
Sistemes: Rouché–Capelli
Amb A la matriu de coeficients i A* l'ampliada: si rg A ≠ rg A*, el sistema és incompatible; si rg A = rg A* = n, és compatible determinat i es resol per Cramer (xᵢ = det Aᵢ / det A) o per Gauss; si rg A = rg A* = r < n, és compatible indeterminat amb n − r paràmetres. Un sistema homogeni sempre té la solució trivial, de manera que mai no és incompatible.
Exemple resolt
Discuteix segons m i resol quan m = 2: x + y + z = 1; x + my + z = 1; x + y + mz = 1. El determinant de la matriu de coeficients és (m − 1)², que s'anul·la només per a m = 1. Per tant, si m ≠ 1 el sistema és compatible determinat. Per a m = 1 les tres equacions són la mateixa: rg A = rg A* = 1 < 3, sistema compatible indeterminat amb dos paràmetres, y = λ, z = μ, x = 1 − λ − μ. Per a m = 2, restant la primera equació de la segona s'obté y = 0, i restant-la de la tercera, z = 0; substituint, x = 1. Solució única (1, 0, 0).
Errors que resten punts
- Dividir per det A quan el paràmetre l'anul·la: els valors que fan det A = 0 s'han de discutir a part.
- Errades de signe en els adjunts o en intercanviar files.
- Confondre rg A amb rg A* i declarar compatible un sistema que no ho és.
- En Cramer, substituir la columna equivocada o oblidar que el denominador és sempre det A.