Funcions: límits, continuïtat, derivació i aplicacions
És el bloc més ampli de la prova: límits, continuïtat, derivació, estudi de la monotonia i la curvatura, i optimització. A la PAU sol aparèixer una funció definida a trossos amb paràmetre per estudiar-ne la continuïtat i la derivabilitat, i un problema d'optimització o un estudi complet amb asímptotes i representació aproximada.
Límits i asímptotes
- Indeterminacions: 0/0 (factoritzar o L'Hôpital), ∞/∞ (comparar graus), ∞ − ∞ (operar o multiplicar pel conjugat), 1^∞ (exponencial del límit de l'exponent).
- Asímptota vertical quan el denominador s'anul·la i algun límit lateral és ±∞; horitzontal si lim f(x) = L quan x → ±∞; obliqua y = mx + n amb m = lim f(x)/x i n = lim (f(x) − mx).
- Si hi ha asímptota horitzontal en +∞, no n'hi pot haver d'obliqüa en +∞.
Continuïtat i derivabilitat
- Continuïtat en x = a: existeix f(a), existeix el límit i coincideixen. Classificació: evitable (el límit existeix però no coincideix), de salt (laterals diferents i finits) i asimptòtica (algun lateral infinit).
- En una funció a trossos, la continuïtat al punt d'unió s'imposa igualant els límits laterals; cada paràmetre dona una equació.
- Derivable en a implica contínua en a; el recíproc no és cert (per exemple |x| a l'origen). La derivabilitat a trossos requereix igualar les derivades laterals.
- Recta tangent: y − f(a) = f′(a)(x − a).
Monotonia, extrems i curvatura
- f′ > 0 ⇒ creixent; f′ < 0 ⇒ decreixent. Els candidats a extrem són els punts on f′ = 0 o no existeix, i cal comprovar el canvi de signe.
- f″ > 0 ⇒ convexa; un punt d'inflexió és on f″ canvia de signe.
- Teoremes útils: Bolzano (canvi de signe en un interval ⇒ arrel), Weierstrass (màxim i mínim absoluts en un tancat), Rolle i valor mitjà.
Exemple resolt
Amb 100 m de tanca volem envoltar un camp rectangular aprofitant una paret. Si x és el costat paral·lel a la paret i y l'altre, x + 2y = 100. L'àrea és A(x) = x(100 − x)/2. Derivant, A′(x) = 50 − x = 0 ⇒ x = 50, y = 25. Com que A″(x) = −1 < 0, és un màxim, i l'àrea màxima és 1.250 m².
Errors que resten punts
- No excloure del domini els punts que anul·len el denominador o que fan negatiu l'argument d'un logaritme o d'una arrel.
- No comprovar la continuïtat al punt d'unió de la funció definida a trossos.
- Donar un extrem sense justificar que és màxim o mínim amb el signe de f′ o de f″.
- Respondre amb l'expressió de la funció quan l'enunciat demana les dimensions o el valor òptim.