Geometria a l'espai: vectors, rectes, plans, distàncies i angles
La geometria a l'espai combina el càlcul vectorial amb la determinació d'equacions de rectes i plans, l'estudi de posicions relatives i el càlcul de distàncies i angles. És un bloc molt mecànic: si els vectors estan ben calculats, la resta consisteix a aplicar fórmules i comprovar la coherència del resultat amb un punt conegut.
Productes entre vectors
- Producte escalar u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃; dona la norma |u| = √(u·u), l'angle (cos α = u·v/(|u||v|)) i la condició d'ortogonalitat u·v = 0.
- Producte vectorial u×v: vector perpendicular als dos, el mòdul del qual és l'àrea del paral·lelogram. Si u×v = 0, els vectors són paral·lels. És la via habitual per obtenir el vector normal d'un pla a partir de dos directors.
- Producte mixt [u,v,w] = u·(v×w): el valor absolut dona el volum del paral·lelepípede; si val 0, els tres vectors són coplanaris.
Rectes i plans
- Recta: punt més vector director, en forma paramètrica o contínua; també com a intersecció de dos plans.
- Pla: punt més vector normal, Ax + By + Cz + D = 0; el normal s'obté amb el producte vectorial de dos vectors continguts en el pla.
- Plans paral·lels: mateix vector normal i terme independent diferent.
Posicions relatives, distàncies i angles
- Dues rectes poden ser coincidents, paral·leles, secants o creuar-se. Es compara els directors i es calcula el producte mixt del vector entre un punt de cada recta amb els dos directors: si és 0, són coplanàries (secants o paral·leles); si no, es creuen.
- Recta i pla: si u·n = 0, la recta és paral·lela o continguda (cal mirar si un punt de la recta satisfà el pla); si u·n ≠ 0, són secants en un punt.
- Distància punt-pla: |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Punt-recta: |v×AP| / |v|. Entre rectes que es creuen: |(P₂ − P₁)·(v₁×v₂)| / |v₁×v₂|.
- Angle entre rectes o entre plans: cosinus del producte escalar dels directors o dels normals. Angle entre recta i pla: sin α = |u·n|/(|u||n|).
Exemple resolt
Trobeu l'equació del pla que conté el punt P(1, 1, 1) i la recta r: (x, y, z) = (1, 0, 2) + t(1, 1, 0). Prenem A(1, 0, 2) de la recta i els vectors v = (1, 1, 0) i AP = (0, 1, −1). El normal és n = v × AP = (−1, 1, 1). El pla és −(x − 1) + (y − 1) + (z − 1) = 0, és a dir, x − y − z + 1 = 0. Comprovació: tant A com P el satisfan.
Errors que resten punts
- Confondre el vector director de la recta amb el vector normal del pla.
- Fer servir el cosinus en l'angle recta-pla, que es calcula amb sinus, o oblidar el valor absolut.
- Oblidar el valor absolut a les distàncies o no dividir per la norma del vector.
- Declarar secants dues rectes que es creuen sense comprovar la coplanarietat amb el producte mixt.